精品解析：海南海口市海南中学2026-2027学年高三上学期第0次月考数学试题

海南中学2027届高三年级第0次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （改选项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集运算求解. 【详解】， 因为，所以. 故选:B. （改选项） 2. 已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. （改数据） 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. （改选项） 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项可知，结合可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且，则， 又因为，即， 可得，可得， 所以. （改选项） 5. 国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两角差的余弦公式及条件可得，进而可得两角和的余弦值，再结合二倍角公式可得. 【详解】因为，，所以. 所以， 所以. 因此. 7. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （改数据） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A项，由等差数列性质：，得到，故A正确； 对于B项，，解得，故B错误； 对于C项，，故C错误； 对于D项，，故 ，故D正确； 10. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. （改条件） 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当时，取得最小值5. 故答案为：5． 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【详解】变形为,斜率是,设切线的斜率为, 因为切线与直线垂直，所以,所以, ，则，所以，所以. （改为了双空） 14. 已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据球为正四面体的内切球，求出；因为球与球及正四面体的三个侧面相切，所以、、共线，再根据三角形相似求解. 【详解】因为正四面体的棱长为6，所以, 正四面体的体积为，又，， 所以，即； 因为球与球及正四面体的三个侧面相切，所以、、共线， 设球与球在侧面的切点分别为， 则，即，又，， ，所以，代入，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （删除一个问，增加求期望） 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）求的值和上四分位数； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1），上四分位数为77.25； （2）分布列为 0 1 2 ； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征及百分位数的算法计算即可； （2）根据频率分布直方图结合分层抽样方法、离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，，解得， 上四分位数是第75百分位数，由图知的频率为0.16，的频率为0.3， 的频率为0.4，上四分位数落在内，不妨设为， 则，解得，上四分位数为77.25； 【小问2详解】 由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取5人， 则的可能取值为0，1，2，易知，， ， 的分布列 0 1 2 . （改条件） 16. 已知在中，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点在边上，且．若，求的面积． 【答案】（1）三角形为直角三角形，理由如下： 由， 故，进而， 由于，故，又， 故， 化简可得，故，由于，故， 进而，故三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则，，， 故在三角形中，由余弦定理可得， 即，解得， 故． （改了第二问条件） 17. 在三棱锥中，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由，是的中点，得，而，，，平面，则平面， 而平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得到，建系得出坐标，求出平面的法向量和的坐标，再根据线面角的公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，且平面，所以， 又因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，直线，，两两垂直， 以为原点，建系如图，，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 令，得，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2）当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； （3）分离参数得，构造函数求最大值，由恒成立条件得参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 因为对任意的，都有恒成立，所以，即， 令，，则， 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，所以， 故当时，对任意的，恒成立，即恒成立． 19. 在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. （1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程； （2）过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，结合椭圆的定义判断轨迹形状，位置，结合椭圆方法求结论； （2）（i）设直线方程为，，联立方程组求，求直线的方程和的坐标，（ii）结合（i）利用表示，利用换元法及二次函数性质求其范围. 【小问1详解】 因为是圆上任意一点，点为线段的垂直平分线与半径的交点， 则,故， 又因为，则 所以的轨迹是以为两焦点，长轴长为4的椭圆， 即, 故的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）由已知直线与直线不重合， 设过的直线方程为，， 联立，化简得， 显然，且， 又因为，则直线的方程为，令，得， 将代入上式， 可得， 所以点的坐标为. （ii）由（i）得， 同理得，， 则 将代入， 化简得，， 故 令，则， ， 由，则， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2027届高三年级第0次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （改选项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. （改选项） 2. 已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. （改数据） 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ） A. B. C. D. （改选项） 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 （改选项） 5. 国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 60种 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （改数据） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 10. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 （改条件） 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值是__________. 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． （改为了双空） 14. 已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （删除一个问，增加求期望） 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）求的值和上四分位数； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． （改条件） 16. 已知在中，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点在边上，且．若，求的面积． （改了第二问条件） 17. 在三棱锥中，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. （1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程； （2）过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $