专题 1.3 全等三角形的判定 重难点题型专训讲义（6个知识点+20大题型+2大提高题型+自我检测） 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过系统梳理全等三角形判定的6个核心知识点，以框架图呈现SAS、ASA、AAS、SSS、HL及三角形稳定性的内在逻辑，用对比表格明确各判定方法的条件与适用场景，突出辅助线模型和综合应用等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型涵盖尺规作图、判定方法直接与间接应用（如倍长中线模型），提高题型聚焦复杂证明与实际测量问题，培养推理能力和模型意识。例题与即时训练结合，助力不同层次学生提升，教师可精准分层教学，支持学生自主复习。

专题1.3 全等三角形的判定重难点题型专训 （6个知识点+20大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 尺规作图——作三角形】 11 【基础题型二 用SAS证明三角形全等(SAS)】 12 【基础题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 15 【基础题型四 全等的性质和SAS综合(SAS)】 19 【基础题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 26 【基础题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 31 【基础题型七 用SSS证明三角形全等(SSS)】 36 【基础题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 47 【基础题型九 全等的性质和SSS综合(SSS)】 47 【基础题型十 三角形的稳定性及应用】 52 【基础题型十一 四边形的不稳定性】 56 【基础题型十二 用HL证明全等(HL)全等的性质和SSS综合(SSS)】 59 【基础题型十三 全等的性质和HL综合(HL)】 62 【基础题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 70 【基础题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 72 【基础题型十六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 77 【基础题型十七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 82 【基础题型十八 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 86 【基础题型十九 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 92 【基础题型二十 全等三角形综合问题】 101 第二部分·练提高题型 【提高题型一 证明三角形全等】 114 【提高题型二 全等三角形判定的综合应用】 117 第三部分・自我检测 知识点01 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（2026八年级上 山西朔州·单元复习）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是________（写出全等依据的简写）．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明三角形全等成为解题的关键． 由已知条件可得、，再结合对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：在核对中， ， ∴． 故答案为：． 知识点02 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 【详解】解：依题意，∵，，， ∴， ∴图中与全等的依据是． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）李阿姨不小心将一块三角形的玻璃装饰品打碎了，碎片如图所示．现在要重新定制一块完全相同的玻璃，她只需带上碎片________（填“①”“②”或“③”）到玻璃店即可． 【答案】① 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两个三角形全等），学会将实际问题转化为数学问题是解题关键． 由图可知，第①块中，有两角及其夹边可得出这块三角形与购买的三角形全等． 【详解】解：根据全等三角形的判定：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等， 故答案为：①． 知识点03 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（   ） A．线段与交于点 B． C． D．是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知：中，，求证：． 证明：作的平分线， 在和中， _____________， ， ____________， （全等三角形的对应边相等） 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线定义，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．依据题意完成解题过程即可． 【详解】证明：作的平分线， 在和中， ， ， ， （全等三角形的对应边相等） 故答案为：；． 知识点04 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西长治·期中）在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 根据证明即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川·期中）小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 知识点05 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·阶段测试）2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】解：活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定， 其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 2．（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 知识点06 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角，王师傅要在该坡角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面和地面，且两块长方形木板的顶角交于点A，两长边交于点D，分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的和．这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则≌的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，理解题意是解题的关键． 根据题意找到三角形全等的条件，进而解题． 【详解】解：由题意知，， 在与中， ， ∴≌． 故选：B ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】解：， 在和中，， ， 判断的依据是． 故答案为：． 【基础题型一 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：三条边对应相等的三角形是全等三角形， 一定画出唯一三角形， 故A选项符合题意； 三个角相等的两个三角形不一定全等， 三角形不唯一， 故B选项不符合题意； 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相等， 三角形不唯一， 故C选项不符合题意； 综合B，C选项可知D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【基础题型二 用SAS证明三角形全等(SAS)】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·阶段测试）如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 【例2】（25-26八年级上·全国·周测）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形中边角边的证明方法即可得到全等的两个直角三角形． 【详解】解：①③两条直角边分别为1与2，满足边角边的证明方法， ②中一条直角边为1，一条斜边为2，不满足边长对应相等， 故全等的两个直角三角形是①③． 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 3．（25-26八年级上·河南开封·阶段测试）如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 【例1】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE=______． 【答案】 【分析】根据题意和翻折的性质，可以得到然后可以求出结果． 【详解】解：∵D为的中点， ∴与的面积相等， ∵面积是面积的一半， ∴面积是面积的一半， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形全等，解答本题的关键是利用数形结合的思想解题． 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段测试）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 2．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段测试）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（） A．E的对应点C、G和点A在同一直线上； B．∠FDG＝∠FDE＝60°； C．FE＝FG； D．∠DCG＝∠DEB 【答案】D 【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质依次判断可求解． 【详解】∵将△DBE绕点D顺时针旋转120°， ∴△BDE≌△CDG，∠EDG=120°， ∴DE=DG，BD=DC，∠DBE=∠DCG， ∵∠BAC=60°，∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠DCA=180°， ∴∠DCG+∠ACD=180°， ∴B、E的对应点C、G和点A在同一直线上，故选项A不合题意； ∵∠BDC=∠EDG=120°，∠EDF=60° ∴∠EDF=∠FDG=60°，故选项B不合题意； 在△EDF和△GDF中， ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG，故选项C不合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．（25-26八年级上·天津和平·阶段测试）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 如图，取格点E，作射线交于点M，即为所求；取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N，点N即为所求． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质． 【详解】解：如图，取格点E，作射线交于点M， ， ， ， ， ，即，故即为所求； 取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 点是点关于对称的点， ， 当三点共线时最小，故点即为所求． 【基础题型四 全等的性质和SAS综合(SAS)】 【例1】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段测试）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为：_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据可以证明，从而得结论． 【详解】解：由题意得， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明，可得． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．证明，再逐项进行判断即可． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴，故②正确， ∴， ∴；故①正确； ∵． ∴．故③正确； 无法证明，故④不正确， 故选：A 3．（25-26八年级上·全国·周测）如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 【答案】 【分析】要证，需要证．而证所需的和，可由（SAS）得到． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ∵，，， ， ，， 在和中， ∵，，， ， ． 4．（25-26八年级上·上海·阶段测试）如图，已知在中，都是中点，，，，，求证：． 【答案】证明：连接，，，倍长中线到点，倍长中线到点，连接，． 是中点且是中点， ，， 在和中， ， ， ，， ． ， 在和中， ， ， ． ，， ． 是中点且是中点， ，, 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． ，， ， ，， ，， 根据三角形内角和为，， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过倍长中线法、全等三角形判定和线段的等量代换完成证明． 【详解】略 【基础题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据“角边角”证明两个三角形全等，即可求解． 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形． 故选：B 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·阶段测试）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．      【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， 判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 1．（25-26八年级上·全国·周测）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 2．（2025八年级上 河北邯郸·单元复习）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 3．（23-24 八年级上 江苏泰州）如图，是长方形的对角线的中点，，，垂足分别为、，若，则将沿方向平移_____可以得到三角形． 【答案】// 【分析】本题考查了平移的性质和全等三角形的判定，根据平移的性质和全等三角形的判定求解即可，解题的关键是熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定． 【详解】∵点是的中点， ∴， ∵ ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴将沿方向平移可得到， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，左下图是被扬扬踢球时不小心打坏的一块三角形玻璃的一部分，右下图是扬扬配的玻璃，扬扬仔细地量了量，结果有：，，那么新配的玻璃与原来的一样吗？为什么？ 【答案】 新配的玻璃与原来的玻璃是一样的．理由如下： 如图：把原来的三角形玻璃的两边分别延长交于点O， 在和中， ， ． 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． 如图：把原来的三角形玻璃的两边分别延长交于点O，根据证明即可解答． 【详解】解：略． 【基础题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 【例1】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段测试）如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在中， ∴ ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在成功的解决了作业本上的较难地第9题后，小桐意犹未尽，让沈老师再考考她，于是沈老师又给她出了两道题，那请你来一起解决吧． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，在图中，若是上一点，交延长线于；若，且，则______；（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据，即可求解； （2）证明，可得，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，最后根据等底等高可得． 【详解】解：∵两个同样大小的正方形纸片，，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴根据等底等高可得． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【答案】3米 【分析】证明即可解答． 【详解】解：根据题意可得，， ， ，       ， ，             ，，米， ，                              米， 该条幅最低点到地面的距离为3米． 【基础题型七 用SSS证明三角形全等(SSS)】 【例1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段测试）如图是小明制作的风筝骨架示意图，他先量得，然后确定木棒的中点，再将木棒固定在点A和中点处，就可确保木棒和垂直，小明运用的数学知识不可能是（    ） A．等腰三角形三线合一 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据题意证明即可 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵，且是的中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质） 故A正确，不符合题意； 由于要证明，所以“”这个条件不能用， 故B错误，符合题意； ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴, 故C正确不符合题意； ∵ ∴, 故D正确，不符合题意； 故选：B 【例2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是______． 【答案】边边边（或或三边分别相等的两个三角形全等） 【分析】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 根据作图方法可知，，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（2）知，由步骤（3）（4）知， 根据三组边对应相等（），可证． 故答案为：边边边． 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【分析】先利用证出，得出，再利用证出，得出，最后利用证出 ． 【详解】解：在和中 在和中 即 在和中 ∴共有3对全等三角形 ． 2．（25-26八年级上·湖北随州·阶段测试）如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，连接，由作图可得，，，证明，得出，再逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 由作图可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴，故能由上述操作结果得出， ∴，故能由上述操作结果得出； 若，则，故能由上述操作结果得出； 是等边三角形，不能由上述操作结果得出，故符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是___________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有___________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有___________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】 6 3 11 【分析】本题考查作图，三角形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用“”方法找出所有全等三角形． （1）用割补法求解即可； （2）①根据“” 以为公共边，另一点在格点上作出与全等的三角形即可；②根据“”以点为公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：6； （2）①如图2中，、、是与全等且有一条公共边的格点三角形，则在图2中有3个与全等且有一条公共边的格点三角形； 故答案为：3； ②如图3中，、、、、、、、是与全等且有一个公共点的格点三角形，则在图3中有11个与全等且有一个公共点的格点三角形． 故答案为：11． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段测试）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个实数相等，那么它们的平方相等；③如果两个角是直角，那么它们相等；④全等三角形的三组对应边相等．逆命题不成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意； ②如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，不成立，符合题意； ③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，符合题意； ④全等三角形的对应边相等的逆命题是三条边相等的两个三角形全等，成立，不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·山东泰安·阶段测试）小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 2．（25-26八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ (2) 解：，理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型九 全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（2026八年级上 广西南宁·单元复习）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则____________． 【答案】/20度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 2．（26-27八年级上 上海·周测）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 【答案】/99度 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， 即．， 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，B，C分别是线段，的中点，，．与平行吗？请说明理由． 【答案】与平行，理由如下： ∵B是的中点，C是的中点， ∴，， ∴， 在和中：， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明，得出，即可证得． 【详解】略 【基础题型十 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（     ）条木条? A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上3根木条． 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 4．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段测试）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】(1)稳定 (2)理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十一 四边形的不稳定性】 【例1】（25-26八年级上·浙江舟山·阶段测试）如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）下列图形中具有稳定性的有____．（填序号） 【答案】②③/③② 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性， ∴具有稳定性的是． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·阶段测试） 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：由题意，其原理主要是运用了四边形的不稳定性. 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）准备几根硬纸条． (1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？ (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？ (3)上面的现象说明了什么？ 【答案】(1)三根硬纸条钉成三角形后，三角形的三边长度和内角度数都被固定，拉动其中两边，无法改变三角形的形状，因此不能使三角形形状发生变化． (2)四根硬纸条钉成四边形后，仅边长固定，内角可以发生变化，拉动其中两边，四边形形状会发生改变；同理，五边形仅固定边长时内角也可以改变，拉动后五边形形状也会改变． (3)∵操作中三角形形状无法改变，边数大于等于4的多边形形状可以改变 ∴可得结论：上述现象三角形具有稳定性，边数不小于4的多边形具有不稳定性． 【分析】本题是操作验证类题目，考察三角形稳定性的初中基础知识点，通过观察操作现象总结图形特性即可，用到三角形和多边形的结构性质． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【基础题型十二 用HL证明全等(HL)全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【例2】（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．（25-26八年级上·河北保定·阶段测试）如图，已知，，嘉嘉、淇淇两位同学作的过程如下，下列说法错误的是（　　） A．嘉嘉第二步作图时，是以点为圆心，线段的长为半径画弧 B．淇淇第二步作图时，是以点B为圆心，线段的长为半径画弧 C．嘉嘉、淇淇的作图均正确 D．淇淇所作的与全等的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段，全等三角形的判定定理，分析嘉嘉和淇淇的作图过程，结合全等三角形的判定定理，逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：嘉嘉的作图过程：第一步以点为圆心，长为半径画弧交于（保证），第二步以为圆心，长为半径画弧交于（保证），此时和均为直角三角形，根据即可判定， 淇淇的作图过程：第一步以点为圆心，长为半径画弧交于（保证），第二步以点为圆心，长为半径画弧交于（保证），根据即可判定， 故ABC正确，D错误， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·周测）木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【基础题型十三 全等的性质和HL综合(HL)】 【例1】（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【答案】A 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南漯河·阶段测试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山西长治·阶段测试）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，证明，得到，，即，证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得的延长线，再证明，得，，又因为，证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当的长度最短时，即的延长线，如图所示： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， ∴， ∴， ∵ 故， ∴， 则， ∴． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段测试）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【基础题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1) 画图如下： (2) 画图如下： 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【基础题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 【例1】（26-27八年级上 ·全国·周测）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 3．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段测试）如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【分析】根据题意容易判断，已有一组直角边对应相等，因此添加一组斜边相等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 【基础题型十六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段测试）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD． （1）能直观看出△ABC与△ABD的形状与大小均不相同，说明这两个三角形不 ___； （2）这个实验说明 ___． 【答案】 全等 如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等 【分析】（1）根据全等三角形的定义得出即可； （2）根据图形得出∠B=∠B，AB=AB，AC=AD，再根据全等三角形的判定得出即可． 【详解】解：（1）∵△ABC与△ABD的形状与大小均不相同， ∴这两个三角形不全等， 故答案为：全等； （2）这个实验说明：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等， 故答案为：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，②具备条件SSA和AAA时，两三角形不全等． 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的三边及三个内角的度数如图所示，现要作一个与全等的三角形，下面是四位同学作出的图形． 其中符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定一一判断即可．解题的关键是掌握一般三角形全等的判定方法：，，，． 【详解】解：（1）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意； （2）根据“两边及一边的对角对应相等的条件”不能判定三角形全等，故此图形不符合题意； （3）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意； （4）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意， ∴符合条件的有个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图1，点D在上，点E在上，，请补充一个条件，使．针对这个问题，淇淇和嘉嘉交流了各自的想法，如图2所示，根据两人的对话内容，可以判断（   ）    A．淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误 B．淇淇的想法错误，嘉嘉的想法正确 C．淇淇和嘉嘉的想法都正确 D．淇淇和嘉嘉的想法都错误 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，当时，由可以得出，故淇淇的想法正确；当时，根据已知条件无法证明，故嘉嘉的想法错误；综合即可得出答案． 【详解】解：根据淇淇和嘉嘉的想法，分别做以下两种情况讨论： 当时， ∵ ∴在和中， ， ∴， 故淇淇的想法正确； 当时，根据已知条件无法证明， 故嘉嘉的想法错误； 综上：淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江金华·阶段测试）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】 不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】略 【基础题型十七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 【例1】（24-25八年级上·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·重庆·阶段测试）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 4．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十八 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点， ∴点是的重心，故A正确， ∴，， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 又∵是的中点，则 ∴，故B正确， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故C错误； 如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故D正确 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，中线，正确作出辅助线是解题的关键． 延长到，使，连接，证明三角形全等，推出，在三角形中，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在中，根据三角形三边关系， 有， 即， ∴， 因此． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）在中，，，则的中线的长度可取值为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证明，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：如图； 延长到，使，则，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两个周长相等的等腰三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定；由全等三角形的判定方法，逐一判断，即可求解；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.两个面积相等的等腰三角形， 如图，，，，此时，但与不全等；故此项不符合题意； B.两边及第三边上的中线对应相等， 如图，，，是上的中线，是上的中线，， 延长使得，连接，延长使得，连接， ， 是上的中线，是上的中线， ， 在和中 ， （）， ， 同理可证：， ， 在和中 ， （）， ， 同理可证：， ， 在和中 ， （）， 故此项正确，符合题意； C.两个周长相等的等腰三角形，如边长为、、；、、，这两个三角形不全等；故此项不符合题意； D.如图，，，，，， 与不全等； 故此项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； (2) 证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 【基础题型十九 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【例2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段测试）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】 证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 【基础题型二十 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得到，即可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 应补充“”， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·阶段测试）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 【提高题型一 证明三角形全等】 【例1】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，则，可判断选项A、C；再证明，推出，则，利用证明，即可判断选项D，没有理由证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，则，故选项A、C正确； ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故选项D正确； ∴与不一定相等，故选项B不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键． 【例2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是_____． 【答案】或秒 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：当点在上，点在上，当点在上，点在上，点与重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（）当点在上，点在上，如图， 则，，，， ∵， ∴，即， 解得：，即运动秒； （）当点在上，点在上，如图， 则，， ∵， ∴，即，解得此时不符合题意； （）点与重合在上，如图， 则，， ∴，即，解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④平分． A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接根据已知条件可以证明，延长到点使连接可证明，进而证明，据此判断各项即可． 【详解】解；如图连接 ∵， ∴°， 在与中， ， ∴， ∴故结论①正确； 根据已知条件不能推出，故结论②不正确； 如图2，延长到点使连接 ∵， ∴°， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ∵， ∴， 即平分 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④，共3个， 故选B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴ ，故D正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B错误，符合题意． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·陕西延安·阶段测试）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型二 全等三角形判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（   ）    A．10 B．12 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于，利用得出，从而得到，再用全等三角形的判定定理证出，利用全等三角形的性质得到和的长，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长交于，   ， ， ， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在中，， ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·周测）如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 1．（2026八年级上 山西晋城·单元复习）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 2．（2024八年级上 河北·单元复习）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【详解】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______． 【答案】13 【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，． 则． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长． ∵，，， ∴在中，由勾股定理，得 ． 如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得 ． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 4．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段测试）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段测试）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 4．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（     ） A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 【答案】B 【详解】解：A、图1，弯曲河道改直是利用了两点之间线段最短，说法错误，故不符合题意； B、图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，说法正确，故符合题意； C、图3，体育课测量跳远的成绩是利用了点到直线，垂线段最短，说法错误，故不符合题意； D、图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法，说法错误，故不符合题意． 5．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 5．（25-26八年级上·重庆奉节·阶段测试）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 由旋转证明即可得到，即可判断A，而B、C、D不能证明，即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； 而BCD选项均不能证明，故不符合题意， 故选：A． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 9．（2026八年级上 陕西咸阳·单元复习）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，不可以证明“”的是（   ） A．过点作交于点 B．在上取一点，使，连接 C．在上取一点，使，连接 D．在上取一点，使 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：由已知条件无法证明，故不能证明结论． 【详解】解：A．如图，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； B．如图， 在上取一点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； C． 如图，在上取一点，使，连接 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； D． 如图，在上取一点，使， ，，， 不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． 故选：D． 11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段测试）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 12．（2023八年级上·山西大同）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 【答案】①②③ 【分析】由“”可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， 又， ， ，，， 平分，故①②③正确． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 16．（24-25八年级上·山东威海·阶段测试）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【答案】如图所示， 证明：在和中， ， ∴， 则即为所求． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接，则即为所求，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：在上截取，延长，在的延长线上截取，连接． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段测试）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图①，，，点在上，且． (1)求证：． (2)如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 【答案】(1) 证明：， ，即， 在和中， ， ， ； (2) ，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得； （2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可． 【详解】（1）略 （2）图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下： ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． 综上所述，图②中的对全等三角形为，，，． 19．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段测试）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 20．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段测试）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①FE=FD．②结论FE=FD仍然成立，证明见解析． 【分析】（1）根据SAS可知：在∠MON的两边上取格点M、N，使OM=ON，在角平分线OP上取格点Q，连接QM、QN所构成的两个三角形△OQM与△OQN全等，且它们关于OP对称； （2）①在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；②在AC上截取AH=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG，进而得出AC的长度． 【详解】解：（1）如图，△OQM与△OQN即为所求作， ∵OP是∠MON的平分线， ∴∠MOP=∠NOP， ∵OM=ON，OP= OP， ∴△OQM≌△OQN； （2）①FE=FD． 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴FE=FG， ∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°， ∴∠AFC=120°， ∴∠CFD=60°=∠CFG， ∴∠AFG=60°， 又∵∠EFA =∠CFD=60°， ∴∠EFA=∠GFA =60°， 在△FDC和△FGC中， ∵， ∴△FDC≌△FGC（ASA）， ∴FD=FG． ∴FE=FD． ②结论FE=FD仍然成立． 在AC上截取如图： 同①可得△EAF≌△HAF， ∴FE=FH，∠EFA=∠HFA． ∵∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°． ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°． ∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°． 同①可得△FDC≌△FHC， ∴FD=FH． ∴FE=FD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 全等三角形的判定重难点题型专训 （6个知识点+20大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 尺规作图——作三角形】 7 【基础题型二 用SAS证明三角形全等(SAS)】 7 【基础题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 9 【基础题型四 全等的性质和SAS综合(SAS)】 11 【基础题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 13 【基础题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 15 【基础题型七 用SSS证明三角形全等(SSS)】 17 【基础题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 21 【基础题型九 全等的性质和SSS综合(SSS)】 21 【基础题型十 三角形的稳定性及应用】 23 【基础题型十一 四边形的不稳定性】 25 【基础题型十二 用HL证明全等(HL)全等的性质和SSS综合(SSS)】 27 【基础题型十三 全等的性质和HL综合(HL)】 28 【基础题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 31 【基础题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 32 【基础题型十六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 34 【基础题型十七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 36 【基础题型十八 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 38 【基础题型十九 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 39 【基础题型二十 全等三角形综合问题】 41 第二部分·练提高题型 【提高题型一 证明三角形全等】 45 【提高题型二 全等三角形判定的综合应用】 45 第三部分・自我检测 知识点01 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（2026八年级上 山西朔州·单元复习）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是________（写出全等依据的简写）．    知识点02 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）李阿姨不小心将一块三角形的玻璃装饰品打碎了，碎片如图所示．现在要重新定制一块完全相同的玻璃，她只需带上碎片________（填“①”“②”或“③”）到玻璃店即可． 知识点03 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（   ） A．线段与交于点 B． C． D．是线段的中点 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知：中，，求证：． 证明：作的平分线， 在和中， _____________， ， ____________， （全等三角形的对应边相等） 知识点04 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西长治·期中）在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川·期中）小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 知识点05 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·阶段测试）2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 2．（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 知识点06 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角，王师傅要在该坡角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面和地面，且两块长方形木板的顶角交于点A，两长边交于点D，分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的和．这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则≌的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【基础题型一 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 【例2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段测试）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【基础题型二 用SAS证明三角形全等(SAS)】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·阶段测试）如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【例2】（25-26八年级上·全国·周测）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南开封·阶段测试）如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【基础题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 【例1】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE=______． 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段测试）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段测试）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（） A．E的对应点C、G和点A在同一直线上； B．∠FDG＝∠FDE＝60°； C．FE＝FG； D．∠DCG＝∠DEB 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 4．（25-26八年级上·天津和平·阶段测试）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【基础题型四 全等的性质和SAS综合(SAS)】 【例1】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段测试）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为：_______． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·全国·周测）如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 4．（25-26八年级上·上海·阶段测试）如图，已知在中，都是中点，，，，，求证：． 【基础题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·阶段测试）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．      1．（25-26八年级上·全国·周测）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 2．（2025八年级上 河北邯郸·单元复习）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 3．（23-24 八年级上 江苏泰州）如图，是长方形的对角线的中点，，，垂足分别为、，若，则将沿方向平移_____可以得到三角形． 4．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，左下图是被扬扬踢球时不小心打坏的一块三角形玻璃的一部分，右下图是扬扬配的玻璃，扬扬仔细地量了量，结果有：，，那么新配的玻璃与原来的一样吗？为什么？ 【基础题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)】 【例1】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段测试）如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在成功的解决了作业本上的较难地第9题后，小桐意犹未尽，让沈老师再考考她，于是沈老师又给她出了两道题，那请你来一起解决吧． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，在图中，若是上一点，交延长线于；若，且，则______；（用含的式子表示） 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【基础题型七 用SSS证明三角形全等(SSS)】 【例1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段测试）如图是小明制作的风筝骨架示意图，他先量得，然后确定木棒的中点，再将木棒固定在点A和中点处，就可确保木棒和垂直，小明运用的数学知识不可能是（    ） A．等腰三角形三线合一 B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是______． 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 2．（25-26八年级上·湖北随州·阶段测试）如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 3．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是___________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有___________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有___________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段测试）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【基础题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个实数相等，那么它们的平方相等；③如果两个角是直角，那么它们相等；④全等三角形的三组对应边相等．逆命题不成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【例2】（23-24八年级上·山东泰安·阶段测试）小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 2．（25-26八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 4．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【基础题型九 全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（2026八年级上 广西南宁·单元复习）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则____________． 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上 上海·周测）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，B，C分别是线段，的中点，，．与平行吗？请说明理由． 【基础题型十 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉（     ）条木条? A．6 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段测试）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【基础题型十一 四边形的不稳定性】 【例1】（25-26八年级上·浙江舟山·阶段测试）如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）下列图形中具有稳定性的有____．（填序号） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 3．（25-26八年级上·全国·阶段测试） 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）准备几根硬纸条． (1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？ (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？ (3)上面的现象说明了什么？ 【基础题型十二 用HL证明全等(HL)全等的性质和SSS综合(SSS)】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北保定·阶段测试）如图，已知，，嘉嘉、淇淇两位同学作的过程如下，下列说法错误的是（　　） A．嘉嘉第二步作图时，是以点为圆心，线段的长为半径画弧 B．淇淇第二步作图时，是以点B为圆心，线段的长为半径画弧 C．嘉嘉、淇淇的作图均正确 D．淇淇所作的与全等的依据是 3．（25-26八年级上·全国·周测）木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【基础题型十三 全等的性质和HL综合(HL)】 【例1】（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 1．（25-26八年级上·河南漯河·阶段测试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西长治·阶段测试）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段测试）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【基础题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形)】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，在的方格纸中_____． 4．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【基础题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合】 【例1】（26-27八年级上 ·全国·周测）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段测试）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段测试）如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【基础题型十六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段测试）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【例2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD． （1）能直观看出△ABC与△ABD的形状与大小均不相同，说明这两个三角形不 ___； （2）这个实验说明 ___． 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的三边及三个内角的度数如图所示，现要作一个与全等的三角形，下面是四位同学作出的图形． 其中符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图1，点D在上，点E在上，，请补充一个条件，使．针对这个问题，淇淇和嘉嘉交流了各自的想法，如图2所示，根据两人的对话内容，可以判断（   ）    A．淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误 B．淇淇的想法错误，嘉嘉的想法正确 C．淇淇和嘉嘉的想法都正确 D．淇淇和嘉嘉的想法都错误 3．（25-26八年级上·浙江金华·阶段测试）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【基础题型十七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)】 【例1】（24-25八年级上·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．（23-24八年级上·重庆·阶段测试）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    4．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【基础题型十八 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 1．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）在中，，，则的中线的长度可取值为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两个周长相等的等腰三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【基础题型十九 垂线模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，则的长为______． 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段测试）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【基础题型二十 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【例2】（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·阶段测试）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【提高题型一 证明三角形全等】 【例1】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是_____． 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④平分． A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 4．（25-26八年级上·陕西延安·阶段测试）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【提高题型二 全等三角形判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（   ）    A．10 B．12 C． D．9 【例2】（25-26八年级上·全国·周测）如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 1．（2026八年级上 山西晋城·单元复习）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 2．（2024八年级上 河北·单元复习）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______． 4．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段测试）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 3．（25-26八年级上·重庆·阶段测试）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（     ） A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 5．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 5．（25-26八年级上·重庆奉节·阶段测试）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026八年级上 陕西咸阳·单元复习）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，不可以证明“”的是（   ） A．过点作交于点 B．在上取一点，使，连接 C．在上取一点，使，连接 D．在上取一点，使 11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段测试）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 12．（2023八年级上·山西大同）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 16．（24-25八年级上·山东威海·阶段测试）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段测试）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 18．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图①，，，点在上，且． (1)求证：． (2)如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 19．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段测试）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 20．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段测试）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $