精品解析：海南海口市海南中学2026-2027学年度第一学期高三年级第1次月考数学试题

海南中学2027届高三年级第1次月考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】由， 求导可得：， 令，可得：， 故选：B 2. 以下是函数的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，故BD错误； 当时，，所以，故C错误，A正确. 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 4. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，然后直接解方程可判断ACD；根据函数与的图象是否有交点可判断B. 【详解】对于A：，由，解得或， 所以存在“巧值点”； 对于B：，作函数与的图象，由图可知函数与有交点， 则方程有解，所以存在“巧值点”； 对于C：，由，得， 解得，所以存在“巧值点”； 对于D：，因为，所以无实数解， 所以不存在“巧值点”. 故选：D. 5. 已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，由，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程. 【详解】解：由解得或，所以，又令，得，所以， 因为圆过，，三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为， 所以，即，解得，所以圆心，半径， 所以圆的方程是，即， 故选：C． 6. 已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】因为y＝f（x+1）为偶函数，∴y＝f（x）关于x=1对称，又因为函数f（x）在（1，+∞）上单调递减， 所以由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1）， 即|2x﹣1-1|＜|x+1-1|， 平方整理得3x2﹣8x+4＜0， 即＜x＜2, 即不等式的解集为（，2）， 故选D． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【详解】先作出的大致图象，如下 令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 10. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，可得判定A正确；根据，以及函数值的变化，可判定B正确；利用函数的单调性求得函数的值域，可判定C错误；令，得到为奇函数，进而可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，由A中，函数极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 所以函数在区间各有一个零点， 所以函数有三个零点，所以B正确； 对于C，由A知，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，，且，， 所以函数在区间上的值域为，所以C错误； 对于D，令，可得， 由，所以为奇函数， 所以的对称中心为，则函数的对称中心为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据奇偶性和对称性可得周期性；B选项，的图象关于点对称；C选项，推出在区间上的单调性和在区间上单调性一致；D选项，利用得到解析式 【详解】A选项，因为且函数为偶函数， 所以，可得，所以， 所以，对任意的，，A对； B选项，因为，则函数的图象关于点对称，B错； C选项，因为，，， 故在区间上的单调性与在区间上的单调性一致， 因为函数的图象关于点对称， 所以在区间上的单调性与在区间上单调性一致， 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对； D选项，当时，，， 所以，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数则其过定点为_________. 【答案】(4,2). 【解析】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】，根据知函数过定点 故答案为： 【点睛】本题考查了函数过定点问题，意在考查学生对于函数知识的灵活运用. 13. 已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】 可判断在上单调递增，列出式子即可求解. 【详解】对任意，都有成立， 在上单调递增， ，解得. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方. 14. 直线：是曲线和曲线的公切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点分别为和，利用导数的几何意义，切线方程，求得的坐标，得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点， 由函数，可得，所以，可得，则，即点， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 因为，则，则，可得， ，即点， 将点的坐标代入直线的方程可得，所以， 联立方程组， 解得，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16). (1)求f(x)的表达式. (2) 当x∈(－3,4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将函数所过点代入解析式，列方程组求出，可得函数解析式； （2）化简函数g(x)，利用二次函数的性质可得值域． 【详解】(1)由题知所以或 (舍去).所以； (2) g(x)＝ 因为－1∈(－3,4]，所以g(x)min＝－7，当x＝4时，g(x)max＝18. 函数g(x)的值域为． 16. 已知函数，. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出二次函数的对称轴，结合图象得到不等式组，求出答案； （2）求出两函数的值域，并由题意得到两函数值域的包含关系，得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，其图象如图， 则且，即且，解得. 所以所求实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，. ∴当时，，记. 当时，在上是增函数， ∴，记， 由题意，知. ∴且，解得. 17. 设函数的定义域是，且对任意的正实数x，y都有恒成立.已知，且时， （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式. 【答案】(1) ， (2) 增函数，证明见解析 (3) {x|或x＞3}. 【解析】 【分析】（1）由题条件知若能求出f（1）的值，再由即可得到求得的值； （2）题设中有时，，故可令，由的恒等变形及题设中的恒等式得到，由此问题得证.做此题时要注意做题步骤，先判断再证明； （3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可 【详解】（1）令，则可得， 再令，得，故 （2）设，则 即， ，故，即 故在上为增函数 （3）由得， 故得且，解得解集为{x|或x＞3}. 【点睛】本题考点是抽象函数及其应用，考查抽象函数单调性的证明，对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意在所给区间内比较与0的大小，或的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如 18. 已知函数 ，. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）设，讨论的单调性； （3）若在定义域上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上递增；当时，在上递减，上递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由题设可得切线方程斜率和所过点，据此可得切线方程； （2）在，两种情况下，解不等式，可得函数的单调性； （3）由题可得对一切恒成立，然后分、、三种情况进行讨论，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 此时函数在处的切线方程，即. 【小问2详解】 因为，， 当时，对任意的恒成立，则在上递增； 当时，， ，， 此时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上递增； 当时，在上递减，上递增. 【小问3详解】 由题可得对一切恒成立. 当时，，此时可取任意实数； 当时，由题可得恒成立，则. 令，， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 故此时； 当时，由题可得恒成立， 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且，故， 综上可得. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）在轴上存在定点，使得为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系可得，利用可求的面积的取值范围． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则，， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值. 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程， 得，整理得， 设，可得， 所以由（2）可得 ， ， 所以， 令，则在上单调递减， 当时，，当，， 所以的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2027届高三年级第1次月考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2. 以下是函数的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 10. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 11. 已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数则其过定点为_________. 13. 已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________ 14. 直线：是曲线和曲线的公切线，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16). (1)求f(x)的表达式. (2) 当x∈(－3,4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域. 16. 已知函数，. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 17. 设函数的定义域是，且对任意的正实数x，y都有恒成立.已知，且时， （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式. 18. 已知函数 ，. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）设，讨论的单调性； （3）若在定义域上单调递增，求的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $