江西省重点中学盟校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

参考答案 江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A A B C D D BCD AB ACD 12． 13． 14．，18 15．解：（1）因为，，所以：， 即． （5分） （2）由（1）知：，则边的高线方程为． （7分） 又因为边的高线方程为，所以垂心． （9分） 设对称点为，则，解得． 所以垂心关于直线的对称点坐标为． （13分） 评分说明：其他求对称点的方法，答案正确给满分；答案错误酌情给步骤分． 16．解：（1）因为，则，得； （3分） （2）方法1：因为，则． （5分） 因为与间的距离为， 所以圆的直径为． （9分） 依题可知圆心在直线：上， （11分） 与坐标轴的交点为，，即为圆心． （13分） 所以圆的标准方程为或． （15分） 方法2：设，则，得， （8分） 所以圆：； （10分） 设，则，得， （13分） 所以圆：． （15分） 综上圆的标准方程为或． （15分） 评分说明：第一问3分；第二问求对一个圆的标准方程给5分，结果是圆的一般方程扣5分． 17．解：（1）因为，平方得， （1分） 则．所以， ． （2分） 联立，解得，． （4分） 所以的面积． （5分） （2）在中，由余弦定理得： ． （8分） 由正弦定理得：，则． （10分） 因为，故． （12分） 在中，由余弦定理得： ， 所以． （15分） 18．解（1）设动点，，， 则，． （2分） 所以，即的方程为． （4分） （ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离 ，所以， （6分） 化简得：，解得或． （8分） （ⅱ）设直线：，其中，且，． 联立方程，消去得： （10分） 则， （11分） ， （12分） ， （13分） 所以为定值． （17分） 评分说明：第二问（ⅰ）漏掉一个结果扣1分；第二问（ⅱ）其他解法只要结果正确给满分，但需要详细步骤．直接套用二级结论结果错误得0分，结果正确无过程只给1分． 19．（1）证明：如图1，设为与的交点，连接．过作，交于点．因为为的中点，且，所以，故． （2分） 又为的中点，所以为的中位线，故． （3分） 因为平面，平面，所以平面． （4分） （2）解：如图2，记为在底面上的射影，连接，则点在线段上，且平面底面，平面底面． 记在底面上的射影为，则在线段上．因为为的中点，故为的中点．过作，垂足为点，连接．因为底面，底面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，故， 所以为二面角的平面角． （7分） 过点作，交的延长线于点，由几何关系知． 因为底面边长为7的等边三角形，所以，则． 又点到底面的距离为，所以，且 ． 因为平面底面，所以二面角的平面角与二面角互余，所以二面角的正弦值为． （9分） （ⅱ）如图3，设球心为，球的半径为，由几何关系可知在底面上的射影恰为的中点，记为点，且记，则，其中． 过点作，垂足为点，由几何关系可知． 设，则由几何关系有，故，即． 所以当时，取得最小值，也取得最小值，此时，故，所以该球表面积的最小值为． （17分） 评分说明：第二问向量法建系解答过程答案正确给满分，若答案错误酌情给分，但不应超过7分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题学校：赣州三中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的虚部为 A． B． C． D． 2．点到直线：的距离为 A． B． C． D． 3．已知直线：的倾斜角为，则 A． B． C． D． 4．已知方程表示圆，则的面积为 A． B． C． D． 5．已知单位向量，满足，若向量，则 A． B． C． D． 6．过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为 A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，，，则 A． B． C． D． 8．已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对任意一点都有 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则 A．在轴的截距为 B．过定点 C．若，则 D．若，及轴围成的三角形面积为，则或 10．已知函数，下列关于结论正确的是 A．最小正周期为 B．值域为 C．对称轴为 D．对称中心为 11．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是 A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线和直线的交点坐标为，则__________． 13．设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则__________． 14．一个底面半径为，高为的圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有三个半径为的铁球．现往该容器放入个半径为（单位：）的小铝球，使得每个小铝球与容器内壁及其中两个铁球都相切，则__________，的最大可能值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． （1）求直线方程； （2）求垂心关于直线的对称点坐标． 16．（15分） 已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 17．（15分） 在中，已知，且． （1）求的面积； （2）过点作，使，且为锐角，求． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 19．（17分） 如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，为上的一点，且． （1）证明：平面； （2）设底面是边长为7的等边三角形，点到底面的距离为，且点在底面上的射影恰好在线段上． （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，求该球表面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $