精品解析：福建厦门外国语学校2026-2027学年九年级上学期9月巩固专项练习数学

厦门外国语学校2026-2027学年九年级9月巩固专项练习 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意：1．全卷共8页，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）． A. B. C. D. 3. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 对于二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时随的增大而减小 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 7. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知，，，，则的最小值是（ ） A. 76 B. 11 C. 0 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若反比例函数图象在一、三象限，则k的取值范围是_______． 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数表达式为_______． 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，______． 15. 点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是_______． 16. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）请用“五点作图法”画出函数图象； （2）请结合图象直接写出当时，的取值范围是 ． 19. 已知抛物线经过点和． （1）求此抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）判断方程的根的情况，并说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 21. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为元/盒时，每天可售出盒，售价每降低元/盒时，每天可多售出盒，当该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知二次函数（，，为常数）的图象与轴交于点，且过点． （1）求与的关系式（用含的式子表示）． （2）当时，函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1：下列结论中，正确的是 （填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上； （2）若一次函数（）的图象上存在相反点，则应满足的条件为 ； （3）探究2：小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式； （4）探究3：如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 24. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 25. 如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． （1）该抛物线的表达式为； （2）如图①，在点从抛物线上点运动到点的过程中（点与点，不重合），记的面积为，记的面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图②，若，连接，求证：平分． （4）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在新抛物线上存在点（点在直线下方），使得，则点的横坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2026-2027学年九年级9月巩固专项练习 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意：1．全卷共8页，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：是分式方程，所以A不符合题意； 是一元一次方程，所以B不符合题意； 符合一元二次方程的定义，所以C符合题意； 是三次方程，所以D不符合题意． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将反比例函数变形为：，逐一验证各项是否满足关系式即可得到答案． 【详解】解：将变形为：，逐一计算各选项横纵坐标的乘积： 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意； 选项：，该点在函数图象上，故选项符合题意； 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意； 选项：，，该点不在函数图象上，故选项不符合题意． 3. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 4. 对于二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，即直线， ∴函数有最小值，最小值为1，当时，y随x的增大而减小， 故选项C不正确，符合题意，选项B、A、D正确，不符合题意． 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 6. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10. 已知，，，，则的最小值是（ ） A. 76 B. 11 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】可判断m、n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，则可推出，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：对于关于x的一元二次方程， ， ∵， ∴； 当时， ∵，， ∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随a的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若反比例函数图象在一、三象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、第三象限， ∴， 解得 ． 故答案为 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，对自变量和常数项相应变化得到解析式． 【详解】将的图象向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到，最后化简得． 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，______． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的两条对角线长分别是，根据一元二次方程根和系数的关系得，进而根据菱形的性质得到，解之即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别是， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 又∵菱形的面积为， ∴，即， ∴． 15. 点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上，且抛物线的对称轴为直线， ∴点也在抛物线上， 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的抛物线的解析式为， ∴抛物线经过点和点，即经过点和点， ∴关于的一元二次方程的解是，，即关于的一元二次方程的解是，． 16. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出二次函数对称轴，再比较两点纵坐标的大小，结合开口向下的抛物线函数值与到对称轴距离的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小， ∵抛物线经过点，，且， ∴点到对称轴的距离大于等于点到对称轴的距离， 即， 解得或． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用因式分解法即可求解； （2）运用配方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知二次函数． （1）请用“五点作图法”画出函数图象； （2）请结合图象直接写出当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）列表： 二次函数的图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式找出对应的、的值列表，再描点、连线，画出函数的图象即可； （2）根据图象可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，当时，的取值范围是． 19. 已知抛物线经过点和． （1）求此抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）解：无解，理由如下： ∵抛物线的顶点坐标为，， ∴抛物线的函数值最大为，即， 当，即， ∴此时方程无解． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，进一步可得答案； （2）求解抛物线的函数值最大为，即，进一步可得结论． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ∴， 解得：， 故抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 ； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差：   整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 21. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为元/盒时，每天可售出盒，售价每降低元/盒时，每天可多售出盒，当该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且为整数） （2）每盒月饼的售价定为元时，每天销售该月饼获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，根据利润大于等于，降价大于等于，即可解得的取值范围； （2）利用二次函数的图象和性质，求最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元， 由题意可得，， ∵，且，解得：， ∴关于的函数解析式为：（，且为整数）； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的开口向下，当时，二次函数有最大值为； ∴当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为元． ∴每盒月饼的售价定为元时，每天销售该月饼获得利润最大，最大利润是元． 22. 已知二次函数（，，为常数）的图象与轴交于点，且过点． （1）求与的关系式（用含的式子表示）． （2）当时，函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入函数解析式中即可求解； （2）分和两种情况，求出函数的最大值和最小值，再作差列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入中，得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴该函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，该函数y的最大值为，最小值为， ∴，解得； 当时，该函数y的最小值为，最大值为， ∴，解得， 综上，满足条件的a值为． 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1：下列结论中，正确的是 （填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上； （2）若一次函数（）的图象上存在相反点，则应满足的条件为 ； （3）探究2：小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式； （4）探究3：如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】（1）③； （2）； （3）； （4）水位达到警戒线． 理由：解：抛物线关于轴对称， 设， 由已知，，代入，得 ， 解得，， ， 由“相反点”满足，代入：， 解得，， 由题意，x轴上的相反点坐标为， 警戒线高度约， ∵水位高度是，， ∴处水位在警戒线上方， 此时水位达到警戒线． 【解析】 【分析】（1）“相反点”满足，联立与判断交点个数，由定义直接判断③． （2）联立与，方程有解即存在“相反点”． （3）将代入抛物线得一个方程，再由“只有一个相反点”令判别式为零得另一个方程，联立求解． （4）设抛物线为，求出函数关系式再与联立，求相反点坐标，与水位高比较即可． 【小问1详解】 解：设“相反点”为， ①②联立与：，得，矛盾， 直线上不存在“相反点”，①②均错误； 由定义，“相反点”的横纵坐标互为相反数，即， 所有“相反点”都在直线上，③正确； 正确的是③； 【小问2详解】 解：设“相反点”为，代入： ，即， ， 方程有解当且仅当，即； 【小问3详解】 解：将代入， ，即， ， “相反点”满足，代入抛物线：， 即， 有且只有一个“相反点”， ， 将代入：， ， ，， 抛物线解析式为； 【小问4详解】 略 24. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 25. 如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． （1）该抛物线的表达式为； （2）如图①，在点从抛物线上点运动到点的过程中（点与点，不重合），记的面积为，记的面积为，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图②，若，连接，求证：平分． （4）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在新抛物线上存在点（点在直线下方），使得，则点的横坐标为 ． 【答案】（1） （2）最大值为48，此时 （3）证明：，在轴上， 平行于轴，即与纵坐标相同， 令， 解得或， 不与重合， ，， 所在直线为，垂直于轴， 由题意，于，过作于， 则， ，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分． （4） 或 【解析】 【分析】（1）将、代入抛物线解析式，联立求解、． （2）连，设，利用铅垂高法表示与的和，求和得关于的二次函数，配方求最值． （3）由确定点坐标，计算、的长度，结合轴，证明，进而证明，故可知，则求证可得． （4）由知为等腰直角三角形，．由，得，设交x轴于点D，有题意，点D与点B关于y轴对称，则，求出解析式再与新抛物线联立求解． 【小问1详解】 解：抛物线过、， ， 化简得， 两式相加得，解得， 代入得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：连， 设，其中， 则，由已知，轴， ∴， ， ， 当时，取得最大值48， 此时． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：抛物线与轴交于，，与轴交于， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 故可知，点在y轴右侧时，不符合题意， 又， ， 设交x轴于点D， 则可知，点D与点B关于y轴对称， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得 则 直线的解析式为， 由（3）可知， 由抛物线沿方向平移个单位长度， 故可知，向左平移4，向下平移4， ， 联立， 解得，， 由，， 直线上对应值： ， 故Q在下方， ， ，直线上对应值： ，故Q在下方， 点横坐标为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $