精品解析：山东菏泽市牡丹区第二十二初级中学2026-2027学年上学期八年级数学10月学情自测题

北师大版八年级数学上册10月份月考 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，0，，，，，（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 在实数，0，，，，，（每两个1之间的3依次多1）中， 无理数有：，，（每两个1之间的3依次多1），共有3个． 2. 以下列各组数为勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 15，20，25 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是勾股数； B、选项中的数不全是正整数，不是勾股数； C、∵，， ∴，且均为正整数，是勾股数； D、选项中的数不全是正整数，不是勾股数． 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 4. 已知、、是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵、、是三角形的三边长，，即， ∴此三角形是直角三角形． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 6. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先找到与26相邻的两个完全平方数，估算出的取值范围，再推出的取值范围即可． 【详解】解：∵ ∴，即 不等式三边同时加1，得 因此的值在6和7之间． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设芦苇长为x尺，则水深为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为尺， 由题意得：， 故选：D． 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD=x，由折叠的性质得到ED=BD=x，AE=AB=6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为3． 【点睛】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键． 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴和运用数形结合思想进行绝对值和二次根式的化简能力，解题关键是掌握根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简． 由数轴得出，从而判定出，，再根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可得： ∴，， ∴ ， 故选：A． 10. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 12. 的平方根是_______；的立方根是_______；的倒数是________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【详解】解：，4的平方根是，即的平方根是； 的立方根是， 的倒数是，，即的倒数是． 13. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：， ∴点所表示的数为； 故答案为：． 14. 比较大小：_____．（填空用“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的近似值计算与实数的大小比较，解题的关键是求出的近似值，再与0.6比较． 先计算的近似值，进而求出的近似值，最后与0.6比较大小． 【详解】解∶ 由于 ，且 ，， ， ，即差值大于 ， 故 ． 故答案为： 15. 如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______． 【答案】10 【解析】 【分析】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理进行解答即可； 本题考查的是平面展开——最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：根据题意，展开图如下： 则直角三角形的一条直角边为，另一直角边长为， 根据两点间距离最短，勾股定理，得最短距离为， 故答案为：10． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 求下列各式中的的值： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根； （1）由原式得，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式得，由立方根的定义可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20. 已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分是4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ∴， ∴的平方根为． 21. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】 这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】略 22. 阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）根据以上材料，化简 ①② （2）化简：． 【答案】（1）①； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）①分子分母同时乘以，即可求解； ②按照题意把原式变形为，再利用平方差公式得到，据此可得答案； （2）先分母有理化得到，据此把所求式子裂项求解即可． 【小问1详解】 解：①； ② ； 【小问2详解】 解：（为正整数） ， ∴ ． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． （1）施工人员测量的是点________与点________之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． （3）若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】（1）A，C （2） （3）铺设管道所需的最少费用为910元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 24. 已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当时，求点A、P之间的距离． 【答案】（1） （2）4或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）分两种情况：①和②，利用勾股定理求解即可得； （3）先求出，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ． 【小问2详解】 解：由题意得：， 分以下两种情况： ①如图，当时，为直角三角形， 则， ； ②如图，当时，为直角三角形， 则， 由勾股定理得：， ， 解得， 综上，的值为4或． 【小问3详解】 解：当时，， ， 在中，， 即点、之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级数学上册10月份月考 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，0，，，，，（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 以下列各组数为勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 15，20，25 D. 1，， 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、、是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是___________． 12. 的平方根是_______；的立方根是_______；的倒数是________． 13. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 14. 比较大小：_____．（填空用“”“ ”或“”） 15. 如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 求下列各式中的的值： （1） （2） 19. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20. 已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 21. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 22. 阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）根据以上材料，化简 ①② （2）化简：． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． （1）施工人员测量的是点________与点________之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． （3）若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 24. 已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当时，求点A、P之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $