专题02 全等三角形的判定 同步培优讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题02全等三角形的判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础认知：全等三角形定义、核心性质、规范书写规则 2.通用判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS（适用于所有三角形） 3.特殊判定定理：HL（直角三角形专属） 4.应用方向：利用全等证明线段相等、角相等，推证线段垂直、平行关系 ✺学习目标 1.掌握全等三角形的定义与性质，理解全等判定的依据。 2.熟练掌握四种通用全等判定方法以及直角三角形HL判定方法。 3.准确区分各判定定理的条件，避免混用、错用判定方法。 4.能识别图形中的隐含条件，灵活选择判定方法，规范书写几何证明。 5.厘清全等判定常见误区，具备中档培优题型的逻辑推理能力。 ✺知识梳理 知识点一、全等三角形概念、性质 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同；图形经过平移、旋转、翻折变换后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即为全等三角形。 3.对应元素：两个全等三角形重合时，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 4.书写规则：全等符号为“≌”，书写全等三角形时，必须将对应顶点按顺序书写，保证对应关系准确。 5.全等三角形的性质：（1）对应边相等，对应角相等（2）周长相等，面积相等（3）对应边上的高相等，中线相等（4）对应角的角平分线相等 证明思路：证三角形全等 → 得到对应边、对应角相等，以此证明线段、角的等量关系。 知识点二、三角形全等四大判定 1.边边边（SSS）：三条边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。 2.边角边（SAS）：两组对应边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 核心重点：必须是两边的夹角，非夹角不能判定全等。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 3.角边角（ASA）：两组对应角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 核心重点：相等的边是两个角的公共夹边。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠BCA=∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 4.角角边（AAS）：两组对应角相等，且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 说明：AAS 可由 ASA 与三角形内角和定理推导得出，证明题中可直接使用。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。 知识点三、直角三角形全等的判定（HL） 适用范围：仅适用于直角三角形 判定内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AB=DE,BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 , 补充：直角三角形同样可以使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定，HL 是直角三角形特有的简便判定方法。 全等三角形判定选择思路 1.已知三边条件 → 选用 SSS 2.已知两边条件 → 寻找夹角，选用 SAS 3.已知两角条件 → 找夹边选 ASA；找对边选 AAS 4.直角三角形 → 优先尝试HL 易错总结 1.SAS 必须是夹角，SSA 不能判定全等。 2.ASA 的边是两角夹边，AAS 的边是角的对边，二者条件不同，不可混用。 3.HL 定理仅限直角三角形，普通三角形不能使用。 4.书写全等，对应顶点必须对齐，防止边角对应出错。 5.AAA 只能证明三角形相似，不能证明全等。 6.证明全等，条件中至少要有一组对应边相等。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各组图形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 3．找出下列各组图中的全等图形． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 1．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D ．351 2．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 3．从图（1）和（2）中分别找出两组全等形，并写出对应边和对应角． 题型3.全等三角形的概念 1．如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．已知在和中，A与，B与是对应点，，则和全等，用符号语言表示为：______ ． 3．如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    题型4.全等三角形的性质 1．如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若，的长是5，则的长是_______． 3．如图，，点D在边上，与交于点P．已知，求的度数． 题型5.尺规作图——作三角形 1．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 2．如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 3．如图，已知线段和，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为和，且这两条边的夹角等于．（保留作图痕迹，不写作法） 题型6.用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，操场器材区两点，被器械遮挡，不能直接测量它们之间的距离．小星在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到，使，则，所以，即测得的长度就是，间的距离．其中，的全等依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 3．如图，，，，求证：． 题型7.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 3．如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 题型8.全等的性质和SAS综合（SAS） 1．如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为_______． 3．如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小，为此，小张师傅便在线段的延长线上取一点D，使，在的延长线上取一点E，使，连接，则只需测出的度数，就能知道的度数，请说明理由． 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，与交于，，，不添加辅助线，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．如果用“”证明，只需添加条件_____． 3．如图，在四边形中，，E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1．如图，已知平分，点在上，过点分别作，，垂足分别为，，可得．欲证，可先证，则这两个三角形全等的依据是（ 　   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 3．如图，在中，，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型11.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（     ） A． B． C． D． 2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则________． 3．如图，，为上两点，已知，，．求证：． 题型12.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 2．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 3．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 题型13.全等的性质和SSS综合（SSS） 1．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是__________． 3．如图，A，B，C，D四点在一条直线上，，，．求证：． 题型14.三角形的稳定性及应用 1．南澳大桥的斜拉索与桥面、桥塔之间构成许多个三角形，这样设计的数学依据是（     ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 2．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的________． 3．2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 题型15.四边形的不稳定性 1．如图所示的是电动伸缩门，则电动门能伸缩的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的稳定性 D．四边形的不稳定性 2． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 3．下列图形中哪些具有稳定性？ 题型16.用HL证全等（HL） 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 3．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 题型17.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为________． 3．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 1．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 3．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． ✺分层练习 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，已知，添加条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，，和是对应角，在中，是最长边．在中，是最长边，且，．则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 6．如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 7．如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 8．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 三、解答题 9．如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，于点D，于点E，相交于点O． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 12．如图1，某班“扬帆组”探究与相关量的一些特殊位置关系．已知，，且点，，，在同一直线上． (1)若，的周长为20， ①求证：； ②当点是的中点时，与相交于点，求的周长． (2)如图2，若，连接，恰好是的一条高，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形的判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础认知：全等三角形定义、核心性质、规范书写规则 2.通用判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS（适用于所有三角形） 3.特殊判定定理：HL（直角三角形专属） 4.应用方向：利用全等证明线段相等、角相等，推证线段垂直、平行关系 ✺学习目标 1.掌握全等三角形的定义与性质，理解全等判定的依据。 2.熟练掌握四种通用全等判定方法以及直角三角形HL判定方法。 3.准确区分各判定定理的条件，避免混用、错用判定方法。 4.能识别图形中的隐含条件，灵活选择判定方法，规范书写几何证明。 5.厘清全等判定常见误区，具备中档培优题型的逻辑推理能力。 ✺知识梳理 知识点一、全等三角形概念、性质 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同；图形经过平移、旋转、翻折变换后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即为全等三角形。 3.对应元素：两个全等三角形重合时，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 4.书写规则：全等符号为“≌”，书写全等三角形时，必须将对应顶点按顺序书写，保证对应关系准确。 5.全等三角形的性质：（1）对应边相等，对应角相等（2）周长相等，面积相等（3）对应边上的高相等，中线相等（4）对应角的角平分线相等 证明思路：证三角形全等 → 得到对应边、对应角相等，以此证明线段、角的等量关系。 知识点二、三角形全等四大判定 1.边边边（SSS）：三条边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。 2.边角边（SAS）：两组对应边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 核心重点：必须是两边的夹角，非夹角不能判定全等。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 3.角边角（ASA）：两组对应角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 核心重点：相等的边是两个角的公共夹边。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠BCA=∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 4.角角边（AAS）：两组对应角相等，且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 说明：AAS 可由 ASA 与三角形内角和定理推导得出，证明题中可直接使用。 几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。 知识点三、直角三角形全等的判定（HL） 适用范围：仅适用于直角三角形 判定内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AB=DE,BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 , 补充：直角三角形同样可以使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定，HL 是直角三角形特有的简便判定方法。 全等三角形判定选择思路 1.已知三边条件 → 选用 SSS 2.已知两边条件 → 寻找夹角，选用 SAS 3.已知两角条件 → 找夹边选 ASA；找对边选 AAS 4.直角三角形 → 优先尝试HL 易错总结 1.SAS 必须是夹角，SSA 不能判定全等。 2.ASA 的边是两角夹边，AAS 的边是角的对边，二者条件不同，不可混用。 3.HL 定理仅限直角三角形，普通三角形不能使用。 4.书写全等，对应顶点必须对齐，防止边角对应出错。 5.AAA 只能证明三角形相似，不能证明全等。 6.证明全等，条件中至少要有一组对应边相等。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各组图形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵B、C、D选项中的两个图形不可能完全重合， ∴不是全等图形， ∵A选项的两个图形都可以完全重合， ∴是全等图形． 2．如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 3．找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 1．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 2．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【分析】根据图形剪开后的形状，结合平行四边形和三角形的拼接条件逐一判断．图①剪开后是两个梯形，无法拼成三角形；图②剪开后是一个三角形和一个梯形，且剪痕过中点，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图③剪开后是两个三角形，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图④剪开后是两个矩形，无法拼成三角形；图⑤剪痕不过中点，无法拼成三角形． 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 3．从图（1）和（2）中分别找出两组全等形，并写出对应边和对应角． 【答案】 图（1）中，四边形四边形， 对应边: 对应角: 四边形四边形． 对应边: 对应角: 图（2）中，， 对应边: 对应角: 对应边: 对应角: 【分析】根据全等图形的定义判断即可．本题考查全等图形，解题的关键是理解全等图形的定义． 【详解】略 题型3.全等三角形的概念 1．如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 2．已知在和中，A与，B与是对应点，，则和全等，用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【分析】用全等三角形的对应点以及全等三角形的判定条件即可解答． 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，， ∴和全等，用符号语言表示为：． 3．如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 题型4.全等三角形的性质 1．如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 由图可知， ． 2．如图，若，的长是5，则的长是_______． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，的长是5， ∴． 3．如图，，点D在边上，与交于点P．已知，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵，点 D 在边 上， 与 交于点 P， ∴， ∴， 即． ∵，， ． 题型5.尺规作图——作三角形 1．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 2．如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 【答案】②①③ 【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形． 故答案为：②①③． 【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力． 3．如图，已知线段和，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为和，且这两条边的夹角等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，即为所求． 【详解】略 题型6.用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，操场器材区两点，被器械遮挡，不能直接测量它们之间的距离．小星在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到，使，则，所以，即测得的长度就是，间的距离．其中，的全等依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意提取已知条件，，结合图形隐含的对顶角相等，利用全等三角形判定定理“边角边”即可． 【详解】在和中， ∴． 2．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程得，， 在和中， ∴． 3．如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． 【分析】利用证明即可． 【详解】略 题型7.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 2．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1) 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 题型8.全等的性质和SAS综合（SAS） 1．如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定全等即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是． 2．如图，中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先利用角平分线得到相等角，结合、公共边证明，得到；再把周长转化为，算出长度后代入求值即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 3．如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小，为此，小张师傅便在线段的延长线上取一点D，使，在的延长线上取一点E，使，连接，则只需测出的度数，就能知道的度数，请说明理由． 【答案】解：理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴要想测出的度数，则需要测出的度数． 【分析】根据证明，即可得到． 【详解】略 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，与交于，，，不添加辅助线，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ． 2．如图，在中，，．如果用“”证明，只需添加条件_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明全等三角形是解题的关键． 由可得，再结合，再根据“”即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴添加可用“”证明． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)4 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1．如图，已知平分，点在上，过点分别作，，垂足分别为，，可得．欲证，可先证，则这两个三角形全等的依据是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直得到，由角平分线得到，然后结合即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴这两个三角形全等的依据是． 2．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 【答案】2 【分析】过点作交于点，证明得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ， ， ∴． 3．如图，在中，，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，分别是边，上的高线， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可得证； （2）由（1）可得，从而得出，，再证明即可． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型11.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过已知条件找出与的三组对应边相等，利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，从而说明射线是角平分线，判断原理． 【详解】解： ， ， 平分． 因此此角平分仪的画图原理是． 2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则________． 【答案】 【分析】根据判定全等的条件，两个三角形三边对应相等，推导对应边关系即可得到结果． 【详解】解：∵两个三角形由可判定全等， ∴，， ∴． 3．如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ． 【详解】略 题型12.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 2．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 3．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1) 解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）略 （3） 略 题型13.全等的性质和SSS综合（SSS） 1．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：在和中， ， ， ， 就是的平分线． 故选：． 2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是__________． 【答案】/70度 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，A，B，C，D四点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可求证． 【详解】略 题型14.三角形的稳定性及应用 1．南澳大桥的斜拉索与桥面、桥塔之间构成许多个三角形，这样设计的数学依据是（     ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：斜拉索与桥面、桥塔构成三角形结构，设计依据是三角形具有稳定性． 2．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【分析】根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 3．2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】(1)稳定 (2)理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2） 略 题型15.四边形的不稳定性 1．如图所示的是电动伸缩门，则电动门能伸缩的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的稳定性 D．四边形的不稳定性 【答案】D 【分析】根据四边形的性质，并结合图片分析即可得出结果． 【详解】解：观察图片可知，电动伸缩门是由许多根金属条交叉连接而成的，这些金属条构成了许多个四边形，当门进行伸缩运动时，这些四边形的角度发生变化，从而使得门的整体长度发生改变，故电动门能伸缩的几何原理是四边形的不稳定性． 2． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：由题意，其原理主要是运用了四边形的不稳定性. 3．下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】（1）（4）具有稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性，只需判断每个图形是否全部由三角形构成，即可得到结果． 【详解】解： 因为三角形具有稳定性，如果图形中存在四边形时不具有稳定性，所以图形全部由三角形构成时具有稳定性． 图形（1）：全部由两个三角形构成，具有稳定性； 图形（2）：包含四边形，不具有稳定性； 图形（3）：包含四边形，不具有稳定性； 图形（4）：全部由三角形构成，具有稳定性； 图形（5）：包含四边形，不具有稳定性； 综上所述，具有稳定性的图形是（1）（4）． 题型16.用HL证全等（HL） 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可证明． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴． 2．如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意可知和是直角三角形，根据全等判定定理，有一条斜边和直角边分别对应相等即可判定，继而选出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴和均为直角三角形， ∴在和中， ， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【分析】先得到两个三角形均为直角三角形，结合斜边，利用定理分类讨论直角边对应相等，再结合点不与点重合的限制，排除，最终确定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 题型17.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为________． 【答案】3 【分析】连接，证明即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 1．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 3．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． ✺分层练习 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 2．如图，已知，添加条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由两个三角形全等的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知， 添加①，角不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等； 添加②，由两个三角形全等的判定定理可得； 添加③，由两个三角形全等的判定定理可得； 添加④，由两个三角形全等的判定定理可得； 综上所述，添加条件②③④能使，共个条件． 3．如图，，和是对应角，在中，是最长边．在中，是最长边，且，．则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质进行线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， ， ． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 5．下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的概念和性质，逐个判断各说法的正误． 【详解】解：全等三角形能够完全重合，对应边相等，说法正确； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等； 周长相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如边长为的三角形和边长为的三角形周长均为，但不全等； 全等三角形能够完全重合，因此全等的两个三角形面积相等，说法正确； 综上，正确的是． 6．如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】可证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键． （1）若以“”为依据，那么需要两组对应边相等以及这两边的夹角相等，根据题意，可知，，那么添加的另一条边相等即可； （2）若以“”为依据，那么需要两个角以及一组邻边相等，根据题意，可知，，那么添加和的对角即可． 【详解】解：（1）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么添加的条件为：； 故答案为：； （2）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么需要添加的条件为：， 故答案为：． 8．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【答案】3 【分析】首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 三、解答题 9．如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2)3 【分析】（1）由全等说明，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由全等说明，从而，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ，即， ，， ， ． 10．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在 和 中 ∴； (2)11 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，于点D，于点E，相交于点O． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）先证明，可得，可证明，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图1，某班“扬帆组”探究与相关量的一些特殊位置关系．已知，，且点，，，在同一直线上． (1)若，的周长为20， ①求证：； ②当点是的中点时，与相交于点，求的周长． (2)如图2，若，连接，恰好是的一条高，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①证明：因为， 所以，即， 又因为，， 所以， 所以； ②10； (2)，证明如下： 如图2，连接， 因为，，， 所以， 所以，， 因为， 所以，即， 又因为，， 所以． 所以，，． 因为是的高线， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 所以． 【分析】（1）①由得到，然后证明，即可得到； ②证明，得到，，然后证明，得到，，，进而求解即可； （2）连接，证明，得到，，然后证明，得到，，，然后证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：①略； ②如图1，连接，． 由①得，，． 因为点E是的中点， 所以， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 因为， 所以， 因为的周长为20， 所以， 所以的周长． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $