精品解析：福建厦门市湖滨中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

厦门市湖滨中学2026—2027学年第一学期阶段练习 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2.5 2. 对于一元二次方程，根的判别式中的c表示的数是（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 4. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 歼滑行6秒停止 B. 歼滑行12秒停止 C. 歼向前滑行的速度不变 D. 歼向前滑行的速度越来越大 7. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的最小值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ） A. 这两点一定是M和N B. 这两点一定是Q和R C. 这两点可能是M和Q D. 这两点可能是P和Q 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 使二次根式有意义的的值为_____（写出一个符合题意的值即可）． 10. 已知x＝－2是方程的一个根，则m的值是_________． 11. 将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为______． 12. 某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据（单位：）如表所示． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 2 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是_______． 13. 抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 根据以上信息，当时x的取值范围为_________ ． 14. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为____________ ． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为____________ （用含a的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，有，则a的取值范围是____________________ ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的 两点，且∠BAE=∠DCF． 求证：BE＝DF． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并画出函数图象； （2）点为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，若，求出此时点的坐标． 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数m的值． 22. 某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表． 时间t（天） 1 5 9 13 17 21 日销售量y（件） 118 110 102 94 86 78 （1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式； （2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润（）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围． 23. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1.我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． （1）代数式的正值是　　 ； （2）判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； （3）①若关于的代数式的正域值为0，求的值； ②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值． 24. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 25. 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴交于、两点在的左侧），且，对于该抛物线上的任意两点，，，，当 时，总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点，都不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖滨中学2026—2027学年第一学期阶段练习 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【详解】解：设点A表示的实数为x， 由数轴可知，， ∴符合题意的数为． 2. 对于一元二次方程，根的判别式中的c表示的数是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式和根的判别式，即可得到答案. 【详解】解：一元二次方程，根的判别式， ∴c表示的数是， 故选：C. 【点睛】此题查了根的判别式、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的一般形式和根的判别式是解题的关键. 3. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 4. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义． 5. 如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据线段垂直平分线的性质得出，即可得出，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 歼滑行6秒停止 B. 歼滑行12秒停止 C. 歼向前滑行的速度不变 D. 歼向前滑行的速度越来越大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．先由函数图象可知，当时，滑行的距离最大，再结合随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，即可作答． 【详解】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大， ∴歼滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法错误， 故选A． 7. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 8. 二次函数的最小值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ） A. 这两点一定是M和N B. 这两点一定是Q和R C. 这两点可能是M和Q D. 这两点可能是P和Q 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质，求得从对称性对称轴为直线，求得图象过，得到关于对称轴的对称点为，判断不在抛物线上，再判断若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值为， ∴， ∵，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴图象过， ∴关于对称轴的对称点为， ∴在点的右侧， ∴不在抛物线上， ∵对称轴为直线， ∴，关于对称， ∴若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上， A、若不在，则对称点也不在，加上，导致三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； B、若和均不在该二次函数图象上，加上，共三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； C、若不在，则．此时在图象上，由对称性对应，得，即．同时和在图象上，满足对称性，可能成立，本选项符合题意； D、若和均不在该二次函数图象上，加上，共三个点不在，矛盾，本选项不符合题意； 综上，只有选项C可能成立． 故选：C． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 使二次根式有意义的的值为_____（写出一个符合题意的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 故答案为：1（答案不唯一，即可）． 10. 已知x＝－2是方程的一个根，则m的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】把x=－2，代入方程，即可求得m的值． 【详解】解：∵x＝－2是方程的一个根， ∴4－2m＋2＝0， 解得：m＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．解题的关键是熟记相关定义． 11. 将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 12. 某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据（单位：）如表所示． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 3 2 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中等级为正常的人数所占比例即可求解 【详解】解：由题意可得，该地区七年级名男生中等级为正常的人数是：， 故答案为． 13. 抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 根据以上信息，当时x的取值范围为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求出对称轴以及抛物线与轴的两个交点坐标，确定抛物线的开口方向，图象法求出不等式的解集即可. 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵由表格可知，在对称轴的左侧，随着的增大而增大， ∴抛物线的开口向下， ∴当时x的取值范围为. 14. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据对称性可得，再设点B的坐标，并代入二次函数关系式求出坐标，即可得出答案． 【详解】∵正方形和抛物线都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴， ∴． 设点B的坐标为， ∵点B在二次函数的图象上， ∴， 解得，(舍)， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为____________ ． 【答案】4049 【解析】 【分析】根据方程的根的定义以及根与系数的关系，进行计算即可. 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴. 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为____________ （用含a的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，有，则a的取值范围是____________________ ． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）分两种情况：若，则抛物线开口向上，设关于直线的对称点为，可推出，根据增减性可得点一定要在点的左侧；若，则由增减性可得点一定在点的右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线， 若，则抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 设关于直线的对称点为， ， ，， ， ， ∵当，有， ∴， ∴ ∴； 若，则抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵对于，有， ∴， ∴； 综上所述，或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程移项后运用直接开平方法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ∴，． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的 两点，且∠BAE=∠DCF． 求证：BE＝DF． 【答案】 证明：∵ 平行四边形ABCD ∴AB∥CD，AB=CD ∴∠ABD=∠CDF 在△ABE与△CDF中 ∴△ABD≌△CDF（ASA） ∴BE=DF 【解析】 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并画出函数图象； （2）点为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）P（4，﹣5） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可，利用五点作图法画出函数图象； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式结合点所在象限进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 列表： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 画图略 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边， ∴， ∴， ∵，且P在第四象限， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴. 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数m的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根结合一元二次方程的定义，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴方程为一元二次方程，， ∴且， ∴且； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，，是分式方程的解且符合要求， ∴. 22. 某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表． 时间t（天） 1 5 9 13 17 21 日销售量y（件） 118 110 102 94 86 78 （1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式； （2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润（）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）y（件）与时间t（天）函数关系式是 （2）第10天的销售利润最大，最大利润是1250元 （3）a的取值范围是 【解析】 【分析】（1）设，选择表格中的两组对应值代入函数关系式，求出k，b的值即可； （2）根据题意，可以得到利润和t之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题； （3）根据题意，可以得到每天扣除捐赠后的日销售利润与t之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围． 【小问1详解】 解：设y（件）与时间t（天）函数关系式是， 由题意得， 解得， ∴y（件）与时间t（天）函数关系式是； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：第10天的销售利润最大，最大利润是1250元； 【小问3详解】 解：设捐赠后的每日的销售利润为元， ， ∴函数的对称轴是， ∵这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大， ∴， 解得，， 又∵， ∴，即a的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1.我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． （1）代数式的正值是　　 ； （2）判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； （3）①若关于的代数式的正域值为0，求的值； ②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值． 【答案】（1）或4 （2）无正值，理由如下： 令，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴代数式无正值； （3）①；②1 【解析】 【分析】（1）根据“正值”的定义，当时，解一元二次方程得或，代入验证即可得到答案； （2）根据“正值”的定义，当时，则，由于，方程没有实数根，从而得到答案； （3）①正域值为0，说明“正值”只有1个，令，得，可求的值；； ②令，求得，，分和两种情况讨论，从而得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，则， 即， 解得或4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）． 令，整理得， ∴， 化简得， 解得； ②令， 则， 解得， 当时，即为正整数， ∴为正整数， ∴． 当时，即为正整数， ∴为小于等于的负整数， 此时b不存在． 综上所述，b的值为1． 24. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 【答案】 任务1：将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式， 设与的关系式为， 将，，三点的坐标代入得， 解得， ， 当时，， 当时，， 经验证，，，，，均满足， 与的关系式为； 任务2：，上午达到最大值 任务3：持续时长为20分钟 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 任务1，经过描点，观察，发现各点的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式，再根据待定系数法求出解析式，最后逐一验证其它点即可； 任务2，根据题意，当时，可列出，再根据二次函数的性质求解即可； 任务3，先判断只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况，再令，求得或150，结合t的取值范围，可求得，即可得到答案． 【详解】解：任务1，略 任务2，当时，， 对称轴为， ， 当时，y随着t的增大而增大， 当时，y取最大值， 此时时上午； 任务3，由任务1和任务2的解答中可知，只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况， 令，则， 解得或150， ， 符合条件的t的范围是， ， 该入口需要启动一级客流管控的持续时长为20分钟． 25. 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴交于、两点在的左侧），且，对于该抛物线上的任意两点，，，，当 时，总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点，都不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴该抛物线与轴总有交点； （2）①； ②证明：该抛物线的解析式为． ∵直线与抛物线交于，两点， ∴可设， ∵， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴，， ∴． 令， 整理得， ∴，． ∴. 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）①求出时，或，根据，结合抛物线上的任意两点，，当时，总有，得到，即可得出结果；②设，推出，，利用根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，， 解得或． ∵， ∴， ∴或， ∵该抛物线上的任意两点，，当时，总有． ∴，， ∴该抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $