1.3 二次函数的性质 同步练习 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版（2024）九年级上册 1.3 二次函数的性质 同步练习 一、选择题 1．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系式，测得一些数据（如表），为观察s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图像： 根据以上信息，可知s与t的函数关系式是（不考虑取值范围） A．s=t2+3t B．s=t2-3t C．s=t2-2t D．s=t2+2t 2．如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，-1)，B(0，2)，C(3，2)，D(5，-1)，y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C.抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D.下列判断： ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当x<0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大； ③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方； ④抛物线y4与y轴交点在点B的上方. 其中正确的是 A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 3．如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（　　） A．2 B．-2 C．-1 D．0 5．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，则它的解析式为（　　） A．y=x2-x+2 B．y=x2-2x+3 C．y=x2-2x+5 D．y=x2-2x+4 6．如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为 （      ） A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝2(x＋2)2－4 C．y＝－2(x－2)2＋4 D．y＝2(x－2)2－4 8．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4 C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4 9．若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+1 B．y=x2-1 C．y=-x2+1 D．y=-x2-1 10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 （      ）  A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 11．二次函数的图象如图，且，则b等于（    ） A． B．1 C． D． 12．已知二次函数y=x2-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2，下列结论中： ①d没有最大值； ②d没有最小值； ③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大； ④满足d=5的点P有四个． ⑤其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中x和y的部分对应取值如表： 则m的值为__________ . 14．形状与抛物线y=2x2-3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，-5）的抛物线的关系式为__________． 15．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是__________．（只需写一个） 16．写出一个开口向下且过的抛物线的表达式__________． 17．与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为__________． 三、解答题 18．已知二次函数的图像经过点(-1，8)，(0，1)，(2，1). (1)求该二次函数的表达式； (2)求这个二次函数图像的顶点坐标. 19．(课本P42例1)已知二次函数 y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－ 3)，求出这个二次函数的表达式. 20．已知二次函数y=x2-4x+3． (1) 用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (2) 求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积． 21．如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标； (3) 在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立?请说明理由． 22．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 C． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 浙教版（2024）九年级上册 1.3 二次函数的性质 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系式，测得一些数据（如表），为观察s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图像： 根据以上信息，可知s与t的函数关系式是（不考虑取值范围） A．s=t2+3t B．s=t2-3t C．s=t2-2t D．s=t2+2t 【答案】D 【解析】观察函数图像，可知s与t成二次函数关系， 设s与t的函数关系式是s=at2+bt+c(a≠0)， 将(0，0)，(1，4.5)，(2，14)代入s=at2+bt+c， 得 解得 ∴s与t的函数关系式是s=t2+2t. 2．如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，-1)，B(0，2)，C(3，2)，D(5，-1)，y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C.抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D.下列判断： ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当x<0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大； ③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方； ④抛物线y4与y轴交点在点B的上方. 其中正确的是 A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【解析】由抛物线y1经过点A(-1，-1)，B(0，2)，C(3，2)可得y1=-x2+x+2， 同理可得y2=-x2+x+2，y3=-x2+x+2，y4=-x2+x+， ∵-<0，-<0，-<0，-<0， ∴四条抛物线的开口方向均向下，故①正确； ∵四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号， ∴四条抛物线的对称轴都在y轴右侧， ∴当x<0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大，故②正确； ∵y1=-x2+x+2=-+，y2=-x2+x+2=-+， ∴抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方，故③正确； 在y4=-x2+x+中，令x=0得y=， ∴抛物线y4与y轴交点在点B(0，2)的下方，故④错误. 3．如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 4．设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（　　） A．2 B．-2 C．-1 D．0 【答案】B 【解析】解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大， ∵k为负数，即k＜0， ∴函数y=kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大， ∴x=-=-，∴m≤-=--． ∵k＜0，∴-＞0，∴--＞-， ∵m≤--，对一切k＜0均成立， ∴m≤--的最小值是-， ∴m的最大整数值是m=-2． 5．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，则它的解析式为（　　） A．y=x2-x+2 B．y=x2-2x+3 C．y=x2-2x+5 D．y=x2-2x+4 【答案】D 【解析】解：根据题意，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（2，4）， 4+2m+n=4，得出n=-2m． 又抛物线的顶点坐标是（-，）， 代入y=2x+1，整理得m2-4m-4n+4=0， 又把n=-2m代入，得m2+4m+4=0，解得m=-2，所以n=4． 二次函数表达式为y=x2-2x+4． 6．如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 7．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为 （      ） A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝2(x＋2)2－4 C．y＝－2(x－2)2＋4 D．y＝2(x－2)2－4 【答案】C 【解析】设二次函数表达式为y＝a(x－2)2＋4， 将(0，－4)代入得－4＝a×(0－2)2＋4，解得a＝－2， 故二次函数的表达式为y＝－2(x－2)2＋4. 8．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4 C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4 【答案】D 【解析】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得，解得． 故所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 9．若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+1 B．y=x2-1 C．y=-x2+1 D．y=-x2-1 【答案】C 【解析】解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1）， 把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1， 所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x2+1． 10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 （      ）  A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 【答案】D 【解析】由图可知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)， ∴设二次函数表达式为y＝a(x－1)2－8， ∵抛物线过点(3，0)， ∴代入表达式得a＝2. 故二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－8. 11．二次函数的图象如图，且，则b等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴点，， 代入可得，解得， 故选D． 12．已知二次函数y=x2-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2，下列结论中： ①d没有最大值； ②d没有最小值； ③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大； ④满足d=5的点P有四个． ⑤其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：令二次函数y=x2-2x-3中y=0，即x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3． （i）当x≤-1时，d1=x2-2x-3，d2=-x，d=d1+d2=x2-3x-3=(x-)2-，d≥1； （ii）当-1＜x≤0时，d1=-x2+2x+3，d2=-x，d=-x2+x+3=-(x-)2+，1＜x≤3； （iii）当0＜x≤3时，d1=-x2+2x+3，d2=x，d=-x2+3x+3=-(x-)2+，3≤x≤； （iv）当3＜x时，d1=x2-2x-3，d2=x，d=d1+d2=x2-x-3=(x-)2-，3＜d． 综上可知：d有最小值，没有最大值，即①成立，②不成立； 当0＜x≤时，d随x的增大而增大，＜x≤3时，d随x的增大而减小， ∴-1＜x＜3时，d随x的增大而增大，此结论不成立； 令d=5，（i）中存在一个解；（ii）中无解；（iii）中有两个解；（iv）中一个解． ∴满足d=5的点P有四个，该结论成立． ∴正确的结论有2个． 二、填空题 13．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中x和y的部分对应取值如表： 则m的值为__________ . 【答案】0 【解析】把(-3，0)，(-1，4)，(0，3)分别代入y=ax2+bx+c得 解得 ∴二次函数表达式为y=-x2-2x+3， 当x=1时，y=-x2-2x+3=-1-2×1+3=0. 即m=0. 14．形状与抛物线y=2x2-3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，-5）的抛物线的关系式为__________． 【答案】y=-2x2-5 【解析】解：∵形状与抛物线y=2x2-3x+1的图象形状相同，但开口方向不同， 设抛物线的关系式为y=-2（x-h）2+k， 将顶点坐标是（0，-5）代入，y=-2（x-0）2-5，即y=-2x2-5． ∴抛物线的关系式为y=-2x2-5． 15．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是__________．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】设抛物线的解析式为， 该抛物线的图象开口向上， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 16．写出一个开口向下且过的抛物线的表达式__________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】由抛物线开口向下可知，且与y轴交于点，因此符合条件的抛物线表达式可以为； 故答案为（答案不唯一）． 17．与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为__________． 【答案】或 【解析】设解析式为， ∵抛物线形状与相同， ∴， ∵顶点为（3，）， ∴，， ∴解析式为、． 故答案为：或. 三、解答题 18．已知二次函数的图像经过点(-1，8)，(0，1)，(2，1). (1)求该二次函数的表达式； (2)求这个二次函数图像的顶点坐标. 【答案】解　(1)设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 由题意得 解得 ∴该二次函数的表达式为y=x2-x+1. (2)y=x2-x+1 =(x2-2x)+1 =(x-1)2-， ∴顶点坐标为. 19．(课本P42例1)已知二次函数 y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－ 3)，求出这个二次函数的表达式. 【答案】解　将点(2，3)和(－1，－3)分别代入二次函数y＝ax2＋c中，得 解这个方程组，得 ∴所求二次函数表达式为y＝2x2－5. 20．已知二次函数y=x2-4x+3． (1) 用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (2) 求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积． 【答案】解： (1) y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-1， 所以顶点C的坐标是（2，-1）， 当x＜2时，y随x的增大而减少； 当x＞2时，y随x的增大而增大； (2) 解方程x2-4x+3=0 得x1=3，x2=1， 即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0）， 过C作CD⊥AB于D， ∵AB=2，CD=1， ∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1． 21．如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标； (3) 在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立?请说明理由． 【答案】解： (1) 设y=a(x-3)2，把B(0,4)代入，得a=，∴y=(x-3)2. (2) ∵m,n为正整数，n=(m-3)2, ∴(m-3)2应该是9的倍数. ∴m是3 的倍数. 又∵m>3,∴m=6,9,12,…， 当m=6时，n=4,此时,MA=5,MB=6. ∴四边形OAMB的四边长为3,4,5,6.当m≥9时，MB>6, ∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数.∴点M坐标只有一种可能（6,4）. (3) 设P（3,t）,MB与对称轴交点为D. 则PA=|t|,PD=|4-t|. PM2=PB2=(4-t)2+9. ∴PA2+PB2+PM2=t2+2[(4-t)2+9]=3t2-16t+50=3(t-)2+. ∴当t=时，PA2+PB2+PM2有最小值,∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立. 22．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 C． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【解析】解：（1）将，代入的， 学科网（北京）股份有限公司 $