精品解析：四川南充高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

南充高中高2026级高一上学期第一次月考数学试卷 命审题人：高2026级中心命题组 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 7. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 64 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，为实数且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，，则（ ） A. B. 中的元素个数为2 C. D. 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为7 C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题满分5分，共15分．） 12. 设，集合，若，则__________. 13. 已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是___________. 14. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 四、解答与证明题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. （1）若满足，求的最小值？ （2）已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 18. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 19. 在六边形ABCDEF中，．设．记六边形ABCDEF的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数. （1）求证：； （2）若，求的最小值； （3）求证：对任意正整数，存在六边形ABCDEF，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2026级高一上学期第一次月考数学试卷 命审题人：高2026级中心命题组 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义即可得到结果. 【详解】由，可得. 2. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合，故的真子集个数为. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定，把存在量词改为全称量词，只否定后面的不等式结论， 所以命题“，”的否定是：. 4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得，所以或，解得或， 所以实数的值为或. 5. 已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合反例可判断选项 【详解】由不等式的性质若且，则必有，反之不一定成立，如 故“”是“且”的必要不充分条件 故选：B 6. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】设相关未知数，根据题意可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，均为正数， 则，即， 可得， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立， 即，所以顾客购得的黄金大于. 故选：B. 7. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 8. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可. 【详解】若时，， 则，则， 这与题意矛盾，故不满足题意； 故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个， 即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由，得，又， 所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，为实数且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，取，，但，故B错误； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，则，即，故D正确. 10. 已知集合，，，则（ ） A. B. 中的元素个数为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合与集合间的关系，以及集合的基本运算，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由集合，且，， 对于A，因为，即，所以A正确； 对于B，由，所以中的元素个数为1，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为7 C. 的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对已知等式进行因式分解变形，得到，再结合为正实数的条件，利用基本不等式或代入消元的方式，逐一验证四个选项的结论是否成立. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B正确； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题满分5分，共15分．） 12. 设，集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 13. 已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由 “”是“”的必要条件，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为“”是“”的必要条件，可得， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了必要条件的应用，以及利用集合的包含关系求参数，其中解答中把题设条件转化为两集合的包含关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 四、解答与证明题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在性命题为真命题，结合二次不等式有解的条件可得； （2）根据若为真命题，为假命题，结合二次不等式成立的条件可得. 【小问1详解】 若为真命题，则，解得. 为真命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，即. 所以当为假命题时，. 当为真命题，为假命题时，， 解得. 所以实数的取值范围为. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 17. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. （1）若满足，求的最小值？ （2）已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】（1）9. （2）当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 【解析】 【分析】（1）将条件变形为，再对使用“乘1法”并结合基本不等式求解； （2）由题意得到总造价，利用题设条件和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因且，两边同除以，可得， ， ，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为9. 【小问2详解】 由题意，，设总造价为， 则 由解得，即当时，上式等号成立， 所以当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 18. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 【答案】（1） 是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”. （2） （3） 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”. 【解析】 【分析】（1）直接根据“完美集合”的定义进行判断； （2）根据“完美集合”的定义可得，解不等式即可； （3）根据题意得，再利用重要不等式证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得或. 又因为，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 在六边形ABCDEF中，．设．记六边形ABCDEF的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数. （1）求证：； （2）若，求的最小值； （3）求证：对任意正整数，存在六边形ABCDEF，使得． 【答案】（1）证明： 由图可知，外接矩形的长、宽分别为 ，，缺口矩形的长、宽分别为 ，，因此 令 ，，则 又因为 均为正整数，所以 ，从而 因此即 ． （2） （3）证明：存在多边形使得 对于任意正整数 ，取 即可得到满足题设角度条件的六边形，且 下面对任意正整数 构造相应的 ． 当 时，取 此时 ，，所以 ． 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 综上，对任意正整数 ，均存在满足 的六边形 ． 【解析】 【分析】将凹六边形补成矩形，可得周长和面积的代数表达式．（1）比较六边形与外接矩形；（2）在 时利用恒等变形及正整数条件求最小值；（3）按 的奇偶性分别构造正整数边长并验证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 时， 由恒等变形， 若 ，由于 均为正整数，有 ，所以 而 ，故最小值不在 时取得． 当 时，，于是 当 时，上式等于 ． 当 时，； 当 时，． 因此上式在 时取得最小值． 此时 ，故 的最小值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $