第三章 图形的相似培优测试卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第三章 图形的相似培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 2．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的黄金分割点， ∴，即， ∴． 3．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 4．已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 5．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，且， ∴， ∴，即， ∴，解得， 即球拍击球的高度为． 6．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 7．古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为. 8．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【答案】C 【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可． 【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意； B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意； C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意； D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意． 9．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 10．如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】根据，然后利用两角分别相等的两个三角形相似或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴； 或∵，， ∴； 或∵， ∴， 又∵， ∴； 或∵，， ∴； 综上可知答案不唯一， 故答案为或或或（答案不唯一） 12．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 【答案】/45度 【分析】利用勾股定理求得和各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上， 由勾股定理得：，，， ，，， ， ， ， ． 13．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 【答案】20 【分析】由得到，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 对应60等份，对应等份，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小玻璃管口径是． 14．如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可得，过点E作于点F，则，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一计算即可． 【详解】解：矩形中，∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作于点F，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则______． 【答案】 【分析】作，等腰三角形三线合一得到点H是中点，三角形中线的交点是重心，利用重心性质得到，证明，，三角形相似可以得到，进而得出，由勾股定理得：，进行求解即可． 【详解】解：过点D作，垂足为H，与交于点，如下图所示， ，， 点H是中点， 又点F是中点， 点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在，，由勾股定理得：， 在，，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）， 所以，． 三、解答题（共7小题，共75分） 16．（8分）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)、、、 【分析】（1）证明即可； （2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，与相似的三角形有、、、． 17．（8分）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【分析】过点作，交于点，交于点，先得出四边形和四边形都是矩形，进而可得的长，再证出，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∵，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：天堂的高度约为． 18．（10分）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 19．（12分）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 20．（12分）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 21．（12分）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 等形状分割点 在四边形的一边上取一点（端点除外），连接该点与对边端点，若该点两侧的两个三角形相似，且四边形的对角顶点是这两个相似三角形的对应顶点，则称这个四边形为等形状四边形，称这个点为等形状分割点． 例如： 如图1，在四边形中，是边上的一点，连接，． ，， ，（依据______） 点是四边形的等形状分割点． 任务： (1)材料中“依据”的具体内容______． (2)如图2，在等形状四边形中，边上的点是等形状分割点，已知，，，，连接，求的长． (3)如图3，已知四边形是以边上点为等形状分割点的等形状四边形，请作出点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似； （2）过点作于点．根据题意可得，求得．勾股定理求得，，最后在中，勾股定理求得，即可求解； （3）根据新定义，结合（1）的结论，作交于点，即可求解． 【详解】（1）解：两角分别相等的两个三角形相似． （2）如图，过点作于点． 根据题意得， ，即，解得． ， ． 设，则． 由勾股定理可得， 即，解得，即， ， ， 在中，． （3）如图，点即所求． 22．（13分）综合与探究 问题情境：如图1，已知中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点． 猜想论证： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 拓展探究： (2)在图1的基础上，连接并延长交射线于点，连接并延长交线段于点（其余条件不变），探究下列问题： ①猜想图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)菱形； 证明：∵，中， ∴四边形是平行四边形， ∵点是边的中点， ∴， ∵中，， ∴， ∴是菱形； (2)①， 理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵是中点， ∴ ∴，即：， 即： 同理：， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴即： ∴即： ∴； ； ②或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过论证，得到是菱形； （2）①利用可得，利用可得，进而可得；②分两种情况讨论即可．　 【详解】（1）略； （2）①略； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴； 当时，延长交于点，连接， ∵由①得， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第三章 图形的相似培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 2．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 3．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 5．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 7．古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 8．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 9．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 10．如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 12．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 13．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 14．如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 15．如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则______． 三、解答题（共7小题，共75分） 16．（8分）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 17．（8分）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 18．（10分）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 19．（12分）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．（12分）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 21．（12分）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 等形状分割点 在四边形的一边上取一点（端点除外），连接该点与对边端点，若该点两侧的两个三角形相似，且四边形的对角顶点是这两个相似三角形的对应顶点，则称这个四边形为等形状四边形，称这个点为等形状分割点． 例如： 如图1，在四边形中，是边上的一点，连接，． ，， ，（依据______） 点是四边形的等形状分割点． 任务： (1)材料中“依据”的具体内容______． (2)如图2，在等形状四边形中，边上的点是等形状分割点，已知，，，，连接，求的长． (3)如图3，已知四边形是以边上点为等形状分割点的等形状四边形，请作出点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（13分）综合与探究 问题情境：如图1，已知中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点． 猜想论证： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 拓展探究： (2)在图1的基础上，连接并延长交射线于点，连接并延长交线段于点（其余条件不变），探究下列问题： ①猜想图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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