4.3 用一元一次方程解决问题 题型专练 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版（2024）七年级上册 4.3 用一元一次方程解决问题 题型专练 【题型1】产品配套问题 【典例】某车间有21名工人生产螺栓和螺母，每人每小时能生产螺栓12个或螺母18个，现分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，并使得每小时生产的螺栓和螺母可按1∶2配套，则所列方程为(　　) A.12x＝18 B.2×12x＝18 C.2×18x＝12 D.12x＝2×18 【举一反三1】龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图的长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，每张大长方形硬纸片可按两种方法裁剪：按A方法裁剪4个侧面；按B方法裁剪6个底面．现有112张相同的大长方形硬纸片全部用于裁剪制作这种长方体盒子，设裁剪时有x张用A方法，其余用B方法．(粘合处不计) (1)请用含x的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则按A，B两种方法各裁剪多少张？一共能做多少个这样的长方体盒子？ 【举一反三3】某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【题型2】人员调配问题 【典例】某校社团课28名学生制作长方体礼品盒，每人每小时可做60个侧面或90个底面，一个礼品盒要一个侧面和两个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做侧面，多少名学生做底面?设分配x名学生做侧面，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1~2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的同学比参加书法社的同学多5人，两个社团都参加的同学有12人.设参加书法社的同学有x人，则(　　) A.x+(x-5)=25 B.x+(x+5)+12=25 C.x+(x+5)-12=25 D.x+(x+5)-24=25 【举一反三2】古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其译文为每3人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车x辆，则根据题意，可列出方程(　　) A.3=2x-9 B.3=2x+9 C.3=2x+9 D.3=2x-9 【举一反三3】机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排     名工人加工大齿轮，      名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 【举一反三4】某车间有工人100名，每人每天平均可加工螺栓1800个或螺母2400个，要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母)，应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 【题型3】数字问题 【典例】一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，且它们的和是12，则这个两位数是(　　) A.26 B.62 C.39 D.93 【举一反三1】把9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”(图1)，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(    ) A.7 B.4 C.1 D.6 【举一反三2】甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是(   ) A. B. C. D.23 【举一反三3】小颖按如图所示的程序输入一个正数x，最后从输出端得到的数为16，小颖输入的数x的值为　　　　. 【举一反三4】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【举一反三5】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【题型4】年龄问题 【典例】小明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小明年龄的3倍，现在父亲的年龄是（　　） A.50岁 B.46岁 C.44岁 D.42岁 【举一反三1】已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是（　　） A.20岁 B.16岁 C.15岁 D.12岁 【举一反三2】小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值为 　  　． 【举一反三3】阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他，我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的： 这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【举一反三4】阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——古希腊数学家丢番图的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们可以根据墓碑上的题目，算出他的寿命.碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图.他生命的是童年；再活了寿命的，脸颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世.阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【题型5】积分问题 【典例】爸爸和儿子共下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了(    ) A.9盘 B.8盘 C.4盘 D.3盘 【举一反三1】利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对(    )道题 A.16 B.15 C.14 D.13 【举一反三2】某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均参赛8场)，赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，在这次足球赛中，猛虎足球队踢平的场数是所输场数的2倍，共得17分，则该队赢了(　　) A.6场 B.5场 C.4场 D.3场 【举一反三3】某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为      ． 【举一反三4】学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 【举一反三5】如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下．    在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． 【题型6】日历问题 【典例】如图，表中给出的是本月的月历，任意选取“”型框中的6个数(譬如阴影部分所示)，则这6个数的和不可能是(    ) A.87 B.99 C.129 D.135 【举一反三1】几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（    ） A.28 B.33 C.45 D.57 【举一反三2】如图， 在2024年1月的日历表中用图形框框出 10，18， 19， 24 四个数， 它们的和71． 若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是(    ) A.35 B.63 C.99 D.119 【举一反三3】在月历表中选取一行上三个阳历日期，已知三个日期的和是15，那么最小的日期是        ． 【举一反三4】如图是2024年1月份的日历，小张用长方形按图示方法从中任意框出四个日期，若这四个日期的和为56，则处的日期为2024年1月             日． 【举一反三5】下表是2024年4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是25吗？为什么？ 【举一反三6】如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 【题型7】求进价 【典例】青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为(    ) A.29元 B.30元 C.31元 D.32元 【举一反三1】一件商品按成本价提高40%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为240元.设这件商品的成本价为x元，根据题意，列方程正确的是(　　) A.x·40%×80%=240 B.x×80%=240 C.240×40%×80%=x D.x·40%=240×80% 【举一反三2】一件商品标价140元，若八折出售，仍可获利12%，则这件商品的进价为       元． 【举一反三3】学校为促进“篮球体育运动社团”的开展，准备添置一批篮球，原计划订购80个，每个售价150元，商店表示：如果多购可以优惠，最后校方买了100个，每个只售140元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价． 【举一反三4】一件商品标价260元，双十一期间，商家为了吸引顾客购买，决定把这件商品打八折后再出售． (1)这件商品打折后的价格是多少元？ (2)如果打折后，商家仍能盈利25%，求这件商品的成本是多少元？ 【题型8】求标价 【典例】某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（   ） A.26元 B.27元 C.28元 D.29元 【举一反三1】阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，那么这种电子产品的标价为（    ） A.29元 B.28元 C.27元 D.26元 【举一反三2】一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．则这种服装每件的标价（   ）元 A.90 B.100 C.110 D.120 【举一反三3】买一辆汽车，分期付款购买要多加价，如果现金购买可按九五折优惠．小新算完后发现分期付款比现金购买多付元，那么这辆汽车的原价是      元． 【举一反三4】商场将某件商品按标价的8折出售，仍可获利20元.已知这件商品的进价为140元，那么这件商品的标价是      元. 【举一反三5】张新和李明到图书城去买书,请你根据他们的对话内容(如图),求出李明上次所买书籍的原价． 【题型9】求打折 【典例】某种商品每件的进价为元，标价为元，为了拓展销路，商店准备打折销售，若使每件商品的利润率为，设商店打折销售，则依题意得到的方程是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以80元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（　　） A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.盈利10元 【举一反三2】某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得利润率，则要打         折． 【举一反三3】某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打         折出售． 【举一反三4】年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 问题解决： (1)每个款书包的进价为 元，每个款书包的进价为 元； 信息应用： (2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？ 【举一反三5】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【题型10】求盈亏 【典例】一双鞋子若卖元，可赚；若卖元，可赚(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为．为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为(   ) A.875元 B.750元 C.562.5元 D.550元 【举一反三2】商店各以400元的的价格出售了两副耳机，一副赚了，另一副亏了，那么商店的盈亏情况是(   ) A.亏80元 B.赚20元 C.亏20元 D.不亏不赚 【举一反三3】 “春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了           元． 【举一反三4】某水果销售点用600元购进甲、乙两种新出产的水果共110千克，这两种水果的进价、售价如表所示： (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【举一反三5】已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了，亏了(或赚了)多少钱？ 【题型11】分段计费问题 【典例】为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A.元 B.元 C.元 D.元 【举一反三2】水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按1.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费50元，那么该户这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，可列方程为        ． 【举一反三3】为了合理利用电力资源，缓解用电紧张状况，某市电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(见下表)．已知王老师家月份使用“峰谷电”千瓦时，缴电费元，问王老师家月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？ 【题型12】相遇问题 【典例】A，B两地相距37千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，甲比乙晚出发1小时，乙出发5小时后两人在途中相遇，已知甲每小时比乙多走1千米，设甲每小时走x千米.根据题意可得方程(　　) A.4x+5=37 B.5x+4=37 C.4x+5=37 D.5x+4=37 【举一反三1】《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是今有野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海.野鸭与大雁同时起飞相向而行，经过多少天相逢？利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，则根据题意列出的方程是(　　) A.x=1 B.x=1 C.x=1 D.x=1 【举一反三2】A、B两地相距千米，慢车以千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以千米/小时的速度从B地出发相向而行，当两车相距千米时，两车行驶了         小时. 【举一反三3】数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它包括原点，正方向和长度单位三要素，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示． (1)数轴上某一个点所对应的数为2，另一个点对应的数为，则这两点之间的距离为________； (2)数轴上的数对应的点为A，点B位于A点的右边，距A点m个长度单位，C为线段上的一点，，电子蚂蚁P、Q分别从A、B同时出发，相向而行，P的速度为3个长度单位/秒，Q的速度为2个长度单位/秒． ①当P、Q距点距离相同时，求运动时间t； ②若电子蚂蚁Q通过点1秒后与电子蚂蚁P相遇，求m的值． 【举一反三4】甲、乙两地相距72 km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以、的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2 h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地． (1)______，______； (2)求出发多长时间后，两车相遇？ (3)求出发多长时间后，两车相距30 km？ 【题型13】追及问题 【典例】如图：在边长为的正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置(    ) A.在线段上 B.在线段上 C.处 D.在线段上 【举一反三1】小明每秒钟跑6米，小虎每秒钟跑5米，小虎站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小虎需(     ) A.10秒 B.8秒 C.6秒 D.5秒 【举一反三2】小斌和小强每天早晨坚持跑步，小斌每秒跑4 m，小强每秒跑6 m.如果小强站在百米跑道起点处，小斌站在他前面10 m处，两人同时同向起跑，若x秒后小强追上小斌，根据题意列出方程是(　　) A.x=10 B.x=10 C.x=100 D.x=90 【举一反三3】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为　　　　　　　　　　　. 【举一反三4】超市位于小明家正西100米处，学校位于小明家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校.已知妈妈每分钟走70米，小明每分钟走50米.则小明家距离学校有多远？ 【举一反三5】甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 【题型14】航行及其它行程问题 【典例】一艘轮船在、两个码头间航行，已知、间的路程是千米，水流速度是千米/时，从到顺流航行需小时，那么从返回到需要(　) A.小时 B.小时 C.小时 D.小时 【举一反三1】一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥(即从车头进入桥头到车尾离开桥尾)，又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】一列火车以15千米/时等速行驶，进入一个长度是火车长度两倍的隧道，从进入隧道到最后离开这个隧道，总共用去6分钟，则这列火车的长度是　　　　. 【举一反三3】小明周末和朋友约好去爬山，他们先从北坡上山，速度是每小时3千米，在山顶停留1小时后又从南坡下山，速度为每小时4千米，此次游玩(包括停留时间在内)一共用了5小时，如果下山比上山的路程多2千米，求上山的路程． 【题型15】几何图形问题 【典例】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长为厘米，则 (    )厘米． A.45 B.43 C.35 D.55 【举一反三1】一个长方形的周长为18 cm，长比宽多1 cm.设宽为x cm，根据题意，可列方程(　　) A.2x+2=18 B.x+=18 C.2x+2=18 D.x+=18 【举一反三2】如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为(    ) A. B.5 C.或5 D. 【举一反三3】如图，甲、乙两个长方形有一部分重叠在一起，甲长方形不重叠的部分是甲长方形面积的，乙长方形不重叠的部分是乙长方形面积的，且甲、乙两个长方形面积之和为，则重叠部分面积是         ．    【举一反三4】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边；一般情况下，天头长与地头长的比是7∶5，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为120 cm，宽为33 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 【举一反三5】如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长35 m的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多5 m，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由. 【题型16】等积变化问题 【典例】如图所示，有一个直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为12 cm，且水桶与铁柱的底面半径之比为2∶1.如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变.若不计水桶的厚度，则水桶内的水面高度变为(　　) A.4.5 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 【举一反三1】如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米、50厘米，将把隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少厘米？（    ） A.42 B.43.5 C.45 D.60 【举一反三2】一艘货船的载重量为260吨，容积为1 000立方米，现在要利用这艘货船装运甲、乙两种货物，甲货物每吨体积为8立方米，乙货物每吨体积为2立方米.要使这艘船的载重量与容积都能得到充分利用，设装运甲种货物x吨，则(　　) A.8x+2=1 000 B.8x·2+(260-x)=1 000 C.8x+(260-x)=1 000 D.8x+2(260+x)=1 000 【举一反三3】如图是小明家仓库外侧一面墙壁的示意图，由一个长方形和一个三角形组成，小明爸爸打算重新建造仓库，将这面墙壁的形状改为长方形，面积不变且底边长仍为，则重建后这面墙壁的高为        ． 【举一反三4】如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 【题型17】和差倍分问题 【典例】牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？(    ) A.只 B.只 C.只 D.只 【举一反三1】《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺=10寸).意思是现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　　) A.(x+4.5)=x-1 B.(x+4.5)=x+1 C.(x-4.5)=x+1 D.(x-4.5)=x-1 【举一反三2】“鸡兔同笼”问题是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？如果我们设有x只鸡，则可列方程（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个苹果，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，这些苹果一共有      个． 【举一反三4】列方程解应用题： 某中学七年级某班48名同学去公园划船，一共乘坐10艘船．已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满．问：大船、小船各有几艘？ 【题型18】工程问题 【典例】甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需(    ) A.35天 B.30天 C.15天 D.10天 【举一反三1】某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需，就可以完成．两小组合做后，再由乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为(   ) A. B. C. D. 【举一反三3】一项工程甲单独做6天完成，乙单独做10天完成，甲独做1天后，甲、乙两人合做，又做了x天完成这项工程的.根据题意列出方程　　　　　　　. 【举一反三4】整理一批图书，由一个人做需要30小时才能完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，设先安排x个人工作，则可列方程为　　　　　　　　　　　　. 【举一反三5】有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【举一反三6】为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？ 苏科版（2024）七年级上册 4.3 用一元一次方程解决问题 题型专练（参考答案） 【题型1】产品配套问题 【典例】某车间有21名工人生产螺栓和螺母，每人每小时能生产螺栓12个或螺母18个，现分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，并使得每小时生产的螺栓和螺母可按1∶2配套，则所列方程为(　　) A.12x＝18 B.2×12x＝18 C.2×18x＝12 D.12x＝2×18 【答案】B 【解析】因为x名工人生产螺栓，所以生产螺母的工人有(21－x)名. 每小时生产螺栓12x个，生产螺母18×(21－x)个， 根据“恰好每小时生产的螺栓和螺母按1∶2配套”，得出方程2×12x＝18(21－x). 【举一反三1】龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设用x千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：． 故选 【举一反三2】如图的长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，每张大长方形硬纸片可按两种方法裁剪：按A方法裁剪4个侧面；按B方法裁剪6个底面．现有112张相同的大长方形硬纸片全部用于裁剪制作这种长方体盒子，设裁剪时有x张用A方法，其余用B方法．(粘合处不计) (1)请用含x的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则按A，B两种方法各裁剪多少张？一共能做多少个这样的长方体盒子？ 【答案】(1)解　设裁剪时有x张用A方法，则剪裁时有张用B方法， ∴裁剪出的侧面数为个，底面数为个； (2)解　由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∴按A，B两种方法各裁剪84张，28张，一共能做84个这样的长方体盒子． 【举一反三3】某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【答案】解　(1)设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， 答：制作桌面的木料为． (2)设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， ∴制作桌腿的木料为：． 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套． 【题型2】人员调配问题 【典例】某校社团课28名学生制作长方体礼品盒，每人每小时可做60个侧面或90个底面，一个礼品盒要一个侧面和两个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做侧面，多少名学生做底面?设分配x名学生做侧面，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设分配x名学生做侧面，则可列方程为，故选：D． 【举一反三1】某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1~2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的同学比参加书法社的同学多5人，两个社团都参加的同学有12人.设参加书法社的同学有x人，则(　　) A.x+(x-5)=25 B.x+(x+5)+12=25 C.x+(x+5)-12=25 D.x+(x+5)-24=25 【答案】C 【解析】设参加书法社的同学有x人，则参加摄影社的同学有(x+5)人， 依题意，得x+(x+5)-12=25. 【举一反三2】古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其译文为每3人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车x辆，则根据题意，可列出方程(　　) A.3=2x-9 B.3=2x+9 C.3=2x+9 D.3=2x-9 【答案】C 【举一反三3】机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排     名工人加工大齿轮，      名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 【答案】20；48 【解析】设安排名工人加工大齿轮，则有名工人加工小齿轮， 由题可得： ， 解得：， 所以加工大齿轮的有人，所以加工小齿轮的有人， 故答案为：，． 【举一反三4】某车间有工人100名，每人每天平均可加工螺栓1800个或螺母2400个，要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母)，应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 【答案】解　设分配x人加工螺栓，则加工螺母的为人． 根据题意列方程，得． 解得． ． 答：应分配40人加工螺栓，60人加工螺母． 【题型3】数字问题 【典例】一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，且它们的和是12，则这个两位数是(　　) A.26 B.62 C.39 D.93 【答案】C 【解析】设十位上的数字是x，则个位上的数字是3x. 由题意得x+3x=12， 解得x=3， 则3x=9， 所以该数为39. 【举一反三1】把9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”(图1)，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(    ) A.7 B.4 C.1 D.6 【答案】C 【解析】如图， 依题意可得， 解得． ∴， 解得． ， 解得． 故选：C． 【举一反三2】甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是(   ) A. B. C. D.23 【答案】B 【解析】设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 【举一反三3】小颖按如图所示的程序输入一个正数x，最后从输出端得到的数为16，小颖输入的数x的值为　　　　. 【答案】1或6 【解析】根据题意得2x+4=16， 移项、合并同类项，得2x=12， 解得x=6， 若2x+4=6，则x=1，即输入x=1，经过两轮程序后输出16. 综上，x的值为1或6. 【举一反三4】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【答案】解　(1)设，由…可知，． 所以．所以． 解这个方程，得； (2)设，则，， ∴， ∴． 【举一反三5】我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)解　设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，，1； (2)解　设，则， ∴， 解得，， ∴． 【题型4】年龄问题 【典例】小明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小明年龄的3倍，现在父亲的年龄是（　　） A.50岁 B.46岁 C.44岁 D.42岁 【答案】D 【解析】设现在父亲的年龄是x岁， 根据题意得x＝3（x﹣28）， 解得x＝42， ∴现在父亲的年龄是42岁， 故选：D． 【举一反三1】已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是（　　） A.20岁 B.16岁 C.15岁 D.12岁 【答案】A 【解析】设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁， 根据题意得：x+4＝2（x﹣12+4）， 解得：x＝20． 故选：A． 【举一反三2】小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值为 　  　． 【答案】8 【解析】设经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的， 根据题意得，13+x， 解得x＝8， 即经过8年后小明的年龄是他祖父年龄的， 故答案为：8． 【举一反三3】阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他，我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的： 这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【答案】解　设丢番图的寿数为x岁， 根据题意，得， 解得x＝84， 答：丢番图只活了84岁． 【举一反三4】阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——古希腊数学家丢番图的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们可以根据墓碑上的题目，算出他的寿命.碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图.他生命的是童年；再活了寿命的，脸颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世.阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【答案】解　设丢番图寿命为x岁，根据题意列式 x+x+x+5+x+4=x， x+9=x， x=9， x=84， 所以丢番图寿命是84岁. 【题型5】积分问题 【典例】爸爸和儿子共下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了(    ) A.9盘 B.8盘 C.4盘 D.3盘 【答案】B 【解析】设爸爸赢了x盘棋，根据题意得 解得， 故选：B． 【举一反三1】利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对(    )道题 A.16 B.15 C.14 D.13 【答案】B 【解析】设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 【举一反三2】某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均参赛8场)，赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，在这次足球赛中，猛虎足球队踢平的场数是所输场数的2倍，共得17分，则该队赢了(　　) A.6场 B.5场 C.4场 D.3场 【答案】B 【解析】设猛虎足球队输的场数为x，则平的场数为2x，赢的场数为(8－x－2x).由题意得3(8－x－2x)＋2x＝17，解得x＝1，则8－x－2x＝5.即该队赢了5场. 【举一反三3】某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为      ． 【答案】6 【解析】由题意得： 解得：. 故答案为6． 【举一反三4】学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 【答案】解　设小明答对道题，可得： ， 解得：， 答：小明答对29道题． 【举一反三5】如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下．    在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． 【答案】(1)解　由题意可得， 第一局的得分：(分)， 答：珍珍第一局的得分分； (2)解　由题意可得， 第二次的分数为：， ∵本局得分比第一局提高了8分， ∴， 解得：． 【题型6】日历问题 【典例】如图，表中给出的是本月的月历，任意选取“”型框中的6个数(譬如阴影部分所示)，则这6个数的和不可能是(    ) A.87 B.99 C.129 D.135 【答案】B 【解析】设这6个数按从小到大的数分别为，，，，，，由题意得： ； ∴当时，解得：； 当时，解得：，此时在表格外； 当时，解得：； 当时，解得：； 根据这6个数的特征可知：这6个数的和不可能是99； 故选B． 【举一反三1】几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（    ） A.28 B.33 C.45 D.57 【答案】A 【解析】设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14, 可得三个数的和=x+(x+7)+(x+14)=3x+21， A.3x+21=28，解得x不是整数，故它们的和一定不是28； B.3x+21=33，解得：x=4，故它们的和可能是33； C.3x+21=45，解得：x=8，故它们的和可能是45； D.3x+21=57，解得：x=12，故它们的和可能是57. 故选:A. 【举一反三2】如图， 在2024年1月的日历表中用图形框框出 10，18， 19， 24 四个数， 它们的和71． 若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是(    ) A.35 B.63 C.99 D.119 【答案】D 【解析】设最上面的那个数为x，则剩下的三个数分别为， ∴这四个数的和为， 当时，解得，则四个数分别为1，9，10，15，满足日历的特点； 当时，解得，则四个数分别为8，16，17，22，满足日历的特点； 当时，解得，则四个数分别为17，25，26，31，满足日历的特点； 当时，解得，则四个数分别为22，30，31，36，不满足日历的特点； ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选D． 【举一反三3】在月历表中选取一行上三个阳历日期，已知三个日期的和是15，那么最小的日期是        ． 【答案】4 【解析】设最小的日期是，则其他两个日期分别为，， 根据题意有：， 解得：， 故最小日期是4号． 【举一反三4】如图是2024年1月份的日历，小张用长方形按图示方法从中任意框出四个日期，若这四个日期的和为56，则处的日期为2024年1月             日． 【答案】17 【解析】设C处上的数字为x， 得：． ， ． 答：C处上的数字为17， 故答案为：17． 【举一反三5】下表是2024年4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是25吗？为什么？ 【答案】解　(1)设第一行左边的数为x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天分别表示为，，， 根据题意得， 解得：， 所以，，， 所以这四天分别是15号，16号，21号，22号． (2)不可能． 理由如下： 设第一行左边的数为y，则，解得， 因为y表示天数，必须是正整数， 所以框出的4个数的和不可能是25． 【举一反三6】如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 【答案】解　(1)从上往下数第二个数为， 第一个数为，第三个数为，最右边的数为， 这四个数的和为：． (2)若这四个数的和是72，则有，解得， 则这四个数分别是：9，16，23，24． 但是从图中观察发现，要框住这4个数，无法用图中的L形框，故框柱的四个数的和不能等于72． 【题型7】求进价 【典例】青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为(    ) A.29元 B.30元 C.31元 D.32元 【答案】B 【解析】设该玩具进货价为元， 根据题意得，， 解得：， 故选：B． 【举一反三1】一件商品按成本价提高40%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为240元.设这件商品的成本价为x元，根据题意，列方程正确的是(　　) A.x·40%×80%=240 B.x×80%=240 C.240×40%×80%=x D.x·40%=240×80% 【答案】B 【举一反三2】一件商品标价140元，若八折出售，仍可获利12%，则这件商品的进价为       元． 【答案】100 【解析】设这件商品的进价为x元，根据题意得（1+12%）x=140×0.8， 解得x=100． 则这件商品的进价为100元． 【举一反三3】学校为促进“篮球体育运动社团”的开展，准备添置一批篮球，原计划订购80个，每个售价150元，商店表示：如果多购可以优惠，最后校方买了100个，每个只售140元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价． 【答案】解　设每个篮球的成本价为x元， 由题意得． 解得． 答：每个篮球的成本价为100元． 【举一反三4】一件商品标价260元，双十一期间，商家为了吸引顾客购买，决定把这件商品打八折后再出售． (1)这件商品打折后的价格是多少元？ (2)如果打折后，商家仍能盈利25%，求这件商品的成本是多少元？ 【答案】解　(1)(元)， 答：这件商品打折后的价格是208元． (2)设这件商品的成本是x元． ， ∴， 答：这件商品的成本是元． 【题型8】求标价 【典例】某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（   ） A.26元 B.27元 C.28元 D.29元 【答案】C 【解析】设标价是x元，根据题意则有：0.9x=21（1+20%）， 解可得：x=28， 故选C． 【举一反三1】阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，那么这种电子产品的标价为（    ） A.29元 B.28元 C.27元 D.26元 【答案】B 【解析】设这种电子产品的标价为x元， 则， 解得：． 所以这种电子产品的标价为28元． 故选B． 【举一反三2】一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．则这种服装每件的标价（   ）元 A.90 B.100 C.110 D.120 【答案】C 【解析】设这种服装每件的标价元， 由题意可得：， ， 答：这种服装每件的标价110元． 故选：C． 【举一反三3】买一辆汽车，分期付款购买要多加价，如果现金购买可按九五折优惠．小新算完后发现分期付款比现金购买多付元，那么这辆汽车的原价是      元． 【答案】 【解析】设汽车的原价是元， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【举一反三4】商场将某件商品按标价的8折出售，仍可获利20元.已知这件商品的进价为140元，那么这件商品的标价是      元. 【答案】200 【解析】设原价为x元， 根据题意可得：80%x=140+20， 解得：x=200． 所以该商品的标价为200元. 【举一反三5】张新和李明到图书城去买书,请你根据他们的对话内容(如图),求出李明上次所买书籍的原价． 【答案】解：设原价为x元， 根据题意得：70%x+20=x﹣10， 解之得：x=100． 答：李明上次所买书籍的原价为100元． 【题型9】求打折 【典例】某种商品每件的进价为元，标价为元，为了拓展销路，商店准备打折销售，若使每件商品的利润率为，设商店打折销售，则依题意得到的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵售价进价进价利润率， ∴可列方程， 故选：D． 【举一反三1】某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以80元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（　　） A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.盈利10元 【答案】D 【解析】设赢利的上衣成本为元，亏本的上衣成本为元， 依题意得，， 解得，， ， 解得，， ∵，， ∴这次买卖中，该商贩盈利10元， 故选：D． 【举一反三2】某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得利润率，则要打         折． 【答案】八 【解析】设可打x折， 由题意得， 解得， ∴为保证获得利润率，则要打八折． 故答案为：八． 【举一反三3】某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打         折出售． 【答案】8 【解析】设打折，根据题意得 ， 解得， 即打8折出售． 故答案为：８． 【举一反三4】年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 问题解决： (1)每个款书包的进价为 元，每个款书包的进价为 元； 信息应用： (2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】(1)解　设每个款书包为元，则款书包为元， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴每个款书包为元，则款书包为元； (2)解　设折扣为 由题意可得： 解得：， ∴打了九折， 答：在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售 【举一反三5】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)解　设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只． 由题意，得， 解得． 答：可以购进甲型节能灯400只； (2)解　设乙型节能灯需打a折， 则， 解得． 答：乙型节能灯需打九折． 【题型10】求盈亏 【典例】一双鞋子若卖元，可赚；若卖元，可赚(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设进价为x元， 由题意得：， 解得：， 所以若卖120元，可赚元， 故选：A． 【举一反三1】某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为．为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为(   ) A.875元 B.750元 C.562.5元 D.550元 【答案】A 【解析】设某品牌电器的进价为元，则标价为元， 根据题意得：， 解得：， ， “五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为875元． 故选：A． 【举一反三2】商店各以400元的的价格出售了两副耳机，一副赚了，另一副亏了，那么商店的盈亏情况是(   ) A.亏80元 B.赚20元 C.亏20元 D.不亏不赚 【答案】C 【解析】设第一副耳机原价为x元，一台赚， 则， 解得，赚了元． 设第一副耳机原价为y元，第二台亏， 则， 解得，亏了元． ， 所以亏20元， 故选：C． 【举一反三3】 “春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了           元． 【答案】28 【解析】设节省了x元，根据题意，得， 解得． 故答案为：28． 【举一反三4】某水果销售点用600元购进甲、乙两种新出产的水果共110千克，这两种水果的进价、售价如表所示： (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【答案】解　(1)设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．依题意得：． ． 解得：， ∴． 答：甲种水果购进70千克，乙种水果购进40千克； (2)． ． 答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是260元． 【举一反三5】已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了，亏了(或赚了)多少钱？ 【答案】解　设盈利的一件运动衫进价为x元，亏损的一件运动衫进价为y元，由题意得 ， 解得， (元)， 所以，在这次买卖中这家商店是赚了，赚了20元钱． 【题型11】分段计费问题 【典例】为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 【举一反三1】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】设月份用了煤气立方， 则， 解得：， 元， 故选：B． 【举一反三2】水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按1.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费50元，那么该户这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，可列方程为        ． 【答案】 【解析】设这个月共用立方米的水， 根据题意，可得． 故答案为：． 【举一反三3】为了合理利用电力资源，缓解用电紧张状况，某市电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(见下表)．已知王老师家月份使用“峰谷电”千瓦时，缴电费元，问王老师家月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？ 【答案】解　设王老师家月份“峰电”用了千瓦时，则“谷电”用了千瓦时， 根据题意可得，， 解得， ∴， 答：王老师家月份“峰电”用了千瓦时，“谷电”用了千瓦时． 【题型12】相遇问题 【典例】A，B两地相距37千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，甲比乙晚出发1小时，乙出发5小时后两人在途中相遇，已知甲每小时比乙多走1千米，设甲每小时走x千米.根据题意可得方程(　　) A.4x+5=37 B.5x+4=37 C.4x+5=37 D.5x+4=37 【答案】A 【解析】甲每小时走x千米，比乙晚出发1小时，走过的路程表示为4x千米， 乙每小时走(x-1)千米，出发5小时，走过的路程表示为5(x-1)千米. 由此可得方程4x+5=37. 【举一反三1】《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是今有野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海.野鸭与大雁同时起飞相向而行，经过多少天相逢？利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，则根据题意列出的方程是(　　) A.x=1 B.x=1 C.x=1 D.x=1 【答案】C 【解析】因为今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海， 所以野鸭每天飞行的路程为两地间的距离的，大雁每天飞行的路程为两地间的距离的. 设经过x天相遇， 依题意，得x=1. 【举一反三2】A、B两地相距千米，慢车以千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以千米/小时的速度从B地出发相向而行，当两车相距千米时，两车行驶了         小时. 【答案】或 【解析】设x小时两车相距千米， 当相遇前相距千米时，由题意可得， 解得：， 当相遇后相距千米时，由题意可得， 解得：. 【举一反三3】数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它包括原点，正方向和长度单位三要素，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示． (1)数轴上某一个点所对应的数为2，另一个点对应的数为，则这两点之间的距离为________； (2)数轴上的数对应的点为A，点B位于A点的右边，距A点m个长度单位，C为线段上的一点，，电子蚂蚁P、Q分别从A、B同时出发，相向而行，P的速度为3个长度单位/秒，Q的速度为2个长度单位/秒． ①当P、Q距点距离相同时，求运动时间t； ②若电子蚂蚁Q通过点1秒后与电子蚂蚁P相遇，求m的值． 【答案】解　(1)． 故这两点之间的距离为． (2)①∵数轴上的数对应的点为A，点B位于A点的右边，距A点m个长度单位， ∴， ∵C为线段上的一点，， ∴，， ∵， ，相遇前，， 解得；经检验不符合题意； ，相遇时，， 解得． ，相遇后，， 解得；经检验符合题意； 故运动时间t为或． ②∵电子蚂蚁Q通过点1秒后与电子蚂蚁P相遇， ∴， 整理得： 解得． 故m的值为30． 【举一反三4】甲、乙两地相距72 km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以、的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2 h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地． (1)______，______； (2)求出发多长时间后，两车相遇？ (3)求出发多长时间后，两车相距30 km？ 【答案】解：（1）由题意得：, , 故答案为：36,12； （2）设出发x小时后两车相遇， 根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2, 解得, 答：出发小时后两车相遇； （3）设出发t小时后两车相距30 km， ①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时， 36t-12t=30,解得t=， ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时， 12t＋30＝72,解得t＝， ③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时， 相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2， 解得（舍）, 相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2， 解得 答：出发小时，两车相距30 km. 【题型13】追及问题 【典例】如图：在边长为的正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置(    ) A.在线段上 B.在线段上 C.处 D.在线段上 【答案】C 【解析】乙在第2024次追上甲时， 设花费时间为秒，则可得，解得， 甲、乙两个动点相遇，则处于同一点， 甲运动的路程为， 正的边长为， 甲运动一周是， ，即甲在处， 这两个动点所在的位置在处， 故选：C． 【举一反三1】小明每秒钟跑6米，小虎每秒钟跑5米，小虎站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小虎需(     ) A.10秒 B.8秒 C.6秒 D.5秒 【答案】A 【解析】小明追上小虎需x秒，根据题意可得，6x=5x+10，解得x=10，所以小明追上小虎需10秒，故选A. 【举一反三2】小斌和小强每天早晨坚持跑步，小斌每秒跑4 m，小强每秒跑6 m.如果小强站在百米跑道起点处，小斌站在他前面10 m处，两人同时同向起跑，若x秒后小强追上小斌，根据题意列出方程是(　　) A.x=10 B.x=10 C.x=100 D.x=90 【答案】A 【举一反三3】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】150x+150×12=240x 【举一反三4】超市位于小明家正西100米处，学校位于小明家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校.已知妈妈每分钟走70米，小明每分钟走50米.则小明家距离学校有多远？ 【答案】解　设小明家距离学校x米， 根据题意可列方程为=， 解得x=500. 所以小明家距离学校有500米. 【举一反三5】甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 【答案】(1)解　设两车同时开出，相向而行，经过x小时相遇， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，相向而行，相遇． (2)解　设快车经过才能追上慢车， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，同向而行，快车才能追上慢车． 【题型14】航行及其它行程问题 【典例】一艘轮船在、两个码头间航行，已知、间的路程是千米，水流速度是千米/时，从到顺流航行需小时，那么从返回到需要(　) A.小时 B.小时 C.小时 D.小时 【答案】D 【解析】设轮船在静水中的速度是千米/时，则 ， 解得：， (小时)． 即从B返回A用5小时． 故选D． 【举一反三1】一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥(即从车头进入桥头到车尾离开桥尾)，又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设这列火车的长度是， 由题意得：， 解得， 故选:C． 【举一反三2】一列火车以15千米/时等速行驶，进入一个长度是火车长度两倍的隧道，从进入隧道到最后离开这个隧道，总共用去6分钟，则这列火车的长度是　　　　. 【答案】0.5千米 【解析】设这列火车的长度为x千米，则隧道的长度为2x千米，根据题意，得x+2x=15×， 解得x=0.5， 所以这列火车的长度为0.5千米. 【举一反三3】小明周末和朋友约好去爬山，他们先从北坡上山，速度是每小时3千米，在山顶停留1小时后又从南坡下山，速度为每小时4千米，此次游玩(包括停留时间在内)一共用了5小时，如果下山比上山的路程多2千米，求上山的路程． 【答案】解　设上山的路程为x千米，则下山的路程为千米， 根据题意，得：， 解得：, 答：上山的路程为6千米． 【题型15】几何图形问题 【典例】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长为厘米，则 (    )厘米． A.45 B.43 C.35 D.55 【答案】A 【解析】由题意得，长方形墙砖的宽为厘米， ∴， 解得， 故选：A． 【举一反三1】一个长方形的周长为18 cm，长比宽多1 cm.设宽为x cm，根据题意，可列方程(　　) A.2x+2=18 B.x+=18 C.2x+2=18 D.x+=18 【答案】C 【解析】设宽为x cm，则长为cm， 由题意可得2x+2=18. 【举一反三2】如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为(    ) A. B.5 C.或5 D. 【答案】C 【解析】①如图1， 当P在上时， ∵的面积等于， ∴， 解得． ②当P在上时，如图2， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得． ③当P在上时，如图3， ∴， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当或5时，的面积等于． 故选：C. 【举一反三3】如图，甲、乙两个长方形有一部分重叠在一起，甲长方形不重叠的部分是甲长方形面积的，乙长方形不重叠的部分是乙长方形面积的，且甲、乙两个长方形面积之和为，则重叠部分面积是         ．    【答案】8 【解析】设甲长方形的面积为，则乙长方形的面积为， 由题意，得：， 解得：， ∴重叠部分面积是； 故答案为：8． 【举一反三4】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边；一般情况下，天头长与地头长的比是7∶5，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为120 cm，宽为33 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 【答案】解　设天头长7x cm，则地头长5x cm，边的宽为x cm， 根据题意，得4=+120， 解得x=3， 3×7=21(cm)， 所以边的宽为3 cm，天头长21 cm. 【举一反三5】如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长35 m的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多5 m，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由. 【答案】解　设篱笆的长为x m，宽为(x-5)m， 所以x+2=35， 解得x=15， 因为15 m>14 m，所以不符合实际情况. 【题型16】等积变化问题 【典例】如图所示，有一个直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为12 cm，且水桶与铁柱的底面半径之比为2∶1.如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变.若不计水桶的厚度，则水桶内的水面高度变为(　　) A.4.5 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 【答案】D 【解析】设铁柱的底面半径为x cm，将铁柱移至水桶外部后，水桶内的水面高度为h cm， 根据题意，得12=πh， 解得h=9. 即水桶内的水面高度变为9 cm. 【举一反三1】如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米、50厘米，将把隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少厘米？（    ） A.42 B.43.5 C.45 D.60 【答案】B 【解析】设长方形的宽为x厘米，抽出隔板后之水面高度为h厘米，长方形的长为（厘米）， 由题意可得：， 解得：， 即抽出隔板后之水面高度为厘米． 故选：B． 【举一反三2】一艘货船的载重量为260吨，容积为1 000立方米，现在要利用这艘货船装运甲、乙两种货物，甲货物每吨体积为8立方米，乙货物每吨体积为2立方米.要使这艘船的载重量与容积都能得到充分利用，设装运甲种货物x吨，则(　　) A.8x+2=1 000 B.8x·2+(260-x)=1 000 C.8x+(260-x)=1 000 D.8x+2(260+x)=1 000 【答案】A 【解析】设装运甲种货物x吨，则装运乙种货物吨， 由题意得8x+2=1 000. 【举一反三3】如图是小明家仓库外侧一面墙壁的示意图，由一个长方形和一个三角形组成，小明爸爸打算重新建造仓库，将这面墙壁的形状改为长方形，面积不变且底边长仍为，则重建后这面墙壁的高为        ． 【答案】5 【解析】设重建后这面墙壁的高为， 由题意可得， 解得，经检验，符合题意， 所以重建后这面墙壁的高为． 故答案为：5． 【举一反三4】如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 【答案】解　（1）根据题意，，， 解得，， 故答案为：，． （2）设x分钟后，两容器中的水位差为，根据题意，，，当时， 解得； 当时， 解得； 故经过分钟或8分钟时，水位差为． 【题型17】和差倍分问题 【典例】牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？(    ) A.只 B.只 C.只 D.只 【答案】C 【解析】设牧羊人的羊群有只， 根据题意，可得 ， 解得 ， 所以，牧羊人的羊群有36只． 故选：C． 【举一反三1】《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺=10寸).意思是现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　　) A.(x+4.5)=x-1 B.(x+4.5)=x+1 C.(x-4.5)=x+1 D.(x-4.5)=x-1 【答案】A 【解析】设长木长为x尺， 因为用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， 所以绳子长为(x+4.5)尺， 因为绳子对折再量木条，长木剩余1尺， 得方程为(x+4.5)=x-1. 【举一反三2】“鸡兔同笼”问题是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？如果我们设有x只鸡，则可列方程（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：， 故选：A． 【举一反三3】小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个苹果，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，这些苹果一共有      个． 【答案】59 【解析】设共有个小朋友，则苹果有个，由题意列出一元一次方程，则可得出答案． 设共有个小朋友，则苹果有个， ， 解得， (个 即有7个小朋友，有59个苹果． 故答案为：59． 【举一反三4】列方程解应用题： 某中学七年级某班48名同学去公园划船，一共乘坐10艘船．已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满．问：大船、小船各有几艘？ 【答案】解　设大船x艘，则小船有艘， 由题意得：，      解得 ， 答：大船有4艘，小船6艘． 【题型18】工程问题 【典例】甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需(    ) A.35天 B.30天 C.15天 D.10天 【答案】B 【解析】甲自己做需天， ∴甲的工作效率为 设乙的工作效率为x， 根据题意得，， 解得 ∴乙的工作效率为， ∴若乙单独完成这项工作，则需30天． 故选：B． 【举一反三1】某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设该工厂的任务是生产个零件， 根据题意得：， 故选：C． 【举一反三2】检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需，就可以完成．两小组合做后，再由乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为(   ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设还需x小时完成这台机器的检修任务． 根据题意，得， 解得, 故还需小时才能完成这台机器的检修任务． 故选：B． 【举一反三3】一项工程甲单独做6天完成，乙单独做10天完成，甲独做1天后，甲、乙两人合做，又做了x天完成这项工程的.根据题意列出方程　　　　　　　. 【答案】+x= 【举一反三4】整理一批图书，由一个人做需要30小时才能完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，设先安排x个人工作，则可列方程为　　　　　　　　　　　　. 【答案】x+(x+3)=1 【解析】由题意可得，每个人每小时完成， 设先安排x个人工作，根据题意列方程得，x×2+×(x+3)×4=1， 即x+(x+3)=1. 【举一反三5】有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【答案】(1)解　设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有900件； (2)解　设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：乙工厂共加工30天； (3)解　①方案一：由甲厂单独加工时， 耗时为天，需要费用为：(元； ②方案二：由乙厂单独加工时， 耗时为天，需要费用为：(元； ③方案三：由两加工厂共同加工时， 耗时为30天，需要费用为：(元． ， ∴按方案三方式完成既省钱又省时间． 【举一反三6】为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？ 【答案】解：设乙工程队再单独做此工程需x个月能完成， ∵甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成， ∴甲每个月完成,乙工程队每个月完成， 现在甲、乙两队先合作2个月， 则完成了， 由乙x个月可以完成， 根据等量关系甲完成的+乙完成的=整个工程， 列出方程为： 解得x=1. 学科网（北京）股份有限公司 $