5.5三角恒等变换同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 三角恒等变换同步练习以公式系统梳理为基础，通过选择、填空、简答分层设计，实现从单一公式应用到综合变换的梯度巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一公式直接应用|单项选择题（如已知角求三角函数值）| |中档提升|公式灵活变形与辨析|多项选择题（如函数性质判断）| |综合应用|多公式综合化简与问题解决|简答题（如化简与求值综合题）|

5.5三角恒等变换同步练习 基础知识归纳 1.正弦的和差公式 sin(a+B)=sina cos B+cosasin B sin(a-B)=sina cos B-cosasin B 2.余弦的和差公式 cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B cos(a-B)=cosa cosB+sinasin B 3.正切的和差公式 tan(a+B)=tand+tan B tan(a-B)= tana-tan B 1-tana tan B 1+tana tan B 4.正弦的倍角公式 1 sina cosa=-sin2a sin2a=2 sina cosa→ 5.余弦的倍角公式 cos2a cos2 a-sin2a=(cosa+sina cosa-sina) 6.升幂公式： cos2a=1-2sin2a cos2a=2cos2 a-1 7.降幂公式： sin'a=1-cos2a 2 cosa=1+cos2a 8.正切的倍角公式 tan 2a= 2tana 1-tan2a 9.半角公式 (1)sin=±. (2)c0s=±. (3)tam=±==. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定 10.和差化积与积化和差公式 sina+sin B=2sinc 2 cosa-B sina-sinβ=2cos 2sin a-B +B」 2 cosa+cosB=2coscos 2 2 cosa-cos B=-2sinsin 2 2 2sin Acos B=sin(A+B)+sin(A-B) 2cos Acos B=cos(A+B)+cos(A-B) 2sin Asin B=cos(A-B)-cos(A+B) 11.推导公式 (sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2 12.辅助角公式 b y=asinx+bcosx,(a>0)→y=Va2+b2sin(x+p),其中 tan= a, 巩固练习 一、单项选择题 1 1.已知si(a+P)=2sin(a-P) =3,则cos2a-cos2B=() 1 1 B.36 1 A.36 D.6 sin 1 2.若sn(2+a,则cos2a+csa=（） 31 31 4 A.32 B.-32 > C.-g D.8 3.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值为() A.- B.- C. D 25π s2g6月4，则sm06月y了 4.已知（ √5 V14 A.2 B.4 C 4 D￥ 4 sina+）-1 5.若sn43,则sin2a=() 7 1 1-√2 2W2 A.9 B.9 C.3 D.3 6已知osa+eosB-,na-s血B写，则cosa+例的值为() 13 59 13 59 A.-72 B.-72 C.72 D.72 7.sin110°.cos40°-cos70°.sin40°=(). 3 A. -1 5 B.2 c.2 D.2 8.已知cosa-c0sB=5 38 sin a-sin B子则tana+m的值为() A.4V5 B.4V5 C.-25 D.26 二、多项选择题 9.下列各式计算正确的有() sin15cos153 4 B.o沿m资-5 122 。.-6 1+cos30°√6-√2 D.V 2 4 10,己知函数f()=sinx+5 cos sin+2,则下列说法中正确的是(） 1 A.(的最大值为2 B.()的最小正周期为π C.田的图像关十直线-号对称 1.0 D.f)的图像关于点(12 对称 个 11.函数f(x)=2sin'ox-cos2ox的两条相邻的对称轴的距离为2，则下列说法错误的是（） A.()33 π1 2-2c0s2.x B.f()的图象关于点(2'2)对称 π2π C.f(的图象关于直线-2对称 D.f()在33」上单调递增 三、填空题 12.若osa+Vi0eosg-.3i动na-VIinp--；.则cosu+g 5, 13.已知co+4厂3，则sin2x= tan35°+tan25° 14.计算：1-tan35tan25° 四、简答题 sin2a cosa sina 15.(1)化简：1+cos2a1+cosc1-c0sa (2)化简：sin347°cosl48°+sin77cos58 16日为刻a如受ma-=2 (l)求sinu的值： (2)求tan(B-2)的值. 5.5三角恒等变换同步练习含答案解析 1. 正弦的和差公式 2. 余弦的和差公式 3. 正切的和差公式 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式 6. 升幂公式： ， 7. 降幂公式： ， 8. 正切的倍角公式 9. 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 10. 和差化积与积化和差公式 11. 推导公式 12. 辅助角公式 ，，其中， 巩固练习 1、 单项选择题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用降幂公式，再用和差化积公式即可. 【详解】 . 故选：D. 2．若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值. 【详解】由已知，所以， 故选：C. 3. cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A．－　　　 B．－　　　 C.　　　 D. 【答案】D　 【解析】∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， ∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可 【详解】因为， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由即可转化求值 【详解】．故选：A 6. 已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案. 【详解】， ， 两式相加得， . 故选：B. 7. （    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过诱导公式化简，然后再通过和差公式即可得到答案. 【详解】 ， 故选： 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆分角度，再根据和差化积公式求得，由正切二倍角公式即可得所求. 【详解】由得 ，， 两式相除可得， 所以. 故选：A． 2、 多项选择题 9．下列各式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二倍角公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A选项, ,故A选项错误; 对于B选项, ,故B选项正确; 对于C选项, ,故C选项正确; 对于D选项，，故D选项错误；故选：BC 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小正周期为 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 【答案】ABC 【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的最大值为2，故A正确. 最小正周期是，故B正确. 将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确. 当时，，所以的图像关于点对称．故D错误. 故选: ABC. 11．函数的两条相邻的对称轴的距离为，则下列说法错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据已知条件化简得，即可判断A；求出，即可判断B；求出，即可判断C；求出函数的单调递增区间为，即可判断D. 【详解】由题知，， 由两条相邻的对称轴的距离为，得函数的最小正周期为，解得， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以的图像不关于点对称，故B错误； 当时，，的图象关于直线对称，故C正确； 令，得的单调递增区间为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不具有单调性，故D错误. 故选：ABD. 3、 填空题 12．若，，则= . 【答案】 【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得． 【详解】因为，， 所以，， 即所以， ， 两式相加得， 所以， 故答案为：． 13．已知，则 . 【答案】 【分析】对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案. 【详解】由，得，则. 14．计算：______________． 【答案】 【分析】由正切和差角公式即可得到答案. 【详解】原式．故答案为:. 4、 简答题 15.（1）化简：； （2）化简： 【答案】（1）1 ；（2） 【分析】（1）使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值；（2）利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为，，， 所以． （2）原式 . 16．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答. （2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答. （1） 因，则. （2） 因，则，又， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $