精品解析：安徽淮北市部分校2026-2027学年度第一学期第一次学情自测九年级数学(沪科版)试题

九年级数学（沪科版） 一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中的两个量成反比例关系的是（ ） A. 速度一定，路程与时间 B. 圆柱的体积一定，底面积与高 C. 小明的体重与他的年龄 D. 圆的周长与半径 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 2. 若关于x的函数是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数是否为二次函数，必须满足二次项的系数不为这一核心条件，本题结合二次函数的定义即可完成判断． 【详解】解：选项，当时，二次项系数，函数的最高次项为二次项，符合二次函数的定义要求，故符合题意； 选项，仅限制，无法排除的情况，若，二次项系数为，函数就不再是二次函数，故不符合题意； 选项，若，代入后二次项系数为，原函数化为，属于一次函数，故不符合题意； 选项，若，当时，会让二次项系数消失，函数化为一次函数，故不符合题意． 3. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象经过原点，把坐标代入函数解析式，求解参数即可． 【详解】解：二次函数的图象过原点， ∴把代入解析式得 解得：． 4. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 5. 若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的对称性，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的表达式为，则， A．图中面积，故A选项不符合题意； B．阴影面积，故B选项不符合题意； C．阴影面积，故C选项符合题意； D．阴影面积，故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下，阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）的数量关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【详解】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， 动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：， 则， 动力（单位：关于动力臂（单位：是成反比例， 动力臂随动力的增大而减小， 动力（单位：， 动力臂， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 7. 老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解，结合，可得答案. 【详解】解：∵老李家距离空地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴A、C选项不符合题意， ∵，， ∴B选项符合题意，D选项不符合题意. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向与对称轴确定增减性即可解答． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数有最大值， ， ， ，，， 点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，且小于到对称轴的距离， ． 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求解，过P向作垂线，则，结合可得答案. 【详解】解：， ∵，点M的坐标为， ∴， 过P向作垂线，则， ， 当点共线时，， ∴的最小值为． 二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 【答案】关于x轴对称 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：∵函数与， 而， ∴两个二次函数的图象形状相同，顶点都为原点，对称轴为轴，开口方向相反， ∴函数与的图象关于x轴对称. 12. 已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜且a≠1 【解析】 【分析】先根据二次函数的定义得，再根据二次函数图象的性质可知，与x轴有两个交点表示一元二次方程有两个不相等的实数根，求解即可得. 【详解】由题意得：和关于x的方程有两个不相等的实数根 则 解得：且. 【点睛】本题考查了二次函数的定义和图象的性质，将二次函数与x轴的交点个数问题转化为一元二次方程的根的情况问题是解题关键. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线长的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用矩形对角线相等，把求最小值转化为求抛物线上点到轴垂线段的最小值，即抛物线顶点纵坐标即可解答． 【详解】解：对抛物线配方：， ∴抛物线顶点坐标为． 轴于点， 当点在抛物线顶点位置时，取得最小值，最小值为4． 四边形是矩形， （矩形的对角线相等）， 对角线长的最小值为4． 14. 已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】（1）求出时x的值即可得到答案； （2）分两种情况：①当点A在区间内，点B在区间外时，②当点B在区间内，点A在区间外时，分别建立不等式组求解即可． 【详解】解：（1）令，则， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）①当点A在区间内，点B在区间外时， ； ②当点B在区间内，点A在区间外时， ； 综上所述，m的取值范围为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数．求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】把化为顶点式即可得到答案. 【详解】解： ∴对称轴为直线，顶点坐标为. 16. 已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】设y与x之间的函数关系式为，进一步利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求证：无论k为何值，该二次函数的图象一定经过x轴上一个定点，并求出这个定点坐标； （2）若该函数图象的顶点在x轴上，试确定k的值． 【答案】（1）证明： ， 令，得或， ∴无论k取何值，抛物线一定经过x轴上定点 （2）8 【解析】 【分析】（1）令，可得或即可证明； （2）先用k表示出抛物线的顶点坐标，然后再根据x轴上的点坐标特征即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：二次函数的顶点纵坐标为， ∵顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即， 整理得， 即， 解得． ∴k的值为8． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ， 即， ， 把代入得 ∴二次函数表达式； 【小问2详解】 解：由题意知点平移后的坐标为． 把代入，得， 解得， ， ， 即m的值为4． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. “走千走万，不如淮河两岸”．淮南市位于淮河沿岸，物产丰饶．淮南牛肉汤历史悠久，经过多年的发展已成为一张靓丽的地方名片．如图所示的是一个汤碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底中心O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽为，碗深为． （1）若向空碗中缓慢注水，当水面的水平宽度为时，求此时水面距离碗底的竖直高度； （2）已知碗内盛满水，则当水面的竖直高度下降时，碗中水面的水平宽度为多少?（碗的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数表达式：，进一步利用待定系数法求解解析式即可； （2）把代入函数解析式，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：设二次函数表达式：， 把代入， ， ∴二次函数的表达式， 当水面水平宽度为时，即， ， 即此时水面距离碗底竖直高度为． 【小问2详解】 解：由题意可知： 令．得 ∴水面宽度 即碗中水面的水平宽度为． 20. 若两个二次函数、的图象关于x轴对称，则称、互为“对称二次函数”．已知二次函数． （1）求的“对称二次函数”的表达式，并写出图象的顶点坐标； （2）设点P是x轴上方函数图象上的动点，过点P作x轴的垂线，交的图象于点Q，求线段长度的最大值． 【答案】（1），其顶点坐标为 （2）的长有最大值，最大值为6 【解析】 【分析】（1）根据对称二次函数的定义求解即可； （2）设点P的横坐标为t，则，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：由对称二次函数的定义，与关于x轴对称， 故对任意自变量x均有， ， 将其化为顶点式， ∴其顶点坐标为． 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为t，则， 轴交的图象于点， ， ， ∴当时，的长有最大值，最大值为6． 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意得，则，由于点C在直线上，轴，则，再由建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得 ∵点C在直线上，轴 ①当点C在点P的下方时，如图1 由得 解得（舍）， ②当点C在点P的上方时，如图2，由 得， 解得（舍）， 综上所述，m的值为或． 七、（本题满分12分） 22. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1)求函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或；(3)点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分别代入y=-2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A点坐标代入中得到k的值，从而得到反比例函数解析式； （2）写出一次函数图象在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（-1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标． 【详解】解：(1)把，分别代入得， ，解得， ∴，； 把代入得， ∴反比例函数解析式为； (2)不等式的解集为或； (3)作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则， ∵， ∴此时的值最小，周长最小， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 八、（本题满分14分） 23. 2026年美加墨世界杯决赛中，西班牙队在对方禁区前沿获得距离球门的前场任意球．以足球的起脚点为坐标原点O，沿水平方向指向球门为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知球门线对应的横坐标为，国际足联标准球门横梁离地面高度为，足球从原点踢出后，飞行轨迹为开口向下的抛物线；当足球水平飞行时，到达运动轨迹的最高点，此时离地面高度为． （1）求足球飞行的竖直高度y（单位：）关于水平距离x（单位：）的函数解析式； （2）防守方在距离起脚点（原点）处排起人墙，人墙球员起跳后可达到的最大封堵高度为，请通过计算判断，这记任意球能否成功越过人墙； （3）若主罚球员调整射门弧度，保持足球最高点的水平位置始终在处且足球仍从地面起脚，设最高点离地高度为h米，要求同时满足以下两个条件： ①足球能成功越过人墙（即在处时，足球高度大于）； ②足球能成功破门，既不击中横梁，也不贴地进门（在处时，高度满足）．求此时h的取值范围． 【答案】（1） （2）能成功越过人墙．理由如下： 当时，， ∴这记任意球能成功越过人墙． （3）当时，足球既能越过人墙，又能成功破门 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为：，进一步利用待定系数法求解解析式即可； （2）把代入函数解析式可得，进一步判断即可； （3）根据抛物线顶点坐标为，设其解析式为，进一步求解解析式，再建立不等式求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， 设其解析式为：， 将原点代入，得， 解得， 由对称性可得：， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可知，抛物线顶点坐标为， 设其解析式为， ∵抛物线过原点，代入得， ∴， ∴此抛物线解析式为， 条件①：越过人墙， 当时，，即， 解得， 条件②：成功破门， 当时，，即， 整理，得， ∴， 综上所述：当时，足球既能越过人墙，又能成功破门． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） 一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中的两个量成反比例关系的是（ ） A. 速度一定，路程与时间 B. 圆柱的体积一定，底面积与高 C. 小明的体重与他的年龄 D. 圆的周长与半径 2. 若关于x的函数是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（ ） A. B. C. D. 6. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下，阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）的数量关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 10. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 12. 已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线长的最小值为________． 14. 已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数．求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 16. 已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求证：无论k为何值，该二次函数的图象一定经过x轴上一个定点，并求出这个定点坐标； （2）若该函数图象的顶点在x轴上，试确定k的值． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. “走千走万，不如淮河两岸”．淮南市位于淮河沿岸，物产丰饶．淮南牛肉汤历史悠久，经过多年的发展已成为一张靓丽的地方名片．如图所示的是一个汤碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底中心O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽为，碗深为． （1）若向空碗中缓慢注水，当水面的水平宽度为时，求此时水面距离碗底的竖直高度； （2）已知碗内盛满水，则当水面的竖直高度下降时，碗中水面的水平宽度为多少?（碗的厚度忽略不计，结果保留根号） 20. 若两个二次函数、的图象关于x轴对称，则称、互为“对称二次函数”．已知二次函数． （1）求的“对称二次函数”的表达式，并写出图象的顶点坐标； （2）设点P是x轴上方函数图象上的动点，过点P作x轴的垂线，交的图象于点Q，求线段长度的最大值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 七、（本题满分12分） 22. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1)求函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 八、（本题满分14分） 23. 2026年美加墨世界杯决赛中，西班牙队在对方禁区前沿获得距离球门的前场任意球．以足球的起脚点为坐标原点O，沿水平方向指向球门为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知球门线对应的横坐标为，国际足联标准球门横梁离地面高度为，足球从原点踢出后，飞行轨迹为开口向下的抛物线；当足球水平飞行时，到达运动轨迹的最高点，此时离地面高度为． （1）求足球飞行的竖直高度y（单位：）关于水平距离x（单位：）的函数解析式； （2）防守方在距离起脚点（原点）处排起人墙，人墙球员起跳后可达到的最大封堵高度为，请通过计算判断，这记任意球能否成功越过人墙； （3）若主罚球员调整射门弧度，保持足球最高点的水平位置始终在处且足球仍从地面起脚，设最高点离地高度为h米，要求同时满足以下两个条件： ①足球能成功越过人墙（即在处时，足球高度大于）； ②足球能成功破门，既不击中横梁，也不贴地进门（在处时，高度满足）．求此时h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $