2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年九年级期中数学模拟试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第1-4章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（     ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 8．传统文化  下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（     ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A． B． C． D． 9．定义为不大于实数x的最大整数，如，，，则方程的根为（     ） A．， B． C． D．无实数根 10．如图，交于点为斜边的中点，若，，则和之间的数量关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 12．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 13．已知a，b是方程的两个根，则__________． 14．法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 15．如图，在平行四边形中，为对角线，于点，点是延长线上的一点，且，，的延长线交于点．若，，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1) (2) (3) (4) 17．（8分）如图，D是的边上一点，且． (1)求证：； (2)若D是线段的黄金分割点，，求线段的长． 18．（7分）如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 19．（8分）如图，中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，当满足 时，四边形是菱形？请说明理由． 20．（9分）项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 21．（10分）综合与实践 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 22．（12分）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 等对角线四边形的探究研究对象：等对角线四边形 研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论． 研究内容： 【定义】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形中，则四边形是等对角线四边形．    【特例研究】如图2，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小敏同学证明的部分过程： 证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据） …… 任务： (1)【特例研究】中的依据是 ． 下面特殊四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定属于等对角线四边形的是 ．（填序号） (2)请将小敏同学的证明过程补充完整． (3)如图2，四边形是等对角线四边形，，若且，，则 ． 23．（13分）综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： (1)判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C A D B A B A 1．A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 2．D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为 所以D选项正确． 3．C 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 4．C 【分析】根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即的度数为． 5．A 【分析】对于一元二次方程，判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根；据此即可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 7．B 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 8．A 【分析】设周瑜逝世年龄的个位数字为x，根据个位数字的平方恰好等于该数，列方程即可． 【详解】解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x， 则根据题意可列方程为． 9．B 【分析】分和两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 解得，（舍去）； ∴方程的根为； 综上所述，原方程的根为． 10．A 【分析】由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵M为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 12．14 【详解】解：，一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 13． 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 14． 【分析】利用三角形中位线性质得到，，，，然后结合证明四边形是矩形，进而求解即可． 【详解】解：∵、、、是四边形各边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴瓦里尼翁平行四边形的面积为． 15． 【分析】过点作于，延长与的延长线交于，由平行四边形性质可得，，，，根据勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，又，从而求得，由勾股定理得，然后证明，，再由相似三角形的性质和线段和差即可求出的长． 【详解】解：过点作于，延长与的延长线交于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， 或， ； （3）解：， ， 或， ； （4）解：， ， 或， ． 17．(1)证明：， ， 又， ， ． (2) 【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的三角形相似和相似三角形的性质推理即可； （2）设，则，，根据黄金分割的定义可得，代入解方程即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ∵D是线段的黄金分割点， ， ， ， ， （舍去）， ． 18．5 【详解】解：设最小数为x，则最大数为． 根据题意，得． 解得，． 由题意可知， 所以不合题意，舍去． 所以． 答：这个最小数为5． 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴； (2)解：当时，四边形是菱形． 理由：如图，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 若，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∴是菱形． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再根据中点定义可得，然后可利用证明； （2）当时，四边形是菱形，首先证明四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)空白画框的宽度为 (2)降低20元或30元 【分析】（1）设画框（空白部）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为， 根据题意列方程得：， 解得：，， ∵当时，，风景画长度为负数，不符合实际意义，舍去该解， ∴． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元， 根据题意列方程得：， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低20元或30元时，每天所获利润为24000元． 21．(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵ 光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 22．(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②④ (2)证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵四边形是等对角线四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，菱形，矩形与正方形的性质进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）设的交点为，由（2）可知：，则有，然后可得，，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：【特例研究】中的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ①平行四边形的对角线互相平分，并不相等，所以不是等对角线四边形； ②矩形的对角线互相平分且相等，所以是等对角线四边形； ③菱形的对角线互相平分且垂直，所以不是等对角线四边形； ④正方形的对角线互相平分，垂直且相等，所以是等对角线四边形； （2）略 （3）解：设的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 23．(1)方法一：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方法二：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴，． ∴，即． ∴． (2)①方法一：．理由如下： 如图，连接交于点O． 由折叠可知，是的垂直平分线． ∴O是的中点． ∵E是的中点， ∴是的中位线． ∴，即． 方法二：．理由如下： ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ②或 【分析】（1）构造全等三角形或根据等腰三角形的性质，结合折叠的性质验证结论； （2）①借助中点和折叠的性质，利用中位线的性质得到两直线平行；或证明等腰三角形顶角外角的平分线与底边平行； ②分和两种情况计算线段的长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，当时，点G在边的垂直平分线上， 根据题意可知点G是正方形的对角线交点，得． 当时，由，， ∴． 所以． 因为， 所以． 所以B，G，H三点共线，即点F与点B重合． 如图，连接交于点O， 则，． 由，，得． 所以， 所以． 由（2），得，即． 因为， 所以． 在中， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年九年级期中数学模拟试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第1-4章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（     ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 8．传统文化  下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（     ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A． B． C． D． 9．定义为不大于实数x的最大整数，如，，，则方程的根为（     ） A．， B． C． D．无实数根 10．如图，交于点为斜边的中点，若，，则和之间的数量关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 12．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 13．已知a，b是方程的两个根，则__________． 14．法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 15．如图，在平行四边形中，为对角线，于点，点是延长线上的一点，且，，的延长线交于点．若，，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1) (2) (3) (4) 17．（8分）如图，D是的边上一点，且． (1)求证：； (2)若D是线段的黄金分割点，，求线段的长． 18．（7分）如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 19．（8分）如图，中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，当满足 时，四边形是菱形？请说明理由． 20．（9分）项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 21．（10分）综合与实践 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 22．（12分）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 等对角线四边形的探究研究对象：等对角线四边形 研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论． 研究内容： 【定义】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形中，则四边形是等对角线四边形．    【特例研究】如图2，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小敏同学证明的部分过程： 证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据） …… 任务： (1)【特例研究】中的依据是 ． 下面特殊四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定属于等对角线四边形的是 ．（填序号） (2)请将小敏同学的证明过程补充完整． (3)如图2，四边形是等对角线四边形，，若且，，则 ． 23．（13分）综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： (1)判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $