第十三章 三角形 基础复习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学三角形基础复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，涵盖三角形的概念、与三角形有关的线段、内角与外角三大模块，以定义剖析例题的结构呈现三角形的分类、三边关系、中线角平分线高及内角和外角性质等核心知识点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“判断三边能否构成三角形”“利用中线求面积”等基础题型培养几何直观，“内角和与外角综合应用”等综合题型发展推理意识。每个知识点配套例题与变式练习，基础薄弱学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，为教师实施精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第十三章 三角形（基础复习讲义） 第一部分 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【概念辨析 三角形定义与识别】 【例】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图所示，图中有____________个三角形；其中以AB为边的三角形有____________；含的三角形有____________；在中，的对角是____________，的对边是____________． 【变1】如图所示． （1）图中共有__________个三角形，它们是__________； （2）线段是__________，__________，__________的边； （3）是__________，__________，__________的角． 【变2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【概念辨析 三角形进行分类】 【例】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【变1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变2】试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形 【变3】（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 第2部分 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点二 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2）. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点三 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点四 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 常考题型·精准突破 题型一 判断三边是否能构成三角形 【例】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【变1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（　　） A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12 【变2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【变3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 题型二 三角形的稳定性 【例】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（   ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【变1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 【变2】（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 【变3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【变1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【变2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【变3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 题型四 判断是否三角形的高线 【例】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变1】（24-25八年级上·北京·期中）已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A．B．C． D． 【变2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变3】如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 题型五 根据三角形的中线求解 【例】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【变1】如图，，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【变2】（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【变3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 题型六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 【例】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【变1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【变2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【变3】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)的面积为______， (2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点； (3)在图②中，过点B作的垂线段． 题型七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【变1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【变2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 【变3】在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型八 三角形三边关系的化简与求值 【例】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【变1】若三角形的三边长分别为2，5，，则化简：的结果为_____． 【变2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【变3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 题型九 高线与三角形面积计算以及等面积法 【例】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【变1】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【变2】如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 题型十 利用三角形的内角和求角的度数 【例】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【变1】已知：如图，在中，，，若，则 ． 【变2】在中，为边上的高，，，则是 度． 【变3】将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 题型十一 内角和与角平分线/平行线的综合应用 【例】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变2】已知，，，，若，则____________． 【变式4-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 题型十二 直角三角形的两个锐角互余 【例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【变1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 题型十三 外角的定义与识别 【例】下列关于△ABC的外角的说法正确的是（    ） A．∠AFC是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 【变1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变2】下列说法正确的是（    ） A．三角形的外角和为内角和的2倍 B．三角形的外角和为 C．三角形的外角中只有一个钝角 D．三角形的外角中可以有两个直角 【变3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角； B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角； C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角； D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角； 题型十四 利用外角性质求角度 【例】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【变1】如图，在中，，且外角，则外角的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变2】（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 【变3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为_____． 题型十五 外角性质与平行线/角平分线的综合运用 【例】（2026·安徽宿州·一模）如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变1】（25-26九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【变2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； 题型十六 三角形的内角与外角的综合 【例】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【变1】如图，，，，求的度数．    【变2】如图，已知是的角平分线（），于点，交的延长线于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 【变3】在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．    (1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________； (2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 2．下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 4．如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，若，则是 三角形． 7．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 8．如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 9．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 10．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 三、解答题 11．用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少． (1)用含的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长． 12．如图，是的平分线，过点作的平行线，交于点． (1)求证：； (2)是线段上一点（不与，两点重合），连接．若，，求的度数． 13．如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 14．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． 第 3 页 共 29 页 徐老师 学科网（北京）股份有限公司 $秋 八上第13章 解析 第十三章 三角形（基础复习讲义）解析 【概念辨析 三角形定义与识别】 【例】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图所示，图中有____________个三角形；其中以AB为边的三角形有____________；含的三角形有____________；在中，的对角是____________，的对边是____________． 【答案】 8 OB 【分析】根据三角形的定义和角的定义判断即可； 【详解】由题可得，图中的三角形有△AOD，△AOB，△BOC，△DOC，△BAD，△ABC，△BCD，△ADC，共8个； 以AB为边三角形有； 含的三角形有； 在中，的对角是，的对边是OB； 故答案是：8；；；OB； 【点睛】本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题 【变1】如图所示． （1）图中共有__________个三角形，它们是__________； （2）线段是__________，__________，__________的边； （3）是__________，__________，__________的角． 【答案】 6 【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可； （2）根据三角形的边的定义作答即可； （3）根据三角形的角的定义作答即可． 【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：，共6个， 故答案为：6，； （2）由图可知： 以为边的三角形有、、， 故答案为：，，； （3）由图可知： 是、、的角， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查三角形的概念及相关基础问题，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键． 【变2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 【变3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【概念辨析 三角形进行分类】 【例】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 【变1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【变2】试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形，掌握等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义是解题的关键． 由等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义，即可判断． 【详解】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A不符合题意； B、一个等腰三角形有可能是锐角三角形，故B不符合题意； C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，故C不符合题意； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D符合题意． 故选：D． 【变3】（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 题型一 判断三边是否能构成三角形 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（　　） A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，不能构成三角形，故不符合题意； C、，不能构成三角形，故不符合题意； D、，能构成三角形，故符合题意； 故选D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，能组成三角形，故此选项正确； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 题型二 三角形的稳定性 【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（   ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性定义是解题的关键． 根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项． 故选：C． 【变式2-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 【答案】 5 等腰 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a， 则，即， 若此三角形的周长为偶数，则， 此时三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：，5，等腰． 题型四 判断是否三角形的高线 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级上·北京·期中）已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键． 根据三角形高的定义，过A点作的垂线即可解答． 【详解】解：作边上的高，作图中正确为： 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 【变式4-3】如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，是的高，正确，不符合题意； B、，是的高，正确，不符合题意； C、，不是的高，原说法错误，符合题意； D、，则：，故是的高，正确，不符合题意； 故选C． 题型五 根据三角形的中线求解 【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 【变式5-1】如图，，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积． 根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解：，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 题型六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 【例6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 【变式6-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）过点画的垂线段即可，的高如图所示． （2）取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分． （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：的高如图所示． （2）解：如图线段将分成面积相等的两部分． （3）解：． 故答案为10． 【变式6-3】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)的面积为______， (2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点； (3)在图②中，过点B作的垂线段． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画三角形的高、平行线的性质在生活中的应用、无刻度直尺作图、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了网格中应用与设计作图，平行线、三角形高的作法，三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题． （1）利用割补法计算即可； （2）取格点D，作直线即可； （2）取格点F，连接，由网格线的特点得，同理（2）取格点G，作直线交直线于点E即可； 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，直线为所求： （3）解：如图所示，线段为所求： 题型七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例7】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线定义是解题的关键． （1）根据三角形中线定义求解即可． （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形角平分线定义求得，然后由是高线，则可求得，即可由求解． 【详解】（1）解：因为是的中线，所以． 因为，所以． （2）解：因为， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 因为是的高线， 所以， 所以， 所以． 【变式7-3】在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八 三角形三边关系的化简与求值 【例8】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 【变1】若三角形的三边长分别为2，5，，则化简：的结果为_____． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边关系的应用和绝对值的化简，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 故答案为：4． 【变2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； （2）解：解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 【变3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，并且最长边长是7，结合三角形三边关系可得答案． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴第三边的取值范围为，即， ∵最长边长是7， ∴． 【题型9 高线与三角形面积计算/利用等积法求高或边长】 【例】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 【变1】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 【变式2】如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【分析】根据三角形面积公式：S=ah，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC的面积2×3＝3， △DEF的面积2×3＝3， ∴△ABC的面积＝△DEF的面积． 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式． 【变式3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 题型10 利用三角形的内角和求角的度数 【例8】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】已知：如图，在中，，，若，则 ． 【答案】/26度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-2】在中，为边上的高，，，则是 度． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【变式8-3】将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、对顶角相等 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，对顶角的性质．证明，可得结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11 内角和与角平分线的综合应用】 【例3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变 1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【2】已知，，，，若，则____________． 【答案】88° 【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案是： 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 题型12 直角三角形的两个锐角互余 【例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式8-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 【变2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【题型13 外角的定义与识别】 【例1】下列关于△ABC的外角的说法正确的是（    ） A．∠AFC是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 【答案】D 【解析】略 【变式1-1】在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角；根据三角形内角和知，三角形最多有一个钝角，从而最多有一个锐角，由此可确定答案． 【详解】解：由于三角形中最多只有一个钝角，否则若有两个钝角的话，根据钝角大于直角，则这两个内角的和大于，与三角形内角和为矛盾； 此内角的补角是锐角，正好是三角形的外角，故锐角最多有1个； 故选：C． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．三角形的外角和为内角和的2倍 B．三角形的外角和为 C．三角形的外角中只有一个钝角 D．三角形的外角中可以有两个直角 【答案】A 【分析】依据三角形的内角与外角进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、三角形的外角和为内角和的2倍，故本选项正确； B、三角形的外角和为360°，不是180°，故本选项错误； C、三角形的外角中至少有两个钝角，故本选项错误； D、三角形的外角中不可以有两个直角，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和与外角和．多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． 【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角； B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角； C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角； D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角； 【答案】C 【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，正确； B、∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角，正确； C、∠ABF是△ABF的一个内角，但不是△AEF的一个外角，原说法错误； D、∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三角形的外角是解题的关键． 【题型14 应用外角性质求角度】 【例2】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在中，，且外角，则外角的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 【答案】19 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：为的一个外角， ∴， ∵的度数分别为， ∴； 故答案为：19 【变式2-3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为_____． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型15 外角性质与平行线/角平分线的综合运用】 【例】（2026·安徽宿州·一模）如图，是内部的一条射线，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得到，结合三角形外角的性质，可推得，即可根据，得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ． 【变1】（25-26九年级下·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长分别交于点H，Q，过点G作，则，由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分，得，再根据平行线的性质结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：延长分别交于点H，Q，过点G作，则， 由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与的度数都是． 【变2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为是解题关键． （1）连接并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）连接并延长交点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可． 【详解】（1）连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，， ∴，， 故答案为：140,50． （2）解：连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，, ∴， ∴， ∴， 故平分． 题型16 三角形的内角与外角的综合 【例】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【答案】①三角形的内角和定理；②；③；④；⑤；⑥三角形外角的性质；； 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，（三角形的内角和定理） 又， 度 平分， 度． （三角形外角的性质）， 度． 【变1】如图，，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据，则，再根据三角形的外角，则，即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的外角． 【变2】【变式9-2】如图，已知是的角平分线（），于点，交的延长线于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理，垂直定义，以及角平分线性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“8”字型，即可证明； （2）利用三角形内角和定理，以及三角形外角性质得到，再结合角平分线性质，三角形外角性质，对顶角性质进行等量代换，即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 于点， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）证明： 于点， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，垂直定义，以及角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 【变3】在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．    (1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________； (2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）． 【答案】(1)，， (2)有， 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再分别代入数据进行计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到． 【详解】（1）解：（1）由三角形的外角性质得，，， 的平分线与的外角的平分线交于点， ，， ， ， 若时，； 若时，， 若时，； 故答案为：，，； （2）解：由三角形的外角性质得，，， 的平分线与的外角的平分线交于点， ，， ， ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 2．下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 【答案】D 【详解】本题考查三角形的基本性质，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】三角形三边确定后形状唯一，具有稳定性，故A正确． 钝角三角形的高线可能位于外部，直角三角形的高线在边上，因此高线不一定在内部，故B正确． 三角形每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°，故C正确． 三角形的一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和，而非任意两个内角之和，若未强调“不相邻”，故D错误． 故选D． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 4．如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C 5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意求出，继而得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 6．在中，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和，根据题意已知三个角有一定关系，再根据三角形内角和的关系，即其中一个角为，进而可判断出为直角三角形． 【详解】解：∵， 又， ∴， 即， ∴为直角三角形； 故答案为：直角． 7．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据题意得：，即，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，即， 所以a的整数值可能是3，4，5， 故答案为：3（答案不唯一） 8．如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 9．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴，， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 10．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确理解题意是解题的关键．由题意得，设最小的内角为，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设最小的内角为， 当时，； 当时，，不合题意； 当时，，另一个内角为，符合题意； ∴中最小内角的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少． (1)用含的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断； （1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形； 【详解】（1）解：第二条边长为， 第三条边长为； （2）解：当时，，故三角形的三条边长为，，， 由，得，，不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为， 由，得不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为，由，得可组成等腰三角形， 等腰三角形的三边长为． 12．如图，是的平分线，过点作的平行线，交于点． (1)求证：； (2)是线段上一点（不与，两点重合），连接．若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及平行线的性质： （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可求证； （2）根据三角形外角的性质解答即可。 【详解】（1）证明：是的平分线， ． ， ． ． （2）解：， ． 是的外角， ． ， ． ． 13．如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明出，即可得到； （2）由求出，由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 14．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：因为为“准互余三角形”，和是“准互余角”，， 所以， 所以， 又因为， 所以； （3）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是“准互余三角形”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $