第十三章 三角形 单元复习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章《三角形》五星版单元复习讲义 人教版（2025）八年级数学上册 · 第十三章 三角形（约9课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目（确定薄板重心）· 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 13.1 三角形的概念；13.2 与三角形有关的线段（三角形的边、中线、角平分线、高）；13.3 三角形的内角与外角；数学活动；综合与实践“确定匀质薄板的重心位置” 核心素养 几何直观、空间观念、推理能力、应用意识（由直观操作走向简单推理） 本单元不涉及 多边形及其内角和（已并入“四边形”章）；全等三角形、轴对称（分别在第14、15章学习） 课标对接 “图形与几何”领域基础内容；会进行简单的说理；综合与实践按项目式学习设计（见第四部分） 单元知识导航 本单元的知识主线：认识三角形的概念 → 研究边（三边关系）与重要线段（高、中线、角平分线）→ 研究角（内角和、外角性质）→ 三角形的分类与稳定性 → 综合与实践（确定匀质薄板的重心位置）。全单元是初中几何学习的起点，重在“看图—说理—推理”的过渡。 图1　第十三章《三角形》知识网络 三角形可按“角”或“边”两种标准分类，两者互不矛盾： 图2　三角形的分类 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 必须满足“不在同一直线上”且“首尾顺次相接” 三边关系 任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 检验时只用“较短两边之和＞最长边” 重要线段 中线平分对边；角平分线平分内角；高垂直于对边（所在直线） 钝角三角形有两类高在三角形外部 内角和 三角形三个内角的和等于180° 证明方法：过一顶点作对边的平行线，把三个角拼成平角 外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 外角＝与它不相邻的两个内角的和 稳定性 三角形三边确定后，形状唯一确定 四边形不具有稳定性，常加对角线转化为三角形 图3　三角形的基本元素（边、顶点、角） 一、基础巩固（概念过关，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列说法正确的是（　） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三条线段首尾顺次相接组成的图形一定是三角形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 D．由三个角组成的图形叫做三角形 A2（选择·★）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC按角分类属于（　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等边三角形 A3（选择·★）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） A．1，2，3　B．2，2，4　C．3，4，5　D．1，3，5 图4　三角形三边关系（A3） A4（选择·★）斜拉桥、人字架的支撑结构中大量使用三角形，主要利用三角形的（　） A．美观性　B．稳定性　C．内角和等于180°　D．外角大于不相邻内角 A5（填空·★）已知三角形的两边长分别为4和7，则第三边x的取值范围是＿＿。 A6（填空·★）三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的＿＿；三角形的三条高所在的直线＿＿交于一点（填“一定”或“不一定”）。 图5　三角形的高、中线、角平分线（A6） A7（填空·★）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝＿＿°。 图6　三角形内角和等于180°（A7） A8（填空·★）在直角三角形中，一个锐角为36°，则另一个锐角为＿＿°。 A9（填空·★）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠ACD＝＿＿°。 图7　三角形的外角（A9） A10（填空·★）三角形有＿＿条边、＿＿个顶点、＿＿个内角；在△ABC中，∠A的对边是＿＿。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（填空·★★）已知三角形的两边长分别为3和8，第三边长为整数，则满足条件的第三边共有＿＿个，其中最大的一个是＿＿。 B2（多解·★★）等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是＿＿。 B3（选择·★★）下列说法正确的是（　） A．直角三角形只有一条高 B．钝角三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形的高、中线、角平分线都是线段 D．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 图8　钝角三角形的边BC上的高在三角形外部（B3） B4（填空·★★）在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝＿＿°，△ABC是＿＿三角形。 B5（多解·★★）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A＋20°，求∠A、∠B、∠C的度数。 B6（探究·★★）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数。 图9　两内角平分线交于点O（B6） 三、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·工程·★★）斜拉桥的桥塔与钢索、桥面之间构成大量三角形结构，利用了三角形的＿＿。某建筑支撑架由三根钢管首尾相接组成三角形，已知其中两根钢管长6米和9米，则第三根钢管x（米）的长度应满足＿＿＜x＜＿＿。 C2（跨学科·地理·★★）测绘人员在图纸上测得三个村庄A、B、C构成的三角形中，∠A＝65°，∠B＝48°，则∠C＝＿＿°，△ABC按角分类属于＿＿三角形。 C3（应用·测量·★★★）如图，要测量池塘两端A、B的距离，先在平地上取一个能直接到达A和B的点C，量得AC＝52米，BC＝76米。 (1) A、B之间的距离应满足什么范围？ (2) 若A、B之间的距离是整数米，它的最大值是多少米？ C4（探究·重心·★★★）如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G（重心）。 (1) 若BC＝12，则BD＝＿＿； (2) 若△ABC的面积为36，则△ABD的面积为＿＿，并说明理由。 图10　三角形的重心（C4） 综合与实践 · 项目式学习 【项目名称】确定匀质薄板的重心位置 任务1　材料准备：剪一张质地均匀的三角形薄纸板（或硬纸片），在边上任取三个不同的点分别记为P、Q、R。 任务2　悬挂法：先用细线系在P点吊起薄板，待静止后沿细线在薄板上画出竖直线；换Q点、R点重复操作，观察三条竖直线是否交于同一点。 任务3　几何验证：在薄板上画出三条中线，用刻度尺验证三条中线的交点与悬挂法得到的交点基本重合。 任务4　反思迁移：把三角形薄板换成任意四边形薄板，用悬挂法找重心，再思考“三条中线交于一点”的结论在四边形中是否还成立（将四边形的知识留待后续章节研究）。 课标对接：“综合与实践”领域重在经历“确定研究对象—动手操作—数学化—检验”的完整过程，第四学段可采用项目式学习。本项目融合物理（重心与平衡）、工程（薄板吊装找重心），并用数学方法（中线交点）验证操作结论。 评价维度 分值 评价标准 操作规范 20 悬挂法操作正确，竖直线画法清晰 数据与验证 30 能准确找到交点并完成几何验证，误差在合理范围 数学表达 20 能用“中线交于一点”说明重心，语言准确 迁移思考 20 对四边形情形有自己的猜想与验证思路 合作与反思 10 小组分工明确，有过程记录与反思 延伸思考：为什么“吊起来后，竖直线一定经过重心”？这背后是物理中二力平衡的知识；而在数学上，重心还是把三角形分成六个面积相等小三角形的“分点”，可在后续章节继续研究。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 能用文字和符号正确描述三角形的概念，会表示三角形及其边、角 2 会用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求第三边的取值范围 3 会识别并画出三角形的高、中线、角平分线，知道三条线的交点 4 会用内角和定理与“直角三角形两锐角互余”求角度 5 会用外角性质（外角等于不相邻两内角和）求角度，理解三角形的稳定性 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（填空·★）三角形的内角和等于＿＿°；直角三角形的两个锐角＿＿。 M2（选择·★）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） A．2，3，6　B．3，4，8　C．5，6，10　D．5，6，11 M3（填空·★）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝35°，则∠C＝＿＿°。 M4（选择·★）下列图形中，具有稳定性的是（　） A．正方形　B．平行四边形　C．三角形　D．六边形 M5（填空·★★）已知三角形三边长分别为2、x、5，且x为奇数，则x＝＿＿。 M6（填空·★★）在△ABC中，∠ACD是外角，∠ACD＝120°，∠A＝45°，则∠B＝＿＿°。 M7（填空·★★）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是＿＿三角形。 M8（填空·★★）如图，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC按边分类是＿＿三角形，它的周长是＿＿。 图11　等腰三角形（M8） 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．画知识网络：合上书本，独立画出“三角形”单元的知识树（概念、三边关系、重要线段、内角、外角、分类、稳定性），再对照课本补漏。 2．错题归因：把错题分成三类——概念不清、方法不会、粗心大意；每类找出1道典型题重做并口述理由。 3．一题多解：求角度时分别用“内角和”与“外角性质”各做一遍；判断三边关系时用“较短两边之和＞最长边”快速检验。 4．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型，复习时重点突破。 衔接展望：三角形是初中几何的基石——后续“全等三角形”“四边形”“轴对称”都建立在本章概念之上；到九年级学习二次函数时，函数图象与坐标轴围成的“三角形面积”问题，同样要用到本章的线段与面积知识。复习时打好本章基础，几何学习才能走稳。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“四步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析本题考查的知识点（如三边关系、外角性质） 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 把AI的解析当作“小老师”，用课本定义与定理逐条检验 如“高是否垂直对边”，发现疑点请教老师 4 归档 把错题与变式整理进错题本，标注对应知识点 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 三角形定义不完整 只说“由三条线段组成的图形” 必须是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 三边关系检验不完整 只验证1＋2＞3就下结论 三条线段都能组成三角形，需满足任意两边之和大于第三边 等腰三角形不分类讨论 两边长5和9只算一种周长 腰可能是5或9，需分别检验能否构成三角形再求周长 钝角三角形的高 把钝角三角形边上的高画在形内 钝角三角形有两条边上的高在三角形外部（见图8） 外角性质用错 误认为外角等于相邻内角 外角等于与它不相邻的两个内角的和 直角与钝角混淆 认为三角形可以有两个直角 三角形内角和180°，最多只有一个直角或一个钝角 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　C。解析：A、B都漏掉了“不在同一直线上”这一条件，三条线段可能在同一直线上；D“由三个角组成的图形”没有线段，不能构成三角形，不是三角形的定义。 A2　A。解析：∠C＝180°－40°－70°＝70°，三个内角都小于90°，所以△ABC是锐角三角形。 A3　C。解析：验证较短两边之和是否大于最长边：A中1＋2＝3，不能组成三角形；B中2＋2＝4，不能组成；C中3＋4＝7＞5，能组成；D中1＋3＝4＜5，不能组成。 A4　B。解析：三角形具有稳定性，三边确定后形状唯一，故斜拉桥、人字架用三角形结构增加牢固程度。 A5　3＜x＜11。解析：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边：7－4＝3＜x＜7＋4＝11。 A6　重心；一定。解析：三角形的三条中线交于一点，交点叫重心；三条高所在的直线（注意是“直线”）一定交于一点，其中钝角三角形有两条边上的高在三角形外部。 A7　45。解析：∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－75°＝45°。 A8　54。解析：直角三角形两锐角互余，另一个锐角＝90°－36°＝54°。 A9　110。解析：外角∠ACD＝∠A＋∠B＝50°＋60°＝110°（等于与它不相邻的两个内角的和）。 A10　3；3；3；BC。解析：三角形有3条边、3个顶点、3个内角；顶点A的对边是BC。 （二）能力提升 B1　5；10。解析：第三边x满足8－3＝5＜x＜8＋3＝11，x为整数，可取6、7、8、9、10，共5个，最大为10。 B2　19或23。解析：分两种情况：腰长为5，则三边为5、5、9，5＋5＝10＞9，能组成三角形，周长19；腰长为9，则三边为9、9、5，5＋9＝14＞9，能组成三角形，周长23。 B3　C。解析：直角三角形有三条高（两条直角边和斜边上的高），A错；钝角三角形有两条高在三角形外部，B错；三条高所在直线一定交于一点，但交点不一定在三角形内部（钝角三角形在外部），D错；三角形的高、中线、角平分线都是从顶点到对边（所在直线）的线段，C对。 B4　90；直角。解析：∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∠A＝∠B＋∠C，所以2∠A＝180°，∠A＝90°，△ABC是直角三角形。 B5　∠A＝40°，∠B＝80°，∠C＝60°。解析：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°＋20°。由内角和：x＋2x＋x＋20＝180，解得x＝40。所以∠A＝40°，∠B＝80°，∠C＝60°。 B6　130°。解析：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝100°。因为BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC＋∠OCB＝1/2(∠ABC＋∠ACB)＝50°。在△BOC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝130°。 （三）综合应用 C1　稳定性；3；15。解析：三角形具有稳定性；第三根钢管x满足9－6＝3＜x＜9＋6＝15。 C2　67；锐角。解析：∠C＝180°－65°－48°＝67°，三个内角均小于90°，所以是锐角三角形。 C3　(1) 24米＜AB＜128米。(2) 127米。解析：由三边关系，76－52＝24＜AB＜76＋52＝128；AB为整数米时最大取127米。 C4　(1) 6。(2) 18。解析：AD是中线，D是BC中点，BD＝BC÷2＝6；中线把三角形分成面积相等的两部分，△ABD的面积＝△ACD的面积＝36÷2＝18。 （四）月考仿真小测 M1　180；互余。解析：三角形内角和为180°；直角三角形两锐角之和为90°，即两锐角互余。 M2　C。解析：A中2＋3＝5＜6，不能；B中3＋4＝7＜8，不能；C中5＋6＝11＞10，能；D中5＋6＝11，等于11，不能组成三角形。 M3　65。解析：∠C＝180°－80°－35°＝65°。 M4　C。解析：三角形具有稳定性，正方形、平行四边形、六边形都不具有稳定性。 M5　5。解析：由三边关系5－2＝3＜x＜5＋2＝7，x为整数且为奇数，x＝5；检验：2＋5＝7＞5，能组成三角形。 M6　75。解析：外角∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠B＝120°－45°＝75°。 M7　直角。解析：设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，由内角和x＋2x＋3x＝180，得x＝30，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形。 M8　等腰；16。解析：AB＝AC，按边分类是等腰三角形；周长5＋5＋6＝16。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（钢管长度、村庄角等）为教学示例数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $