精品解析：山东枣庄市滕州市北辛街道北辛中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测

八年级数学竞学竞练试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 若最简二次根式与能合并，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， ∴ 故选：D． 2. 如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 3. 如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 点A到直线的距离为2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解． 【详解】解：由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， 综上可知只有B选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 0的平方根是0 B. 没有立方根 C. 25的平方根为5 D. 的立方根为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根，根据0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、0的平方根是0，故该选项符合题意； B、有立方根，且为，故该选项不符合题意； C、25的平方根为，故该选项不符合题意； D、的立方根为，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 估算的大小应在（ ） A. 9.0-9.5之间 B. 9.5-10之间 C. 8.0-8.5之间 D. 8.5-9之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 6. 若a+b=,ab=1,则式子的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简，再将a+b=，ab=1代入计算. 【详解】==， ∵a+b=，ab=1， ∴原式=-3， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的化简，异分母分式的加法法则，正确计算是解题的关键. 7. 下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数的定义进行判断． 【详解】解：-8：整数，属于有理数． （即）：可化为分数，属于有理数． 中π是无限不循环小数，除以2后仍为无限不循环小数，属于无理数． 0.66666…：无限循环小数（对应分数），属于有理数． 0：整数，属于有理数． 9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1）：小数部分有规律但不循环，属于无限不循环小数，是无理数． 0.112134：有限小数，属于有理数． 综上，无理数有和，共2个． 故选：C． 8. 如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 9. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 10. 若的三边长，，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在中由勾股定理可知：， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理可知：， ∴， 设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=， 在中由勾股定理可知：，代入数据： ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长． 13. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 14. 观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 中，，，高，则的长为__． 【答案】14或4 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，注意分两种情况讨论． 【详解】解：如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 当在点右侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，的长为14或4． 故答案为： 14 或 4 ． 16. 如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ∴点所表示的数为：． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）5 （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）方程两边同除以25可得，再利用平方根解方程即可得； （2）方程可变形为，再利用立方根解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或， 或． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设小正方形边长为，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1）如图中，线段即为所求． （2）如图中，即为所求．答案不唯一 （3） 如图中，即为所求．答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查作图——应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）构造直角边为，斜边为的直角三角形即可答案不唯一． （3）构造三边分别为，，的直角三角形即可答案不唯一． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 【阅读材料】 像， 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与与与，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为___________； （2）化简：； （3）如图是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点到边的距离为___________； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义可得答案； （2）先分母有理化，进一步计算即可； （3）利用割补法求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式为； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由题意得，， ； 设点到边的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴点到边的距离为． 21. 学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 22. 定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． （1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 【答案】（1）是 （2） 证明：已知， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，都是正实数， ∵，，， ∴， ∴是“和谐勾股数”． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，定义新运算，理解定义新运算的规则，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据定义，运用勾股定理即可求解； （2）运用完全平方公式，偶次幂的非负性，分别算出的值，根据定义新运算的方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“和谐勾股数”， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 23. 小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务， 题目：已知在中，，求的面积， 思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积， 海伦公式，，其中， 秦九韶公式，， 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积． （1）请根据思路1的公式，求的面积； （2）请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务， ①画出，要求三个顶点都在格点上； ②结合图形，写出面积的计算过程． 【答案】（1） （2） ①如图，即为所求．（画法不唯一） ②过点作于点，由题意，得． ． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算，勾股定理，理解公式，能根据公式进行正确运算是解题的关键． （1）将，，代入海伦-秦九韶公式进行计算，即可求解； （2）①按要求作图，即可求解； ②过点作于点，由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ． 【小问2详解】 略 24. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． （4），求的值． 【答案】（1） ①. ②. （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【小问1详解】 ①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵， ∴ 【小问4详解】 将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学竞学竞练试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 若最简二次根式与能合并，则的值是( ) A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 3. 如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 点A到直线的距离为2 D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 0的平方根是0 B. 没有立方根 C. 25的平方根为5 D. 的立方根为 5. 估算的大小应在（ ） A. 9.0-9.5之间 B. 9.5-10之间 C. 8.0-8.5之间 D. 8.5-9之间 6. 若a+b=,ab=1,则式子的值为( ) A. B. C. D. 7. 下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 若的三边长，，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，，依据立方根运算规律得：______． 12. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 13. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为______． 14. 观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 15. 中，，，高，则的长为__． 16. 如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设小正方形边长为，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 20. 【阅读材料】 像， 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与与与，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为___________； （2）化简：； （3）如图是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点到边的距离为___________； 21. 学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 22. 定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． （1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 23. 小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务， 题目：已知在中，，求的面积， 思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积， 海伦公式，，其中， 秦九韶公式，， 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积． （1）请根据思路1的公式，求的面积； （2）请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务， ①画出，要求三个顶点都在格点上； ②结合图形，写出面积的计算过程． 24. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． （4），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $