海南海口实验中学2026-2027学年高三上学期第1次月考数学试题

海口实验中学 2026-2027学年高三上学期第1次月考数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知单位向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．13 C． D．60 6．已知，则函数的零点为（    ） A．或 B． C．2或 D．2 7．在中，为的中点．将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 二、多选题 9．某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中的值为0.030 B．估计这批零食的平均质量为84克 C．估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D．在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 10．下列命题中，正确的是（   ） A．函数在内单调递减 B．函数在内没有最小值 C．函数的图象关于点对称 D．对，函数均为偶函数 11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 三、填空题 12．已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 13．若，，则______． 14．已知函数． （1）当时，函数的定义域是__________； （2）若对任意的恒成立，则实数__________． 四、解答题 15．已知中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)若，求的面积. 16．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，为的中点，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. (1)求m； (2)记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 18．已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若（），求证：. 20．已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； (2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口实验中学 2026-2027学年高三上学期第1次月考数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式的解法求集合，运用集合间的运算直接求解. 【详解】， 所以， 故选：B． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算法则，指对互换即可得到结论. 【详解】, 所以，所以 故选：A 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 4．已知单位向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出，根据向量的夹角公式即可求出其夹角. 【详解】因为， 所以 即，又因为向量，为单位向量， 所以， 所以， 所以， 故选：A 5．的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．13 C． D．60 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的幂指数等于3，求出的值，代入计算即可得到含项的系数. 【详解】二项式的展开式通项为：，其中且. 令，解得， 所以含项的系数为. 6．已知，则函数的零点为（    ） A．或 B． C．2或 D．2 【答案】D 【分析】利用整体代换法可求得的解析式，令，求解即可. 【详解】因为， 所以，又，所以，， 令，得，解得（舍去）或， 所以函数的零点为2. 故选：D. 7．在中，为的中点．将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得该三棱锥的面，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解. 【详解】由题意，，二面角的平面角是，，又， 是边长为1的正三角形， 平面，将三棱锥补形成正三棱柱， 三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心， 取外接圆的圆心，外接圆的圆心， 根据对称性知正三棱柱的外接球球心是的中点， ，， 又是边长为1的正三角形，点是其外心，， 在中，， 即，三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C.    8．在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【分析】根据题意，结合数字都构成逆序，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，对于八位数87542136，可得8与后面每个数字都构成逆序， 7与后面每个数字都构成逆序，5与都构成逆序，4与都构成逆序， 2与1构成逆序，所以. 故选：C. 二、多选题 9．某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中的值为0.030 B．估计这批零食的平均质量为84克 C．估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D．在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 【答案】ABD 【分析】根据商品的质量都在50克至100克之间的频率和为1可求得值，以此判断A；按照频率分布直方图中平均数算法计算可判断B；按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断C．计算质量在区间的频率，然后可计算该区间件数，以此判断D； 【详解】根据商品的质量都在50克至100克之间的频率和为1可得，解得，所以A正确； 对于B：估计这批零食的平均质量为克，故B正确； 对于C：， 估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为克，故C错误． 对于D：在被抽取的零食中，质量在区间的件数为件，故D正确． 10．下列命题中，正确的是（   ） A．函数在内单调递减 B．函数在内没有最小值 C．函数的图象关于点对称 D．对，函数均为偶函数 【答案】ACD 【分析】由幂函数单调性可判断A，由基本不等式可判断B，由对称性和奇偶性概念可判断CD. 【详解】因为，幂函数在内单调递减，A对． 函数，当且仅当取等号，在内有最小值，B错． 因为，所以的图象关于点对称，C对． 对均为偶函数，D对． 故选：ACD． 11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD    三、填空题 12．已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 【答案】 【详解】由题意设， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以. 13．若，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦公式，准确化简、计算，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 所以 14．已知函数． （1）当时，函数的定义域是__________； （2）若对任意的恒成立，则实数__________． 【答案】 2 【分析】由对数函数的性质可求的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此可求. 【详解】当时，，由有意义可得， 所以函数的定义域为， 因为对任意的恒成立， 又当时，，所以当时，， 又当时，，所以当时，， 当时，，所以当时，可取任意实数， 又函数在单调递增， 所以， 故. 故答案为：；2. 四、解答题 15．已知中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由（1）结合正弦定理可得，再由面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得：，即， ； （2）由正弦定理可得：， 则， 解得 16．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，为的中点，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明:在四棱柱中，为的中点，为的中点， 连接所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，直线在平面外， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形. 得到，即可证明平面； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【详解】（1）略． （2）过点作，垂足为，又因为平面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则有即， 令，得，，所以， 设平面的法向量为． 则有即令，得，， 所以， 所以， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17．甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. (1)求m； (2)记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 【答案】(1) (2) 0 1 2 均值为 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）依题意可知的所有可能取值为：，分别计算其概率即可得到分布列，进而求数学期望. 【详解】（1）记＂摸到白球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为1或2＂， 则＂摸出的2个球都是红球＂，＂朕一枚质地均匀的䐨子点数为， 则， 根据全概率公式：，即， 整理得：，解得 （2）的所有可能取值为：，由题可知， ， 故的分布列为： 0 1 2 从而，故的均值为． 18．已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 【分析】（1）题目已知和之间的关系，先用求首项，再利用 建立相邻两项的递推关系，从而判定是等比数列； （2）由数列的通项可知其为正项数列，采用“作商法”比较与，由比值与的大小关系判断增减性，进而确定最大项； （3）采用反证法,假设存在不同的三项成等差数列，设出三项的下标，把关系化为整数等式，利用得数末位推出矛盾. 【详解】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）略 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若（），求证：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)若，由（1）可知在极值点的两侧，则有， 等价于，考虑， 则， 等号在即时取得，所以单调递增， 因为，则， 即，又因为，即得， 因为且由（1）可知在单调递减， 所以，即，原不等式得证. 【分析】（1）求导判断单调性即可得到极值； （2）首先根据（1）中分析得到的分布，然后将原不等式转为，构造函数得到其最小值，从而得到与也即与的关系，再利用单调性得到. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，取极小值，无极大值. （2）略 【点睛】本题考查了学生简单的构造函数的思想. 20．已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； (2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程． 【答案】(1) 依题意，因为，所以    设，则， 两式相减可得， 得，即， 因为M为线段 AB的中点，      则， 直线OM的斜率，直线l的斜率， 于是得是定值， 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.    (2) 【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解. （2）联立直线l与椭圆C的方程，结合（1）的信息及已知求出点，即可求得椭圆C的方程. 【详解】（1）略 （2）设点P的坐标为， 由，消去x并整理得：， 则，                  又四边形OAPB为平行四边形，即线段AB与线段OP互相平分， 则，即点， 而点P在椭圆C上，于是得，解得， 所以椭圆C的方程为：. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $