2026-2027学年人教版八年级上册期中数学试卷（一）

八年级（上）期中数学试卷（一） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形， 故选：A． 2．下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，4cm，6cm C．3cm，4cm，5cm D．1cm，3cm，5cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意； B、2+4＝6，不能构成三角形，不符合题意； C、3+4＝7＞5，能构成三角形，不符合题意； D、1+3＝4＜5，不能构成三角形，不符合题意， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，若∠B＝50°，则∠AED的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．25° 【答案】C 【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝50°，求得∠A＝90°﹣∠B＝40°，因为DE⊥AB，所以∠ADE＝90°，则∠AED＝90°﹣∠A＝50°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝40°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠A＝50°， 故选：C． 4．如图，△AOB≌△COD，且∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．70° D．105° 【答案】B 【分析】直接根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【解答】解：∵△AOB≌△COD，且∠AOC＝35°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOC+∠COB＝∠BOD+∠COB， ∴∠AOC＝∠BOD＝35°． 故选：B． 5．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A．∠A＝∠D B．EC＝BF C．AB＝CD D．AB＝BC 【答案】C 【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案． 【解答】解： ∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AE＝DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD， ∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD， 故选：C． 6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条中线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴度假村应建在△ABC三条角平分线的交点处． 故选：D． 7．已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝4，那么腰AC的长为（　　） A．12 B．12或4 C．4 D．8或4 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义，得腰比底边大2或腰比底边小2．两种情况都符合三角形的三边关系． 【解答】解：∵等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝4， ∴AC＝12或AC＝4． ∵12，12，8符合三角形的三边关系4，4，8不符合三角形的三边关系， ∴腰AC的长为12． 故选：A． 8．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 【答案】C 【分析】连接AB，BC，由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB，可得OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形，则51°，30°，进而可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°． 【解答】解：连接AB，BC， 由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形， ∴51°，，∠ACB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°． 故选：C． 9．荡秋千是小朋友喜欢的一项活动．如图，小美坐在秋千的起始位置D处，BD与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的A处接住她后用力一推，爸爸在距离地面1.8m的C处接住她．若妈妈到BD的水平距离AF为0.7m，∠ABC＝90°，爸爸在C处接住小美时，C点到BD距离是（　　） A．1.3m B．1.4m C．1.5m D．1.6m 【答案】C 【分析】过点C作CG⊥BF于点G，证明△ABF≌△BCG（AAS），可得AF＝BG＝0.7m，BF＝CG，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CG⊥BF于点G， 根据题意得：∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAF，FG＝DG﹣DF＝0.8m， ∴∠CBF＝∠BAF， 在△ABF和△BCG中， ∵∠CBF＝∠BAF，∠AFB＝∠BGC＝90°，AB＝CB， ∴△ABF≌△BCG（AAS）， ∴AF＝BG＝0.7m，BF＝CG， ∴CG＝BF＝BG+FG＝1.5m， 故选：C． 10．如图，∠MAN＝90°，B，C分别是射线AN，AM上的点，连接BC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O，连接OA，分别过O作OD⊥BC于D，OF⊥AN于F，OE⊥AM于E，下列结论正确的有（　　）个． ①（∠ACB﹣∠ABC） ②∠AOC+∠BOD＝90° ③S△COD＝32 ④CD＝6 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①先根据直角三角形两锐角互余可得：∠ABC+∠ACB＝90°，利用角平分线的性质得：OD＝OE＝OF，AO平分∠MAN，则∠FAO＝45°，证明∠ABC＝∠DOF，再由角的和差关系即可判断； ②根据两外角的角平分线可得：∠DBO+∠DCO＝135°，由三角形内角和定理即可判断； ③④证明△OBF≌△OBD（AAS），则BF＝BD，同理得：CD＝CE，设BF＝a，则BD＝a，CD＝CE＝10﹣a，根据CD＝CE，列方程即可判断． 【解答】解：①∵∠MAN＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵OB平分∠DBF，OD⊥BC，OF⊥AN， ∴OD＝OF， 同理得：OD＝OE， ∴OE＝OF， ∴AO平分∠MAN， ∴∠FAO＝45°， ∵∠AFO＝90°， ∴△AFO是等腰直角三角形， ∴∠AOF＝45°，AF＝OF， ∴∠AOD＝45°﹣∠DOF， 四边形DBFO中，∠BFO＝∠BDO＝90°， ∴∠DOF+∠DBF＝180°， ∵∠ABC+∠DBF＝180°， ∴∠ABC＝∠DOF， ∴∠AOD＝45°﹣∠ABC， ∴∠AOD（90°﹣2∠ABC）（∠ABC+∠ACB﹣2∠ABC）， ∴∠AOD（∠ACB﹣∠ABC）， 故①正确； ②∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠DBF+∠DCE＝360°﹣90°＝270°， ∵△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O， ∴∠DBO+∠DCO＝135°， ∴∠BOC＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AOC+∠BOD＜45°， 故②错误； ③④∵∠OBF＝∠OBD，∠OFB＝∠ODB＝90°，OF＝OD， ∴△OBF≌△OBD（AAS）， ∴BF＝BD， 同理得：CD＝CE， 设BF＝a，则BD＝a，CD＝CE＝10﹣a， ∵AF＝OF＝AE＝8+a，AC＝6， ∴CE＝2+a， ∵CD＝CE， ∴10﹣a＝2+a， ∴a＝4， ∴CD＝10﹣4＝6，OD＝OF＝8+4＝12， ∴S△CDO•CD•OD6×12＝36， 故③错误，④正确； 故选：B． 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分） 11．点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣2，﹣1）　 ． 【答案】（﹣2，﹣1）． 【分析】根据关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相等进行填空即可． 【解答】解：点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 12．已知三角形的三边分别为3，2a﹣1，8，那么a的取值范围是　3＜a＜6　 ． 【答案】3＜a＜6． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到8﹣3＜2a﹣1＜8+3，即可求出a的取值范围． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜2a﹣1＜8+3， ∴3＜a＜6． 故答案为：3＜a＜6． 13．如图，点D在△ABC的边CB的延长线上，若∠A＝75°，∠C＝60°，则∠ABD的大小为　135°　 ． 【答案】135°． 【分析】因为点D在△ABC的边CB的延长线上，∠BAC＝75°，∠C＝60°，所以∠ABD＝∠BAC+∠C＝135°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D在△ABC的边CB的延长线上， ∴∠ABD＝∠BAC+∠C， ∵∠BAC＝75°，∠C＝60°， ∴∠ABD＝75°+60°＝135°， 故答案为：135°． 14．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是AB中点，DE⊥BC于E，则BE＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】先利用等边三角形的性质可得∠B＝60°，再利用线段的中点定义可得BD＝2，然后根据垂直定义可得∠DEB＝90°，从而可得∠BDE＝30°，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵AB＝4，D是AB中点， ∴BDAB＝2， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°， ∴BEBD＝1， 故答案为：1． 15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 　19　 ． 【答案】19 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC＝2AE，AD＝DC，从而可得答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∴AC＝2AE＝6，AD＝DC， ∵AB+BD+AD＝13， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19． 故答案为：19． 16．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　或　 s时，△PBQ为直角三角形． 【答案】或 【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝6﹣2x，BQ＝x， ∴6﹣2x＝2x， 解得x； 当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴x＝2（6﹣2x）， 解得x． 答：或秒时，△BPQ是直角三角形． 故答案为或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠B，代入求出即可． 【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠BAC＝40°， ∴∠DAB∠BAC＝20°， ∵∠B＝75°， ∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠B＝180°﹣20°﹣75°＝85°． 18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD与△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE． 19．已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE相交于点F．求证：AF平分∠BAC． 【答案】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDF＝∠BEF＝90°， ∵∠DFC＝∠EFB，CD＝BE， ∴△DFC≌△EFB（AAS）， ∴DF＝EF， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴AF平分∠BAC． 【分析】根据AAS证明△DFC≌△EFB，可得DF＝EF，即可解答． 【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDF＝∠BEF＝90°， ∵∠DFC＝∠EFB，CD＝BE， ∴△DFC≌△EFB（AAS）， ∴DF＝EF， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴AF平分∠BAC． 20.。如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（0，2），D（1，0），E（3，﹣3），F（0，﹣2）． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形； （2）在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，此时点P的坐标为　（﹣2，0）　 ； （3）已知点Q为y轴上一点，若△DFQ为等腰三角形，则点Q有　4　 个． 【答案】（1）作图： （2）（﹣2，0）； （3）4． 【分析】（1）根据轴对称图形的特征画图即可； （2）连结BF，交x轴于点P，由于点C关于x轴的对称点为点F（0，﹣2），所以PB+PC的最小值为BF的长，然后求出直线BF的解析式，再求其与x轴的交点坐标即可； （3）分DF为等腰三角形的腰和底两种情况讨论，通过作图即可解答． 【解答】解：（1）如图，根据轴对称图形的特征画图，△A′B′C就是所求作的图形； （2）连结BF，交x轴于点P， 由于点C关于x轴的对称点为点F（0，﹣2），所以PB+PC的最小值为BF的长； 设直线BF的解析式为y＝kx+b， 由条件可得， 解得， ∴直线BF的解析式为y＝﹣x﹣2， 令y＝0，则﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （3）当DF为腰时，如图，Q1F＝DF，Q2F＝DF，DQ3＝DF， 当DF为底时，如图，Q4D＝Q4F， 因此，满足题意的点Q有4个． 故答案为：4． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝6，AF＝5，求BE的值． 【答案】（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DC＝DE，∠BED＝∠C＝90°， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）； （2）BE的长为． 【分析】（1）由AD是∠BAC的平分线，利用角的平分线的性质定理得到DC＝DE，再由BD＝DF得到Rt△FCD≌Rt△BED（HL），利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用AAS得到△CAD≌△EAD，利用全等三角形对应边相等得到AC＝AE，由AC＝AF+CF，AE＝AB﹣BE及（1）中CF＝EB等量代换即可求BE的长． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DC＝DE，∠BED＝∠C＝90°， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）； （2）解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠C＝90°， 在△CAD和△EAD中， ， ∴△CAD≌△EAD（AAS）， ∴AC＝AE（全等三角形对应边相等）， ∵AC＝AF+CF，AE＝AB﹣BE，CF＝BE，AB＝6，AF＝5， ∴AF+BE＝AB﹣BE，即5+BE＝6﹣BE， ∴， 所以BE的值为． 22．如图，在△ABC中，MD是BC的垂直平分线交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）若AB＝8，AC＝4，求AE的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AE的长是6． 【分析】（1）连接BD，由点D在线段BC的垂直平分线MD上，得DB＝DC，由点D在∠BAC的平分线AD上，得DE＝DF，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，则BE＝CF； （2）先证明△AED≌△AFD，得AE＝AF，而BE＝CF，则2AE＝AE+AF＝AB﹣BE+AC+CF＝AB+AC＝12，所以AE＝6． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵点D在线段BC的垂直平分线MD上， ∴DB＝DC， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∴∠BED＝∠AED＝∠F＝90°， ∵点D在∠BAC的平分线AD上， ∴DE＝DF， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF． （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∵BE＝CF，AB＝8，AC＝4， ∴2AE＝AE+AF＝AB﹣BE+AC+CF＝AB+AC＝12， ∴AE＝6， ∴AE的长是6． 23．已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC． （1）【问题背景】如图（1），连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝5，求DC的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段AD、DC上，满足∠PBQ＝∠ABP+∠QBC，探究PQ、AP、CQ的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ＝AP+CQ，请直接写出∠PBQ与∠ADC的数量关系为　　 ． 【答案】（1）5； （2）PQ＝AP+CQ； 证明：如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK＝AP，连接BK， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠BCK＝180°， ∴∠BAD＝∠BCK， 在△BPA和△BCK中， ， ∴△BPA≌△BCK（SAS）， ∴BP＝BK，∠ABP＝∠CBK， ∵∠PBQ＝∠ABP+∠QBC， ∴∠PBQ＝∠ABP+∠QBC＝∠CBK+∠QBC＝∠QBK， 在△PBQ和△KBQ中， ， ∴△PBQ≌△KBQ（SAS）， ∴PQ＝KQ， ∵KQ＝QC+CK， ∴PQ＝AP+CQ； （3）． 【分析】（1）由已知可得Rt△ABD≌Rt△CBD，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK＝AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK得到：∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，然后结合已知∠ABC＝2∠PBQ可以得到△PBQ≌△BKQ，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得CK＝AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ＝∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：． 【解答】解：（1）∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD、△CBD都是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴DC＝AD， ∵AD＝5， ∴DC＝5； （2）PQ＝AP+CQ； 证明：如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK＝AP，连接BK， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠BCK＝180°， ∴∠BAD＝∠BCK， 在△BPA和△BCK中， ， ∴△BPA≌△BCK（SAS）， ∴BP＝BK，∠ABP＝∠CBK， ∵∠PBQ＝∠ABP+∠QBC， ∴∠PBQ＝∠ABP+∠QBC＝∠CBK+∠QBC＝∠QBK， 在△PBQ和△KBQ中， ， ∴△PBQ≌△KBQ（SAS）， ∴PQ＝KQ， ∵KQ＝QC+CK， ∴PQ＝AP+CQ； （3）；理由如下： 如图3，在CD延长线上找一点K，使得CK＝AP，连接BK， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠PAB＝180°， ∴∠PAB＝∠BCK， 在△BPA和△BKC中， ， ∴△BPA≌△BKC（SAS）， ∴BP＝BK，∠ABP＝∠CBK， ∴∠PBK＝∠ABC， ∵PQ＝AP+CQ， ∴PQ＝QK， 在△PBQ和△KBQ中， ， ∴△PBQ≌△KBQ（SSS）， ∴∠PBQ＝∠KBQ， ∴2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°， ∴2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）＝360°， ∴， 故答案为：． 24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若A（4，0），C（0，2），则B点的坐标为　（﹣2，﹣2）　 ； （2）如图2，BD垂直x轴于D点，判断BD、OA、OD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为（6，0），点C在y轴的正半轴上运动时，分别以OC，AC为边如图作等腰Rt△OCF和等腰Rt△ACE，其中∠OCF＝90°，∠ACE＝90°，连接EF交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 【答案】（1）（﹣2，﹣2）； （2）BD＝OA﹣OD，证明如下： 如图2，过点C作CH⊥CD，交x轴于H， ∴∠DCH＝90°＝∠ACB， ∴∠DCB＝∠HCA， ∵BD⊥x轴，OC⊥x轴， ∴BD∥OC， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵∠BCO+∠ACO＝∠ACO+∠OAC， ∴∠BCO＝∠OAC， ∴∠DBC＝∠OAC， ∵AC＝BC， ∴△BCD≌△ACH（ASA）， ∴BD＝AH，CH＝CD， ∴△CDH是等腰直角三角形， ∴OC⊥DH， ∴OD＝OH， ∴OA﹣OD＝OA﹣OH＝AH＝BD， ∴BD＝OA﹣OD； （3）． 【分析】（1）过点B作BG⊥y轴于G，易证△AOC≌△CGB，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）如图2，过点C作CH⊥CD，交x轴于H，证明△BCD≌△ACH（ASA），△CDH是等腰直角三角形，最后由线段的和差即可解答； （3）作EG⊥y轴，易证△PCF≌△PGE（AAS），求PC＝3，PF＝PE，代入所求式即可解答． 【解答】解：（1）∵A（4，0），C（0，2）， ∴OA＝4，OC＝2， 如图1，过点B作BG⊥y轴于G， ∴∠BGC＝90°＝∠AOC， ∴∠CBG+∠BCG＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCG+∠ACO＝90°， ∴∠CBG＝∠ACO， ∵AC＝BC， ∴△AOC≌△CGB（AAS）， ∴CG＝OA＝4，BG＝OC＝2， ∴OG＝CG﹣OC＝4﹣2＝2， ∴B（﹣2，﹣2）； 故答案为：（﹣2，﹣2）； （2）BD＝OA﹣OD，证明如下： 如图2，过点C作CH⊥CD，交x轴于H， ∴∠DCH＝90°＝∠ACB， ∴∠DCB＝∠HCA， ∵BD⊥x轴，OC⊥x轴， ∴BD∥OC， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵∠BCO+∠ACO＝∠ACO+∠OAC， ∴∠BCO＝∠OAC， ∴∠DBC＝∠OAC， ∵AC＝BC， ∴△BCD≌△ACH（ASA）， ∴BD＝AH，CH＝CD， ∴△CDH是等腰直角三角形， ∴OC⊥DH， ∴OD＝OH， ∴OA﹣OD＝OA﹣OH＝AH＝BD， ∴BD＝OA﹣OD； （3）当点C在y轴上移动时，的值不变， 如图3，过点E作EG⊥y轴于G， 由（1）同理得：△AOC≌△CGB， ∴CG＝OA＝6，OC＝EG＝CF， ∵∠PCF＝∠PGE＝90°，∠CPF＝∠EPG， ∴△PCF≌△PGE（AAS）， ∴PC＝PGCG＝3，PF＝PE， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/1 13:40:33；用户：李张博；邮箱：15623960196；学号：68552595 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期中数学试卷（一） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，4cm，6cm C．3cm，4cm，5cm D．1cm，3cm，5cm 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，若∠B＝50°，则∠AED的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．25° 4．如图，△AOB≌△COD，且∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．70° D．105° 5．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A．∠A＝∠D B．EC＝BF C．AB＝CD D．AB＝BC 6．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条中线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 7．已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝4，那么腰AC的长为（　　） A．12 B．12或4 C．4 D．8或4 8．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 9．荡秋千是小朋友喜欢的一项活动．如图，小美坐在秋千的起始位置D处，BD与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的A处接住她后用力一推，爸爸在距离地面1.8m的C处接住她．若妈妈到BD的水平距离AF为0.7m，∠ABC＝90°，爸爸在C处接住小美时，C点到BD距离是（　　） A．1.3m B．1.4m C．1.5m D．1.6m 10．如图，∠MAN＝90°，B，C分别是射线AN，AM上的点，连接BC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O，连接OA，分别过O作OD⊥BC于D，OF⊥AN于F，OE⊥AM于E，下列结论正确的有（　　）个． ①（∠ACB﹣∠ABC） ②∠AOC+∠BOD＝90° ③S△COD＝32 ④CD＝6 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分） 11．点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ． 12．已知三角形的三边分别为3，2a﹣1，8，那么a的取值范围是　 　 ． 13．如图，点D在△ABC的边CB的延长线上，若∠A＝75°，∠C＝60°，则∠ABD的大小为　 　 ． 14．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是AB中点，DE⊥BC于E，则BE＝　 　 ． 15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 　 　 ． 16．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　 　 s时，△PBQ为直角三角形． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 19．已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE相交于点F．求证：AF平分∠BAC． 20.。如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（0，2），D（1，0），E（3，﹣3），F（0，﹣2）． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形； （2）在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，此时点P的坐标为　（﹣2，0）　 ； （3）已知点Q为y轴上一点，若△DFQ为等腰三角形，则点Q有　4　 个． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝6，AF＝5，求BE的值． 22．如图，在△ABC中，MD是BC的垂直平分线交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）若AB＝8，AC＝4，求AE的长． 23．已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC． （1）【问题背景】如图（1），连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝5，求DC的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段AD、DC上，满足∠PBQ＝∠ABP+∠QBC，探究PQ、AP、CQ的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ＝AP+CQ，请直接写出∠PBQ与∠ADC的数量关系为　 　 ． 24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图1，若A（4，0），C（0，2），则B点的坐标为　 　 ； （2）如图2，BD垂直x轴于D点，判断BD、OA、OD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为（6，0），点C在y轴的正半轴上运动时，分别以OC，AC为边如图作等腰Rt△OCF和等腰Rt△ACE，其中∠OCF＝90°，∠ACE＝90°，连接EF交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $