2026-2027学年人教版八年级上册期中数学试卷（二）

八年级（上）期中数学试卷（二） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知三角形的两边长分别为3，4，另一边长可能是（　　） A．1 B．4 C．7 D．8 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，若∠A＝24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 4．如图，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DAC 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和BC上的点，且DE⊥BC，若△ADB≌△EDC，则∠C＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6. 已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 7．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足为F，G．若∠BAC＝130°，则∠DAE的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 8．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 9．如图，先将正方形纸片儿对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是（　　） A．DH＝AD B．AH＝DH C．NE＝BE D．DMDH 10．如图，已知△ABC，分别以AB，AC为边作等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，点H为EF的中点，连接HA并延长交BC于点G，若AH＝2，AG＝5，则△AEH的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分） 11．将点A（1，2）向左平移2个单位长度得点A'，则点A'关于y轴对称的点的坐标是　 　 ． 12．如果一个等腰三角形的一个内角为80°，那么它的一个底角为　 　 ． 13．如图，三角形ABC中D，E为AB，AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，则∠A的度数为　 　 ． 14．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则中线AD长度的取值范围是 　 　 ． 15．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝　 　 °． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 　 　 ．（填序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 17．在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 18．已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF． 19．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画格点D，连接CD，使CD∥AB；再在AC上画点E，连接BE，DE，使 ； （2）在图2中，先画△ABC的高线CF；再画点G，使点G与点F关于AC对称． 20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AD＝CD+AB； （2）若AD＝16，CB＝12，求四边形ABCD的面积． 21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA 的延长线于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长． 22．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 23．如图1，四边形ABCD中，E为AB中点，，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：AD∥EC； （2）如图2，若过点C作CF⊥AB于F，AF＝8，CF＝6，求四边形ABCD的面积． 24．已知在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上某一点，点P是第二象限内一动点． （1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a+15|+（5﹣b）2＝0，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）如图2，在第（1）问的条件下，若PA⊥PB，点B在x轴上，将∠APB绕点P顺时针旋转至如图所示位置，点C和点D均在坐标轴上，求OD+OC的值． （3）如图3，若点B与点B′关于y轴对称，且AG⊥PB′，动点P满足∠BPB′＝2∠BAO，请直接写出S△AGP，S△APB和S△APB′三个三角形之间的面积关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期中数学试卷（二） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确； 故选：D． 2．已知三角形的两边长分别为3，4，另一边长可能是（　　） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得： 第三边大于：4﹣3＝1，小于4+3＝7， 则此三角形的第三边可能是4． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，若∠A＝24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 【答案】D 【分析】由∠ACB＝90°，∠A＝24°得到∠B＝66°，由高得到∠BDC＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出∠BCD． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣24°＝66°， ∵CD是高， ∴CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣66°＝24°， 所以∠BCD的度数为24°， 故选：D． 4．如图，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DAC 【答案】A 【分析】由于∠ACB＝∠ACD，AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC， ∴当添加AB＝AD时，不能证明△ABC≌△ADC，所以A选项符合题意； 当添BC＝CD，△ABC≌△ADC（SAS），所以B选项不符合题意； 当添加∠B＝∠D时，△ABC≌△ADC（AAS），所以C选项不符合题意； 当添加∠BAC＝∠DAC时，△ABC≌△ADC（ASA），所以D选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和BC上的点，且DE⊥BC，若△ADB≌△EDC，则∠C＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝DC，∠ABD＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵△ADB≌△EDC， ∴DB＝DC，∠ABD＝∠C， ∴∠DBC＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠A＝90°， 3∠C＝90°， 解得，∠C＝30°， 故选：D． 6. 已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长． 【解答】解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0， ∴， 解得， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7； 故选：A． 7．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足为F，G．若∠BAC＝130°，则∠DAE的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，得到∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠DAE＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 8．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】利用SAS证明△EOD≌△FOC即可． 【解答】解：由作图步骤可知，OC＝OD，OE＝OF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△EOD≌△FOC（SAS）， 故选：B． 9．如图，先将正方形纸片儿对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是（　　） A．DH＝AD B．AH＝DH C．NE＝BE D．DMDH 【答案】C 【分析】利用折叠的性质，正方形的性质、以及图形的对称性特点解题． 【解答】解：连接EH， 由图形的对称性可知：AB＝AH，CD＝DH，DMAD，BE＝HE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD， ∴DH＝AD，AH＝DH，NE＜BE，DMDH． 故选：C． 10．如图，已知△ABC，分别以AB，AC为边作等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，点H为EF的中点，连接HA并延长交BC于点G，若AH＝2，AG＝5，则△AEH的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】延长AH至点D，使AH＝DH，连接FD，证明△FHD≌△EAH，得到AE＝DF，∠AEF＝∠DFH，再证明△DFA≌△BAC，得到BC＝AD＝2AH，∠FAD＝∠BCA，证明AG⊥BC，求出△ABC的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【解答】解：延长AH至点D，使AH＝DH，连接FD，则AD＝2AH＝4， ∵H为EF的中点， ∴EH＝FH，， 又∵∠FHD＝∠EHA， 在△FHD和△EAH中， ， ∴△FHD≌△EAH（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEF＝∠DFH，S△FHD＝S△EAH， ∴∠AFE+∠DFH＝∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠EAF，即∠DFA+∠EAF＝180°， S△FHD+S△AFH＝S△EAH+S△AFH，即S△AEF＝S△AFD； ∵等腰Rt△AEB和等腰Rt△AFC，∠EAB＝∠FAC＝90°， ∴AB＝AE，AC＝AF，∠EAF+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴AB＝DF，∠BAC＝∠DFA， ∴△DFA≌△BAC， ∴BC＝AD＝4，∠FAD＝∠BCA，S△DFA＝S△BAC， ∴∠CAG+∠ACB＝∠CAG+∠FAD＝180°﹣∠FAC＝90°， ∴∠AGC＝90°，即AG⊥BC， ∴， ∴S△AEF＝S△AFD＝10， ∴； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分） 11．将点A（1，2）向左平移2个单位长度得点A'，则点A'关于y轴对称的点的坐标是　（1，2）　 ． 【答案】（1，2）． 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【解答】解：∵将点A（1，2）沿x轴向左平移2个单位长度得到点A′， ∴点A′的坐标为（﹣1，2）， ∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 12．如果一个等腰三角形的一个内角为80°，那么它的一个底角为　80°或50°　 ． 【答案】80°或50°． 【分析】分两种情况讨论：若80°角为底角；若80°角为顶角，即可求解． 【解答】解：若80°角为底角，它的底角度数为80°； 若80°角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：80°或50°． 13．如图，三角形ABC中D，E为AB，AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，则∠A的度数为　40°　 ． 【答案】40°． 【分析】根据三角形内角和定理得∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠3+∠4＝180°﹣∠A，再代入∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，可得答案． 【解答】解：在△ADE中，∠1+∠2＝180°﹣∠A， 在△ABC中，∠3+∠4＝180°﹣∠A， 由条件可知180°﹣∠A+180°﹣∠A＝280°， ∴∠A的度数为40°． 故答案为：40°． 14．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则中线AD长度的取值范围是 　1＜AD＜4　 ． 【答案】1＜AD＜4． 【分析】延长AD到E，使ED＝AD，连接BE，则AE＝2AD，根据三角形中线定义得BD＝CD，进而依据“SAS”判定△BDE和△CDA全等得BE＝AC＝5，在△ABE中，由三角形三边之间的关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，则5﹣3＜2AD＜5+3，由此即可得出中线AD长度的取值范围． 【解答】解：延长AD到E，使ED＝AD，连接BE，如图所示： 则AE＝ED+AD＝2AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BE＝AC＝5， 在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴5﹣3＜2AD＜5+3， ∴1＜AD＜4， ∴中线AD长度的取值范围是1＜AD＜4． 故答案为：1＜AD＜4． 15．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝　45　 °． 【答案】45 【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数． 【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点， 连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°， ∴∠PCD＝45°． 故答案为：45°． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG； ②AE＝DF； ③GD+DC＝AB； ④S△ABF＝2S△AFC+S△AGE； 其中正确的是 　①③④　 ．（填序号） 【答案】①③④． 【分析】根据角平分线定义得到∠ABG＝∠CBG，根据余角的性质得到∠BGD＝∠AEB，等量代换得到∠AGE＝∠AEG，故①正确；如图，连接FG，根据全等三角形的性质得到AH＝HF，根据线段垂直平分线的性质得到AG＝FG，求得AE＞DF，故②错误；根据全等三角形的性质得到∠BFG＝∠BAD＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到DF＝DG，求得AB＝BF＝BD+DF＝CD+DG，故③正确；根据全等三角形的性质得到S△AEG＝S△AFG，推出S△ABG＝S△ACF，得到S△BGF＝S△ACF，于是得到S△ABF＝S△ABG+S△BFG+S△AGF＝2S△AFC+S△AGE．故④正确． 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABG＝∠CBG， ∵AF⊥BE， ∴∠BAC＝∠AHB＝90°， ∴∠ABG+∠AEG＝∠CBG+∠BGD＝90°， ∴∠BGD＝∠AEB， ∵∠AGE＝∠BGD， ∴∠AGE＝∠AEG，故①正确； 如图，连接FG， ∵∠ABH＝∠FBH，∠AHB＝∠FHB，BH＝BH， ∴△ABH≌△FBH（AAS）， ∴AH＝HF， ∴BH垂直平分AF， ∴AG＝FG， ∴AE＝FG， ∵AD⊥BC， ∴∠GDF＝90°， ∴FG＞DF， ∴AE＞DF，故②错误； ∵BH垂直平分AF， ∴AB＝BF， ∴△ABG≌△FBG（SSS）， ∴∠BFG＝∠BAD＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴DF＝DG， ∵BD＝CD， ∴AB＝BF＝BD+DF＝CD+DG，故③正确； ∵∠AGE＝∠AEG，AF⊥EG， ∴GH＝EH， ∵AH＝FH，∠AHE＝∠FHG， ∴△AEH≌△FGH（SAS）， ∴S△AEG＝S△AFG， ∵AD＝BD＝CD，DG＝DF， ∴AG＝CF， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠C＝45°， ∴△ABG≌△CAF（SAS）， ∴S△ABG＝S△ACF， ∵△ABG≌△FBG， ∴S△BGF＝S△ACF， ∴S△ABF＝S△ABG+S△BFG+S△AGF＝2S△AFC+S△AGE．故④正确； 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 【答案】20°． 【分析】由三角形的内角和定理，等量代换可得∠CAD＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣4∠1，又∠DAC＝∠BAC﹣∠2＝60°﹣∠1，可得∠1，易得结果． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠2， ∴在△CAD中， ∠CAD＝180°﹣∠4﹣∠3＝180°﹣4∠1， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣∠2， ∴180°﹣4∠2＝60°﹣∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠DAC＝60°﹣40°＝20°． 18．已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠EFD，利用SAS证明△ABC≌△DEF即可． 【解答】证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD， ∵AF＝DC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 19．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画格点D，连接CD，使CD∥AB；再在AC上画点E，连接BE，DE，使△AEB≌△CED； （2）在图2中，先画△ABC的高线CF；再画点G，使点G与点F关于AC对称． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用网格可确定格点D的位置，连接BD交AC于点E，则点E即为所求． （2）利用网格结合三角形的高的定义作图CF即可，在点C的上方取点P，使CP＝BC＝5，连接AP，过点C作CG⊥AP于点G，则点G即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． 连接BD交AC于点E， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D， ∵AB＝CD， ∴△AEB≌△CED， 则点E即为所求． （2）如图2，CF即为所求． 在点C的上方取点P，使CP＝BC＝5，连接AP，过点C作CG⊥AP于点G， 则点G即为所求． 20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AD＝CD+AB； （2）若AD＝16，CB＝12，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）如图，过点E作EF⊥AD于点F， ∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥DF， ∴EF＝CE， 又∵E是BC的中点， ∴EF＝CE＝BE， 在Rt△AEF与Rt△AEB中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， 在Rt△DEF与Rt△DEC中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△EDC（HL）， ∴CD＝DF， 又∵AB＝AF，AD＝AF+DF， ∴AD＝AB+CD； （2）96． 【分析】（1）根据角平分线的性质得出EF＝CE，根据HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△DEF≌Rt△EDC（HL），即可得出结论； （2）根据AD＝AB+CD＝16，得出梯形ABCD的面积即可推出结果． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F， ∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥DF， ∴EF＝CE， 又∵E是BC的中点， ∴EF＝CE＝BE， 在Rt△AEF与Rt△AEB中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， 在Rt△DEF与Rt△DEC中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△EDC（HL）， ∴CD＝DF， 又∵AB＝AF，AD＝AF+DF， ∴AD＝AB+CD； （2）解：∵AD＝AB+CD，AD＝16， ∴AB+CD＝16， ∵BC＝12， ∴EF＝CEBC＝6， ∴梯形ABCD的面积． 