课时作业 63三角恒等变换及应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课时作业63　习题课　三角恒等变换及应用 1.＝(　　) A． B．－ C． D． 2．若cos (＋θ)＝，则sin 2θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．设a＝cos 10°－sin 10°，b＝，c＝，则a，b，c大小关系正确的是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．a<c<b D．b<c<a 4．已知＝，则tan 2α＝(　　) A． B．1 C． D．－ 5．(多选)已知α是第三象限角，且＝1，则(　　) A．tanα＝1 B．sin α＝－ C．sin 2α＝ D．tan (α－)＝－ 6．(多选)设θ的终边在第二象限，则的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 7．已知tan α、tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根，且α、β∈(－，)，则α＋β的值等于________. 8．已知cos (α＋)＝－，则sin (2α－)＝________. 9．已知α，β∈(0，)，其中cos 2α＝，sin (α－β)＝－. (1)求cos (α－)的值； (2)求sin β的值． 10．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x－1(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴； (2)若x∈[－，]，求函数f(x)的值域． 11.已知α，β都是锐角，sin (α－)＝，cos (α＋β)＝－，则cos (β＋)＝(　　) A． B． C． D． 12．已知θ∈(，π)，且cos θ－sin θ＝－，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 13．函数y＝sin 2x＋a cos 2x的图象关于直线x＝对称，则a的值为(　　) A． B．－ C．1 D．－1 14．(多选)计算下列各式的值，其结果为1的有(　　) A．cos 40°(1＋tan 10°) B．(－) C．sin 140°(－tan 190°) D．4sin 18°·sin 54° 15.设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝________． 16．已知f(α)＝＋(sin2α－cos2α). (1)化简f(α)，并求f的值； (2)若f(α)＝，α∈(0，)，求sin2α的值． 1．解析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝.故选A. 答案：A 2．解析：因为cos (＋θ)＝，所以cos cos θ－sin sin θ＝，即cos θ－sin θ＝， 两边同时平方，由平方关系可得1－2sin θcos θ＝， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝1－＝－.故选D. 答案：D 3．解析：a＝cos 10°－sin 10°＝cos (60°＋10°)＝cos 70°＝sin 20°， b＝＝＝2sin12°cos 12°＝sin 24°， c＝ ＝ ＝＝cos 20°－sin 20° ＝cos (45°＋20°)＝cos 65°＝sin 25°， 由于y＝sin x在x∈(0，)单调递增，故sin 20°<sin 24°<sin 25°，故a<b<c.故选A. 答案：A 4．解析：由＝＝＝，解得tan α＝2，tan 2α＝＝＝－.故选D. 答案：D 5．解析：由题意得tanα＝＝2，A错误； 又α是第三象限角，sinα<0，所以由解得sin α＝－，cos α＝－，B正确； sin 2α＝2sin αcos α＝，C正确； tan (α－)＝＝，D错误．故选BC. 答案：BC 6．解析：∵θ的终边在第二象限，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z，＝ ＝＝， 故当2kπ＋<<2kπ＋，k∈Z时， sin －cos >0，＝＝－1， 当2kπ＋<<2kπ＋，k∈Z时， sin －cos <0，＝＝1.故选AB. 答案：AB 7．解析：已知tan α、tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根， 所以有⇒α、β∈(0，)⇒α＋β∈(0，π)， tan (α＋β)＝＝＝－， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 答案： 8．解析：因为cos (α＋)＝－，则sin (2α－)＝sin [2(α＋)－]＝－cos [2(α＋)]＝1－2cos2(α＋)＝1－＝－. 答案：－ 9．解析：(1)依题意，cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝， 因为α∈(0，)，解得：sinα＝，cos α＝， 故cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. (2)因为sin (α－β)＝－，且α，β∈(0，)， 故α－β∈(－，0)，则cos (α－β)＝＝， 故sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝×－×(－)＝. 10．解析：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin (2x＋)，故最小正周期T＝＝π， 对称轴满足：2x＋＝＋kπ，k∈Z， 故对称轴为x＝＋，k∈Z. (2)由(1)可知f(x)＝2sin (2x＋)， x∈[－，]，则2x＋∈[－，]，sin (2x＋)∈[－，1]，故f(x)∈[－，2]. 故函数f(x)的值域为[－，2]. 11．解析：由于α，β都是锐角，则－<α－<，0<α＋β<π， 因为sin (α－)＝>0，cos (α＋β)＝－<0， 所以0<α－<，<α＋β<π， 所以cos (α－)＝，sin (α＋β)＝， 所以cos (β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)] ＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－) ＝－×＋×＝.故选B. 答案：B 12．解析：因为cos θ－sin θ＝－， 所以(cos θ－sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcos θ＝1－sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－. 因为θ∈(，π)，所以2θ∈(，2π)， 所以cos 2θ＝＝. 则＝＝＝－. 故选A. 答案：A 13．解析：由已知y＝sin 2x＋a cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)， 令sin θ＝，cos θ＝， 则y＝(cos θsin 2x＋sin θcos 2x)＝sin (2x＋θ). 因为图象关于直线x＝对称，所以2×＋θ＝＋kπ，k∈Z， 所以θ＝＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，有sin θ＝cos θ＝>0，可得a＝1； 当k为奇数时，有sin θ＝cos θ＝－<0，又cos θ＝>0，此时a无解． 综上所述，a＝1.故选C. 答案：C 14．解析：对于A，cos 40°(1＋tan 10°)＝cos 40°(1＋)＝cos 40°·＝cos 40°·＝＝＝＝＝1，A正确； 对于B，(－)＝·＝＝＝2，B错误； 对于C，sin 140°(－tan 190°)＝sin 140°(－)＝sin 140°·＝sin 140°·＝sin 140°·＝＝＝＝＝1，C正确； 对于D，4sin 18°·sin 54°＝4sin (90°－72°)·sin (90°－36°)＝4cos 72°·cos 36°＝＝＝＝＝＝1，D正确．故选ACD. 答案：ACD 15．解析：由题得f(x)＋f(60°－x)＝＋ ＝＝ ＝＝ ＝＝， 所以f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°) ＝{[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(59°)＋f(1°)]} ＝[＋＋…＋]＝. 答案： 16．解析：(1)f(α)＝＋(sin2α－cos2α) ＝－(cos2α－sin2α) ＝－cos 2α＝sin 2α－cos 2α ＝2sin (2α－). 所以f＝2sin (－2×－)＝2sin ＝1. (2)由(1)及题设得：2sin (2α－)＝，所以sin (2α－)＝. 因为α∈(0，)，所以2α－∈(－，)， 所以cos (2α－)＝ ＝＝， 所以sin 2α＝sin [(2α－)＋] ＝sin (2α－)cos ＋cos (2α－)sin ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $