第三章 图形的相似第一节相似多边形 提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册
|
2份
|
23页
|
246人阅读
|
7人下载
摘要：
**基本信息**
针对北师大版九年级数学相似多边形新授课，设A卷基础过关与B卷强化提优，覆盖定义、性质、判定及特殊多边形辨析，结合泰勒斯测金字塔、复印纸折叠等情境，培养几何直观与推理能力。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|选择|20题/60分|相似图形定义（例A卷1）、特殊多边形相似判定（例A卷3正方形）|基础概念辨析，突出边角双重条件|
|填空|20题/60分|相似比（例A卷13）、面积比（例A卷15）|结合生活情境（例A卷19测量问题）|
|解答|12题/120分|矩形相似计算（例A卷21）、探究性问题（例B卷23菱形接近度）|分层设计，A卷巩固性质应用，B卷强化分类讨论与创新思维|
内容正文：
数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上
《第三章图形的相似第一节相似多边形》提优特训A·B卷
一．特训目标
(
1.理解相似图形、相似多边形的定义，掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质；理解相似比的概念，会利用定义判定多边形相似，能进行边长、角度、周长的相关计算。
2.经历观察、测量、对比、归纳的探究过程，体会类比全等图形的研究方法，提升识图、分析图形、逻辑推理的能力，掌握相似多边形判定的双重条件。
3.
情感态度与价值观：感受相似在现实生活中的广泛应用，体会图形缩放变换的数学思想，培养几何直观，提升数学应用意识。
4.发展抽象能力、几何直观与推理能力，能够辨析易混概念，建立
“
边角双重条件
”
的几何思维。
)
二．重点难点
(
（一）
重点
1.相似多边形的定义：边数相同，对应角相等，对应边成比例两个条件缺一不可 。
2.相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；相似比的含义，相似多边形周长比等于相似比。
3.会根据定义判断两个多边形是否相似，会利用性质求解边长、角度。
难点
1.准确识别相似多边形的对应顶点、对应角、对应边，规范书写相似的符号表达式。
2.理解相似比具有顺序性，分清两个多边形前后顺序对相似比的影响。
3.辨析特殊多边形相似：矩形、菱形、正方形、正多边形的相似判定，避免只看角相等或只看边成比例就判定相似的错误 。
)
三．知识梳理
（一）相似图形
1.定义：形状相同，大小不一定相等的图形叫做相似图形。
举例：同一张照片的原图与放大打印图、大小不同的正方形、放大镜下的图案。
2.注意：全等图形是特殊的相似图形，相似比等于1。
（二）相似多边形
1.定义：边数相同的两个多边形，如果各角分别相等，并且各对应边成比例，这两个多边形叫作相似多边形 。
【重要提醒】：两个条件必须同时成立，缺一不可。
举例：所有正方形都是相似多边形；所有正n边形一定相似。
反例1：两个矩形，四个角都是90°（对应角全部相等），但长宽比值不同，对应边不成比例，因此不相似。
反例2：两个菱形，各边都相等，对应边比值相等，但是内角不全部对应相等，也不相似。
2.相似多边形的表示与书写规范
如图，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1形状相同，大小不同.
记作: 四边形四边形，符号:“∽”读作相似于，书写要求:对应顶点字母顺序必须对应。
3.相似比
（1）定义：相似多边形对应边的比称为相似比（缩放比例） 。
（2）顺序性：若多边形甲∶多边形乙相似比为k：1，则多边形乙∶多边形甲的相似比为1：k，二者互为倒数，顺序不能颠倒。
（3）特殊情况：相似比等于1:1，对应边相等，对应角相等，此时两个多边形全等。全等是特殊的相似 。
4.相似多边形核心性质
若两个多边形相似：
（1）对应角相等；
（2）对应边成比例，比值等于相似比；
（3）周长之比 = 相似比；
（4）面积之比 = 相似比的平方。
【拓展】：
图形等比例放大k倍，每条边长变为原来k倍，周长扩大k倍；面积会扩大k2倍。
5.特殊多边形相似辨析
（1）所有正方形一定相似：四个角都是90o，各边都成比例。
（2）所有矩形不一定相似：四个角都相等，但长宽比值不一定相等。例：长4宽2和长6宽2的矩形，角都相等，但边不成比例，不相似。
（3）所有菱形不一定相似：四边成比例，但内角不一定相等。
（4）所有边数相同的正多边形一定相似：各角相等，各边成比例。
6.相似多边形的判定
观察四组多边形：
（1）两个多边形角都相等，一定相似？
举例：长方形四个角均为90°，长4宽2的长方形和长5宽2的长方形，角全部相等，边是否成比例？是否相似？
（2）两个多边形边成比例，一定相似？
举例：菱形四条边对应成比例，但内角不相等，两个菱形是否相似？
核心总结
多边形相似必须同时满足两个条件，缺一不可：对应角相等，对应边成比例。
7. 全等多边形与相似多边形对比
项目
全等多边形
相似多边形
边角关系
对应角相等，对应边相等
对应角相等，对应边成比例
大小形状
形状、大小完全一样
形状相同，大小可以不同
相似比
相似比为1
可取任意正数
符号
≌
∽
A卷·基础过关
（时间：60分钟 满分：120分）
一、选择题（共30分）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列关于相似多边形的说法正确的是（ ）
A. 各角相等的多边形一定相似 B. 各边成比例的多边形一定相似
C. 相似多边形对应角相等，对应边成比例 D. 相似多边形周长相等
3.下列图形一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个菱形
4.若多边形甲∽多边形乙，相似比为2:1，则甲、乙周长比为（ ）
A. 1:2 B. 2:1 C. 4:1 D. 1:4
5. 两个相似多边形相似比为2:3，它们的面积比为（ ）
A. 2:3 B. 3:2 C. 4:9 D. 9:4
6.全等多边形的相似比值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
7．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍 B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍
8.五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，∠D=135°，则∠D1=（ ）
A.45° B.135° C.55° D.125°
9.矩形ABCD与矩形EFGH相似，AB=4，BC=6，EF=2，则FG=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10．如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是( )
A．∠B=2∠K B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
C．BC=2HI D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
二．填空题（共30分）
11．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
12.若六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'，∠A=120°，则∠A'=________°。
13.△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=10，则相似比________。
14.△ABC∽△A1B1C1，相似比1:5，则△A1B1C1与△ABC周长比________。
15.面积比为1:16的两个相似多边形，相似比为________。
16.两个相似四边形最长边分别为10cm、15cm，较小四边形周长24cm，则较大四边形周长_______cm。
17.四边形ABCD∽四边形PQRS，AB:PQ=3:2，CD=9，则RS=________。
18.相似四边形一组对应边6、9，小面积12，则大面积________。
19．古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的________.（选填“轴对称”“平移”“旋转”“相似”）
20. 如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm.
三．解答题（共60分）
21．如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙．
(1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”）
(2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由．
22．如图，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：
(1)草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
(2)这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
23．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD；
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
25．如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
(1)求原矩形的长和宽的比．
(2)若，求矩形的面积．
26．探究下列问题：
(1)图①中的两个矩形相似吗？
(2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？
(3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)?
B卷·强化提优
（时间：60分钟 满分：120分）
一．选择题（共30分）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B． C． D．
2.两个矩形不相似的根本原因是（ ）
A. 对应角不相等 B. 对应边不成比例 C. 形状不同 D. 边数不同
3．如图四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
4.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为3:4，则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的相似比为（ ）
A. 3:4 B. 4:3 C. 9:16 D. 16:9
5.两个相似多边形周长比为3:5，则面积比为（ ）
A. 3:5 B. 5:3 C. 9:25 D. 25:9
6. 一个多边形各边扩大为原来的4倍，得到新相似多边形，则面积扩大为原来的（ ）
A. 4倍 B. 8倍 C. 16倍 D. 不变
7. 下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有( )
A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组
8. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 10
9．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二．填空题（共30分）
11.菱形不一定相似，是因为菱形的________不一定对应相等。
12.相似比为2:5的两个多边形，周长比为________。
13.将一个图形等比例放大，形状不变、________改变。
14.若两个相似多边形周长相等，则这两个多边形一定________。
15.△ABC∽△A'B'C'，∠B=50°，∠C=60°，则∠A'=________。
16.相似梯形上下底3、6，腰4，另一梯形对应腰________。
17．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片（a>b） ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 a，b 应满足的条件是 ．
18．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为
19.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____________.
20.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，
它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______.
三．解答题（共60分）
21．如图，四边形四边形，，．
(1)___________；
(2)求边的长度．
22．如图，已知四边形四边形，，，且．
(1)的度数为_____；
(2)若，求的长．
23.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为mo和no，将菱形的“接近度”定义为∣m-n∣，于是∣m-n∣越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70o，则该菱形的“接近度”等于________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≥b），将矩形的“接近度”定义为∣a-b∣，于是∣a-b∣越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
24. 阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体．
如图，甲、乙是两个不同正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设S 甲 ，S 乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设V 甲 ，V 乙 分别表示这两个正方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆锥体
C．两个圆柱体 D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于__________；②相似体的表面积的比等于__________；③相似体的体积比等于__________．
25.分类讨论如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图②，x为多少时，图中的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
26．综合实践
纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘．
【操作与发现】
如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：．
又因为，，所以．
于是我们得出如下结论：
（1）纸的长与宽之比为________．
【探究与计算】
矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为．
（2）如图2，若点在边上时，求的值；
【探究与拓展】
（3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值．
(
1
)
学科网（北京）股份有限公司
$
数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上
《第三章图形的相似第一节相似多边形》提优特训A·B卷
一．特训目标
(
1.理解相似图形、相似多边形的定义，掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质；理解相似比的概念，会利用定义判定多边形相似，能进行边长、角度、周长的相关计算。
2.经历观察、测量、对比、归纳的探究过程，体会类比全等图形的研究方法，提升识图、分析图形、逻辑推理的能力，掌握相似多边形判定的双重条件。
3.
情感态度与价值观：感受相似在现实生活中的广泛应用，体会图形缩放变换的数学思想，培养几何直观，提升数学应用意识。
4.发展抽象能力、几何直观与推理能力，能够辨析易混概念，建立
“
边角双重条件
”
的几何思维。
)
二．重点难点
(
（一）
重点
1.相似多边形的定义：边数相同，对应角相等，对应边成比例两个条件缺一不可 。
2.相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；相似比的含义，相似多边形周长比等于相似比。
3.会根据定义判断两个多边形是否相似，会利用性质求解边长、角度。
难点
1.准确识别相似多边形的对应顶点、对应角、对应边，规范书写相似的符号表达式。
2.理解相似比具有顺序性，分清两个多边形前后顺序对相似比的影响。
3.辨析特殊多边形相似：矩形、菱形、正方形、正多边形的相似判定，避免只看角相等或只看边成比例就判定相似的错误 。
)
三．知识梳理
（一）相似图形
1.定义：形状相同，大小不一定相等的图形叫做相似图形。
举例：同一张照片的原图与放大打印图、大小不同的正方形、放大镜下的图案。
2.注意：全等图形是特殊的相似图形，相似比等于1。
（二）相似多边形
1.定义：边数相同的两个多边形，如果各角分别相等，并且各对应边成比例，这两个多边形叫作相似多边形 。
【重要提醒】：两个条件必须同时成立，缺一不可。
举例：所有正方形都是相似多边形；所有正n边形一定相似。
反例1：两个矩形，四个角都是90°（对应角全部相等），但长宽比值不同，对应边不成比例，因此不相似。
反例2：两个菱形，各边都相等，对应边比值相等，但是内角不全部对应相等，也不相似。
2.相似多边形的表示与书写规范
如图，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1形状相同，大小不同.
记作: 四边形四边形，符号:“∽”读作相似于，书写要求:对应顶点字母顺序必须对应。
3.相似比
（1）定义：相似多边形对应边的比称为相似比（缩放比例） 。
（2）顺序性：若多边形甲∶多边形乙相似比为k：1，则多边形乙∶多边形甲的相似比为1：k，二者互为倒数，顺序不能颠倒。
（3）特殊情况：相似比等于1:1，对应边相等，对应角相等，此时两个多边形全等。全等是特殊的相似 。
4.相似多边形核心性质
若两个多边形相似：
（1）对应角相等；
（2）对应边成比例，比值等于相似比；
（3）周长之比 = 相似比；
（4）面积之比 = 相似比的平方。
【拓展】：
图形等比例放大k倍，每条边长变为原来k倍，周长扩大k倍；面积会扩大k2倍。
5.特殊多边形相似辨析
（1）所有正方形一定相似：四个角都是90o，各边都成比例。
（2）所有矩形不一定相似：四个角都相等，但长宽比值不一定相等。例：长4宽2和长6宽2的矩形，角都相等，但边不成比例，不相似。
（3）所有菱形不一定相似：四边成比例，但内角不一定相等。
（4）所有边数相同的正多边形一定相似：各角相等，各边成比例。
6.相似多边形的判定
观察四组多边形：
（1）两个多边形角都相等，一定相似？
举例：长方形四个角均为90°，长4宽2的长方形和长5宽2的长方形，角全部相等，边是否成比例？是否相似？
【分析】长方形1：长4、宽2；长方形2：长5、宽2；边长之比：≠ ，对应边不成比例，所以这两个长方形不相似。
【结论】：仅仅对应角相等的多边形，不一定相似。
（2）两个多边形边成比例，一定相似？
举例：菱形四条边对应成比例，但内角不相等，两个菱形是否相似？
【分析】两个菱形对应边的比值相等（边成比例），但对应内角不相等，因此这两个菱形不相似。
【结论】：仅仅对应边成比例的多边形，不一定相似。
核心总结
多边形相似必须同时满足两个条件，缺一不可：对应角相等，对应边成比例。
7. 全等多边形与相似多边形对比
项目
全等多边形
相似多边形
边角关系
对应角相等，对应边相等
对应角相等，对应边成比例
大小形状
形状、大小完全一样
形状相同，大小可以不同
相似比
相似比为1
可取任意正数
符号
≌
∽
A卷·基础过关
（时间：60分钟 满分：120分）
一、选择题（共30分）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意；B、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意；C、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的， 故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意.故答案为：D.
2.下列关于相似多边形的说法正确的是（ ）
A. 各角相等的多边形一定相似
B. 各边成比例的多边形一定相似
C. 相似多边形对应角相等，对应边成比例
D. 相似多边形周长相等
【答案】：C
【解析】：多边形相似需要对应角相等、对应边成比例同时满足，A、B条件不完整；相似多边形形状相同、大小可不同，周长不一定相等，D错。
3.下列图形一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个菱形
【答案：C
【解析】：正方形四角相等、四边成比例，任意两个正方形一定相似；普通矩形、菱形、平行四边形无法保证边或角全部对应一致。
4.若多边形甲∽多边形乙，相似比为2:1，则甲、乙周长比为（ ）
A. 1:2 B. 2:1 C. 4:1 D. 1:4
【答案】：B
【解析】：相似多边形周长比 = 相似比，故周长比为2:1。
5. 两个相似多边形相似比为2:3，它们的面积比为（ ）
A. 2:3 B. 3:2 C. 4:9 D. 9:4
【答案】：C
【解析】：相似多边形面积比 = 相似比的平方，22:32=4:9。
6.全等多边形的相似比值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】：B
【解析】：全等图形大小、形状完全相同，对应边比值为1。
7．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍 B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍
【答案】B
【解析】∵放大前后的菱形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意，故答案为：B．
8.五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，∠D=135°，则∠D1=（ ）
A.45° B.135° C.55° D.125°
【答案】：B
【解析】：相似多边形对应角完全相等。
9.矩形ABCD与矩形EFGH相似，AB=4，BC=6，EF=2，则FG=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】：A
【解析】：相似矩形对应边成比例=，代入=，解得FG=3。
10．如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是( )
A．∠B=2∠K B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
C．BC=2HI D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
【答案】C
【解析】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， ∠E=∠K故本选项错误；B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2故本选项错误；C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴BC=2HI故本选项正确；D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误.故答案为：C
二．填空题（共30分）
11．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】:②⑤
【解析】：两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；两个正方形一定相似；故答案为：②⑤．
12.若六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'，∠A=120°，则∠A'=________°。
【答案】：120
【解析】：相似多边形对应角相等。
13.△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=10，则相似比________。
【答案】：1:2
【解析】：AB:A'B'=5:10=1:2。
14.△ABC∽△A1B1C1，相似比1:5，则△A1B1C1与△ABC周长比________。
【答案】：5:1
【解析】：相似多边形周长比=相似比，前后顺序颠倒，比值互换。
15.面积比为1:16的两个相似多边形，相似比为________。
【答案】：1:4
【解析】：相似比为面积比的算术平方根，:=1:4。
16.两个相似四边形最长边分别为10cm、15cm，较小四边形周长24cm，则较大四边形周长_______cm。
【答案】：36
【解析】：相似比=10:15=2:3，周长比=2:3，设大周长x，=，x=36。
17.四边形ABCD∽四边形PQRS，AB:PQ=3:2，CD=9，则RS=________。
【答案】：6
【解析】：对应边成比例==，=，RS=6。
18.相似四边形一组对应边6、9，小面积12，则大面积________。
【答案】：27
【解析】：相似比2:3，面积比4:9，12÷4×9=27。
19．古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的________.（选填“轴对称”“平移”“旋转”“相似”）
【答案】相似
【解析】：因为同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，所以在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似.
20. 如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm.
【答案】2
【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与矩形相似，∴= x=2，∴留下的矩形的宽为：2cm. 故答案为2
三．解答题（共60分）
21．如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙．
(1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”）
(2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由．
解：（1）∵图甲和图丙中，图丙和图乙中，∴图甲和图丙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例，∵图甲和图乙中，∴图甲和图乙的长与宽成比例，
故答案为：甲，乙；
(2)方案：长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下：设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则解得，∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．
22．如图，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：
(1)草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
(2)这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
解：(1)两个圆相似
(2)这两个圆的半径分别为50米、60米，所以它们的半径之比为5∶6，周长之比为(2π×50)∶(2π×60)＝5∶6，所以这两个圆的半径之比等于周长之比。
23．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
解：（1）∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，∴、纸的长与宽对应比成比例，得，∴；
（2）∵纸的周长为286厘米，；∴纸的周长．
24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD；
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
解：(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD
(2)连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，AB＝2，∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝＝，∴EP＝2，∴EB＝＝＝，
∴GD＝
25．如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
(1)求原矩形的长和宽的比．
(2)若，求矩形的面积．
解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是．由题意得，∴，解得或（舍去），∴原矩形的长和宽的比为；
（2）由（1）得，∵，∴，∴．
26．探究下列问题：
(1)图①中的两个矩形相似吗？
(2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？
(3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)?
解：(1)如果两个矩形相似，只能是＝，由此得到x＝0，不合题意，故图①中的两个矩形不相似．
(2)能相似．若相似，则＝或＝，即＝(0<y<16)或y＝x－9(7.2<x<20)．
(3)能相似．若相似，则＝，所以x＝.
B卷·强化提优
（时间：60分钟 满分：120分）
一．选择题（共30分）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】:D
【解析】：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意.故答案为：D.
2.两个矩形不相似的根本原因是（ ）
A. 对应角不相等 B. 对应边不成比例 C. 形状不同 D. 边数不同
【答案】：B
【解析】：所有矩形四角都是90°，角全部相等；长宽比不同导致对应边不成比例，因此不相似。
3．如图四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【答案】D
【解析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°-∠E-∠F-∠G=360°-80°-70°-90°=120° 故选D
4.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为3:4，则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的相似比为（ ）
A. 3:4 B. 4:3 C. 9:16 D. 16:9
【答案】：B
【解析】：相似比有顺序性，前后颠倒比值互为倒数。
5.两个相似多边形周长比为3:5，则面积比为（ ）
A. 3:5 B. 5:3 C. 9:25 D. 25:9
【答案】：C
【解析】：周长比=相似比，面积比=相似比平方，即9:25。
6. 一个多边形各边扩大为原来的4倍，得到新相似多边形，则面积扩大为原来的（ ）
A. 4倍 B. 8倍 C. 16倍 D. 不变
【答案】：C
【解析】：边长扩大4倍，面积扩大42=16倍。
7. 下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有( )
A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组
【答案】C
【解析】（1）放大镜下的图片与原来的图片，形状相同，但大小不一定相同，故正确；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象，形状相同，但大小不一定相同，故正确；（3）天空中两朵白云的照片，属于形状不唯一确定的图形，故错误；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片，属于形状不唯一确定的图形，故错误．故选C．
8. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 10
【答案】B
【解析】设这个多边形最短边是x，∵两个多边形相似，∴，解得：x=8．
故选：B．
9．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，∴ ，∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，∴ ，∴ ，
， ，∴，∴ ，故选：B．
10．如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】 A
【解析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，即可判断出结果．∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，∴变化前后的两个矩形不相似，∵三角形，菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，∴变化前后的两个三角形、菱形、两个正方形相似.故选A.
二．填空题（共30分）
11.菱形不一定相似，是因为菱形的________不一定对应相等。
【答案】：内角
【解析】：菱形四边一定成比例，但内角可不同，不满足相似条件。
12.相似比为2:5的两个多边形，周长比为________。
【答案】：2:5
【解析】：周长比恒等于相似比。
13.将一个图形等比例放大，形状不变、________改变。
【答案】：大小
【解析】：相似图形形状相同，大小不同。
14.若两个相似多边形周长相等，则这两个多边形一定________。
【答案】：全等
【解析】：相似且周长相等→边长全部相等→全等。
15.△ABC∽△A'B'C'，∠B=50°，∠C=60°，则∠A'=________。
【答案】：70°
【解析】：∠A=180-50-60=70°，对应角∠A'=70°。
16.相似梯形上下底3、6，腰4，另一梯形对应腰________。
【答案】：8
【解析】：相似比1:2，腰长4×2=8。
17．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片（a>b） ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 a，b 应满足的条件是 ．
【答案】a=2b
【解析】对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为a。∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：a，其中a＞0，b＞0，解得a=2b。故答案为：a=2b。
18．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为
【答案】1：2
【解析】设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，则k2=，∴k=，即相似比为1：2．故答案为：1：2．
19.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____________.
【答案】
【解析】∵AB=1，设AD=，则FD=，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得,,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选B．
20.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，
它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______.
【答案】
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，
第四个六角形的面积为：，故答案为：.
三．解答题（共60分）
21．如图，四边形四边形，，．
(1)___________；
(2)求边的长度．
解：（1）∵四边形四边形，
∴∴
故答案为：
（2）∵四边形四边形∴∵，∴，解得：
22．如图，已知四边形四边形，，，且．
(1)的度数为_____；
(2)若，求的长．
解：（1）∵四边形四边形，∴．故答案为：
（2）∵四边形四边形，∴，∵，，，
∴，∴．
23.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为mo和no，将菱形的“接近度”定义为∣m-n∣，于是∣m-n∣越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70o，则该菱形的“接近度”等于________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≥b），将矩形的“接近度”定义为∣a-b∣，于是∣a-b∣越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
解：（1）40o 0 （2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但∣a-b∣却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，
越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大； 当=1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形
24. 阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体．
如图，甲、乙是两个不同正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设S 甲 ，S 乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设V 甲 ，V 乙 分别表示这两个正方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆锥体
C．两个圆柱体 D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于__________；②相似体的表面积的比等于__________；③相似体的体积比等于__________．
解：(1)球体形状都一样，大小不一样，故选A.
(2)①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比；②相似体的表面积的比等于相似比的平方；③相似体的体积比等于相似比的立方．
25.分类讨论如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图②，x为多少时，图中的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
解：(1)不相似．
理由：因为AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而≠，
所以矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似．
(2)若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，则＝或＝，
则＝或＝，
解得x＝1.5或x＝9.
故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似．
26．综合实践
纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘．
【操作与发现】
如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：．
又因为，，所以．
于是我们得出如下结论：
（1）纸的长与宽之比为________．
【探究与计算】
矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为．
（2）如图2，若点在边上时，求的值；
【探究与拓展】
（3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值．
解：（1）依题意，∴或（舍去），即，
即纸的长与宽之比为，故答案为：；
（2）∵四边形是矩形，∴，∵折叠，∴，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∵矩形是一张标准的纸，且（1）得纸的长与宽之比为，
∴．
（3）过点作，交于一点M，垂足为点N，
∵矩形是一张标准的纸，∴，∵E为边的中点，∴，
∴，即，∵折叠，∴，，，∴，∵，
∴，∴，∵，
∴，∴，∵E为的中点，∴，设，，∴，，．在中，，∴，解得，（舍去），∴，∴，
∴．
(
1
)
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