21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA 的延长线于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝60°，BD＝6， ∴BEBD＝3， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AD+BD＝9， ∴EC＝BC﹣BE＝6． 22．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10秒； （2）秒； （3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒． 【分析】（1）根据小明的路程＝小楠的路程﹣10列方程可解答； （2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知当AM＝AN即可符合条件，列方程可解答； （3）证明△AMC≌△ANB（AAS），则CM＝BN，列方程可解答． 【解答】解：（1）由题意得：2t﹣10＝t， ∴t＝10， 答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， 当AN＝AM时，△AMN是等边三角形， ∴10﹣2t＝t， ∴t， 答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； （3）如图1，当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即AM＝AN， 由（1）知：当t＝10时，小明和小楠在点C处相遇， ∵AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△AMC≌△ANB（AAS）， ∴CM＝BN， ∴t﹣10＝30﹣2t， ∴t． ∴当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒． 23．如图1，四边形ABCD中，E为AB中点，，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：AD∥EC； （2）如图2，若过点C作CF⊥AB于F，AF＝8，CF＝6，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）∵E为AB中点，， ∴， ∴∠ECB＝∠B， ∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝2∠B， ∵∠DAB+2∠ABC＝180°， ∴∠DAB+∠AEC＝180°， ∴AD∥EC； （2）48． 【分析】（1）根据中点的定义及已知得，推出∠ECB＝∠B，再根据三角形外角的性质得∠AEC＝2∠B，继而得到∠DAB+∠AEC＝180°，即可得证； （2）如图，连接AC，过点C作CH⊥AH交AD的延长线于点H，设∠B＝α，推出AC平分∠HAF，求出，证明Rt△ACH≌Rt△ACF（HL）得S△ACH＝S△ACF＝24，证明△CDH≌△CBF（AAS）得S△CDH＝S△CBF，然后结合图形得S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACF+S△CBF，通过代换可得结论． 【解答】（1）证明：∵E为AB中点，， ∴， ∴∠B＝∠ECB， ∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝2∠B， ∵∠DAB+2∠ABC＝180°， ∴∠DAB+∠AEC＝180°， ∴AD∥EC； （2）解：如图，连接AC，过点C作CH⊥AH交AD的延长线于点H，设∠B＝α， 由（1）知：，∠AEC＝2∠B＝2α， ∴∠ECA＝∠EAC，∠B＝∠ECB＝α， ∴AD∥EC，， ∴∠CAH＝∠EAC＝∠ECA， ∴， ∴AC平分∠HAF， ∵CH⊥AH，CF⊥AB，AF＝8，CF＝6， ∴CH＝CF，∠CHA＝90°， ∴∠CFA＝∠CFB＝90°， ∴， 在Rt△ACH和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACH≌Rt△ACF（HL）， ∴S△ACF＝S△ACH＝24， 在△CDH和△CBF中， ， ∴△CDH≌△CBF（AAS）， ∴S△CDH＝S△CBF， ∴S四边形ABCD＝S△CBF+S△ACD+S△ACF ＝S△ACD+S△CDH+S△ACF ＝（S△ACD+S△CDH）+S△ACF ＝S△ACF+S△ACH ＝S△ACF+S△ACF ＝2S△ACF ＝2×24 ＝48， ∴四边形ABCD的面积为48． 24．已知在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上某一点，点P是第二象限内一动点． （1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a+15|+（5﹣b）2＝0，则a＝　﹣5　 ，b＝　5　 ． （2）如图2，在第（1）问的条件下，若PA⊥PB，点B在x轴上，将∠APB绕点P顺时针旋转至如图所示位置，点C和点D均在坐标轴上，求OD+OC的值． （3）如图3，若点B与点B′关于y轴对称，且AG⊥PB′，动点P满足∠BPB′＝2∠BAO，请直接写出S△AGP，S△APB和S△APB′三个三角形之间的面积关系． 【答案】（1）﹣5，5； （2）OD+OC＝10； （3）S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP． 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性即可得解； （2）过点P作PF⊥y轴，PE⊥x轴，易得△PED≌△PFC（ASA），即可得解； （3）过点A作AH⊥BP，先证明△AGB'≌△AHB，再证明△AH'≌△AGP，得到PB'﹣PB＝2PG，在等式两边同时乘以AG易得面积关系S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP． 【解答】解：（1）由题可知3a+15＝0，5﹣b＝0， ∴a＝﹣5，b＝5； 故答案为：﹣5，5； （2）如图，过点P作PF⊥y轴，PE⊥x轴， ∴∠PED＝∠PFO＝90°， ∵∠DOC＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPC+∠FPC＝90°， 又∵∠DPE+∠EPC＝90°， ∴∠DPE＝∠FPC， 由（1）知PE＝PF＝5， 在△PED和△PFC中， ， ∴△PED≌△PFC（ASA）， ∴DE＝CF， ∴OD+OC＝OE+DE+OF﹣CF＝OE+OF＝10； （3）S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP； 证明：过点A作AH⊥BP，记AB与PB'交于点K， 由对称可知，AB＝AB'，∠BAO＝∠B'AO， ∴∠BAB'＝2∠BAO， ∵∠BPB'＝2∠BAO， ∴∠BPB'＝∠BAB'， ∵∠BKP＝∠B'KA， ∴∠ABH＝∠AB'G， ∵AG⊥PB'，AH⊥PB， ∴∠AHB＝∠AGB'＝90°， 在△ABH和△AB'G中， ， ∴△ABH≌△AB'G（AAS）， ∴AH＝AG，BH＝B'G， 在Rt△APH和△Rt△APG中， ， ∴Rt△APH≌△Rt△APG（HL）， ∴PH＝PG， ∴BH＝BP+PH＝PB'﹣PG， ∴PB'﹣PB＝2PG， 两边同时乘以AG得，PB'PB＝2AG•PG， ∴S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP． 学科网（北京）股份有限公司 $