江西南昌市新建区第二中学2026-2027学年高二培优部上学期10月月考数学试卷

新建二中培优部2028届高二数学10月份月考 命题人：王小华审题人：张小松 考试范围：选择性必修一前三章 时量：120分钟 总分：150分 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共4页. 2.答题前，考生务必将自己的学校级、姓铭、学号填写在答题卡上，第I卷海小题选出答案后，将正 确的答案填写在答题卡上相应的选择题方框内，第舡卷用0.5毫米中性黑色签字笔在答题卡规定区 域内上作答，考试结束时，只需将答题卡交到监考老师，在试题卷上作答无效。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.己知向量à=（2，-1,3)，b=（-4,m,n),若a/b,则m+n的值为() A.-4 B.4 C.-2 D.2 2.直线y=3x绕原点逆时针旋转严后所得直线与圆(x+1+0-7)}=8的位置关系是() A.相交且相交弦长为√3 B.相交且相交弦长为2√3C.相切D.相离 3.已知点P是椭圆+y少=1上的动点，点QL,0),则P四的最小值为() A.6 B. 3 C. 2 D.1 3 3 3 4.已知，B是新圆C号+若=1o>b>0的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过4但斜率为店 6 的直线上，△PFF为等腰三角形，∠FFP=120°，则C的离心率为() A.3 B. C.3 1 D.4 5.如图，平行六面体各棱长为1，且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，动点P在该几何体内部，且满 D 足AP=xAC+yAB+(1-x-y)AD(x,yeR),则AP的最小值为() A A.3v6 B.2V6 c.6 D D. 3 4 3 2 2 6.已知M是一个动点，过点M分别作直线y=V3x,y=-V3x的垂线，垂足分别为A,B.若△MAB 的面积为3 ,则动点M的轨迹方程为（) 8 A.x22 =1 B.x2y -=1 3 26 试卷第1页 c.上=1或 -=1 D.上=1或 =1 26 62 26 62 .知O为坐标原点，直线与椭圆E名+片(a>b>0)交于A,B两点，0上B,垂足为H, 老0M10B,0m=2,别宁+房的值为(） A.② B.√2 D.2 2 C. &.椭圆C:之+片1(a>么≥0与双曲线℃怎4>0，b>0)具有相同的焦点，在第一象 限的交点为点P,过点P作∠FPF的内角分线和外角分线分别交x轴于M,N两点，过F作∠PFF 的内角分线交PM,PN于，两点，如图所示，设P以=元，P以 M元，，N =, 若∠EP℉，=60°，则1+√3u的最大值是() A.2 B.22 C.25 D.4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分 9.已知双曲线C:t。-,广=1，下列说法正确的是（) m+210-m A.m的取值范围为(-2,10) B.双曲线C的焦点可能在y轴上 C.双曲线C的焦距为2√3 D.双曲线C的两条渐近线可能垂直 10.己知圆O:x2+y2=9,直线1：y=x+2√2与圆O交于M,N两点，则下列正确的是() A.MW的最大值为2 B.当圆O上恰有3个点到直线的距离为2时，k=±√7 C.△0MW面积的最大值为2 D.A(0,3),B(0,-3),四边形AMBN面积的最大值为6 (共2页) ,如图，椭圆℃ +宁=1a>b>0)和椭圆G号后=1作各家服的交点分别为么BCD,定义 四段弧AB,BC,CD,DA围成的图形为椭方，若C的离心率为3 4C=2V2,下列说法正确的有() A.“椭方”的周长1<2√2π B.“椭方”的面积S>2√5 B C.“椭方上的点到椭圆C,右顶点E距离最大值为√5 D.直线y=3x+m截“椭方所得线段长度最大值为107☑ 37 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应的位置上， 12.若双曲线等茶-1(a>0b>0)的离心率为万，则其近线方为 13.设P为直线1：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆x2+y2=3的两条切线PA,PB,切点分 别为A,B,则直线AB恒过定点 14.已知椭圆石+片=0<6<4到的左右焦点分别为斤，乃，过万的直线与椭圆交于4，B两 点.△EFG为△ABF的中位三角形，其中E,F,G分别为三边AB,BE,AF,的中点.以△EFG为 底面，将△AEG,△BEF,△FFG分别沿GE,EF,FG向上折起，使得A,B,F三点重合，记 为点P,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。 15、(本小题满分13分)已知圆M过点A25,B0,-V3,C(3,0) 求圆M的方程：②)过G0,3)的直线1与圆M交于P,2,LPM9=红，求直线的配 16(本小题满分15分》）已知双简线：子若=1(a>0,>0)的东、右焦点分别为，， E的一条渐近线方程为y=V3x,过点F且与x轴垂直的直线与E交于A,B两点，△ABF,周长为I6. (1)求E的方程： (2)过点F的直线I与E交于C,D两点，若CF,=5F,D,求直线l的斜率 试卷第2页 17、（本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，平面AACC⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=2, ∠AAC=120,AC=A4=2V3,P为线段A41上一点. (1)求证：AC⊥BC: B (2)是否存在点P,使得平面BPC,与平面ABC的夹角余弦值为 ?若存在，求出么的值：若不存在，请说男理由. AP 7 B 18、（本小题满分17分) 知猫圆C:+a>b>0的离心率为号且过点A2点M,N在C上，且AM上AW, AD⊥MN,D为垂足 (1)求C的方程： (2)证明：直线MW过定点： (3)是否存在定点Q,使得DQ为定值.若存在，求出Q点坐标以及D9的值：若不存在，请说明理由， 19、（本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段PQ的两个端点P,Q分 别在x轴，y轴上滑动，PQ=3,点T是线段PQ上一点，且PT=1,点T随线段PQ的滑动而运动： (1)求动点T的轨迹C的方程； (2)若点T在第四象限，点A(2,0),B2(0,),直线B2T交x轴于点R,若△OB2R与△A,TR的面积相等， 求点T的坐标： (3)过点F(3,0)的直线I交轨迹C于A,B两点，过点F与I垂直的直线交轨迹C于D,E两点，其 中B,D在x轴上方，M,N分别为线段AB,DE的中点，设G为直线AE与直线BD的交点(D点 在线段BG上)，求△GMN面积的最小值 (共2页) 答案第1页（共1页）培优部2028届高二数学10月份月考 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D B D C B AD BC 题号 11 答案 ABD 5.B【详解】因为AP=xAC+yAB,+(I-x-y)AD(x,yeR), 则AP-AD=xAC-AD)+y(AB-AD),即D,P=xD,C+yD,B, 由平面向量共面定理可知：点P在平面BD,C内， 则AP的最小值即为点A到平面B,D,C的距离，连接AB,AD,AC,B,D,B,C,DC, 因为平行六面体各棱长为1，且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°， 所以BD=BC=D,C=1,AB=AD,=AC=V3,所以三棱锥A-BD,C为正三棱锥， 如图所示，设CD中点为E,过点A作AH⊥平面BDC,则点H为△BDC的中心，即H在BE上， 则a-5cm-号，则a-子s-9m-ma7-于-2S:a 2 6.D【详解】不妨设l:y=V3x,h:y=-V3x, 设动点M(x,y),直线y=√5x与y=-V3x的一般式为V3x-y=0、3x+y=0, 白点到直线的鹿离公式，得M4-c-小，M网=5小直线y=5x与y=3x伯夹角为牙 2n 由MM1,MBL马，得∠AMB与两直线夹角互补，放sin∠AMB=sn=5 32 面成w4wsm489,ga-c53点， 22228 化简得532-少_33，即3r-y=6 16 8 答案第1页 当3-y=6时，整理为号上=1：当3x2-y=-6时，整理为上- =1. 26 62 因此动点M的轨迹方程为。上=1或上。=1。 26 62 7.C【详解】方法一：当H点在x轴正半轴上时，由OH⊥AB,OA⊥OB,结合椭圆的对称性可知△OAB 为等樱直角=角器，测点4(2，问).且点A在彩风上，所以子+层1，所似宁+安-分 方法二：i)当k存在时，设直线AB为y=c+m,A(x,),B(x2,y2), y=kx+m 联立直线与椭圆 话+若-18到6 e wsin-d-0. 则△=(2a2km)-4b2+a2k2)(a2m2-a2b2）=4a2b2(a2k2+b2-m2）>0, 2a'km _a2m2-a2b2 根据韦达定理可得：x+巧=户+R,=+积 由OA⊥OB，即OA.OB=0,即xx2+y2=0,y=+m，,y2=kx2+m, +=(++km(x+x)+m_(+k)dm-db)_2d'km (6+dk)m b2+a2k2 b2+a2k2 b2+a2k2 _a+)m-(（+)a,oi=m=2,即m=2k+, b2+a2k2 √2+1 名+= a+b)m2-+k)8_（L+k3）2a+2-a）-0 b2+a2k2 b2+a2k2 0++2-)-0,梦式两边时隆以0+，得号+后-1=0，+分号 i)当k不存在时，如方法一；故选：C 8.B【详解】设PF=m,PF引=n,FE引=2c,由题意可得： (m+n=2a,解得 m=a+az m-n=2a, n=a-az 在△FPF中，由余弦定理可得EF'=PF+PF'-2 PF PF cos∠EPE, 即4c2=(a+4)+(a-a2)2-(a+a)(a-a), (共6页) 13 整理可得4c2=d+3a,即4二+2，可得+ =4,由题意可知：I1为△FPF的内心， PF 则 P叫=元，可得元= |PEl+PF_PE+PE_2a=⊥ FMIM FM+FM FE引 2c e 因为点I2在∠PFF的内角分线上，则点I2到直线P,FF的距离相等， 且点I2在∠FPF,的外角分线上，则点I,到直线PF,PF的距离相等， 可知点I2到直线PF,FF的距离相等，则F,I,为∠PF,W的角平分线， ..可=M-w阳 PF PI2PFPI2 则 IPE-P5L_PE-PE_24=⊥ FMIN 2c e ±3=4可得2+3=4，则≤22+32=4即+V3≤ 由2+ 且元，4>0，可得1+V3μ≤2W2,当且仅当1=V3μ=V2时，等号成立，所以1+3μ的最大值是2√2 9.AD【详解】由题意，(m+2)10-m)>0,解得-2<m<10,故A选项正确错误 .-2<m<10,∴.m+2>0且10-m>0,所以双曲线的焦点不可能在y轴上，只能在x轴上，B选项 错误双曲线C:亡。广=1，其中4=m+2,6=10-m,c2=d+6=m+2+10-m=12,c=2V5, m+210-m 焦距2c=4W5,C选项错误双曲线C的渐近线方程为y=±x=士0-m, b a √m+2 (0-m(10-m)=-1,解得m=4,当m=4时，双曲线的两条渐近线垂直，D选项正确 √m+2Vm+2 10.BC【详解】~圆心0到直线1的距离d=22 .当k=0时，dmx=2V2,MN=2Vr2-d, Vk2+1 r=3,MN1mm=2√32-(2V2)2=2,故A错： 设这三个点到直线距离为，恰有三个点，则圆心到直线距离d=r-d=3-2=1,d=25=1, Vk2+1 答案第2页 解得k=士万，放B正瑞：8产n0-m0,又n01一号放c正确： 9 设M(,),,.S=24B+)=2AB--x=3-x,∴S=3-xl x-=V(x+x)-4xx2= 32k2 4 =2 9k2+1 ++V2+· 令1=≥.--2-8-29-28+e -815-4有大做为2.8-张2 116 4 2,故D错故选BC 11.ABD【分析】根据椭圆的离心率公式与AC长度可求得两个椭圆的方程，求出以OA为半径的 圆的面积结合图形可判断A选项；过椭圆C的上顶点作y轴的垂线分别交直线AD,BC于点L,M, 过椭圆C,的下顶点作y轴的垂线分别交直线AD,BC于点P,N,连接AB,LM,CD,NP,则可判断AB 与AB之间，CD与CD之间，BC与BC之间，AD与AD之间的面积均相等，且图中AB与AB之间 的面积大于图中AB与LM之间的面积；求出矩形LMWP的面积后即可判断B选项；设“椭方”上的点 的坐标的三角形式，利用两点间的距离公式，三角函数公式，并结合二次函数的性质与横坐标的取值 范围即可判断C选项；联立直线与“椭方”在椭圆C部分的方程，根据根与系数的关系，判别式公式， 弦长公式可得直线截椭方”所得线段的长度，结合二次函数的性质即可判断D选项. G石+若-G+若-C:+4=4,G+=4 设A(x,)(x,>0,>0)是椭圆C和C,在第一象限的交点，则 4+买4纷，所以(6+4)-(+)-0，即3听-3戏=0，解得无=人 x号+4y6=462 所以4C=20A=2√x+6=22x。=2W2,解得x==1, (共6页) 所以46=+4xP=5,解得公-}，所以-4-5，所以G: 4y2 5 51 C:上+4灯-1：对于A,如图，作以O4为半径的圆， 5 因为以O4为半径的圆的周长为2元×√2=2√2π，所以“椭方的周长 1<2√2元，所以A正确：对于B,如图，过椭圆C的上顶点作y轴的垂线分别交直线AD,BC于点L,M, 过椭圆C的下顶点作y轴的垂线分别交直线AD,BC于点P,N,连接AB,LM,CD,NP, 则AB与AB之间，CD与CD之间，BC与BC之间，AD与AD之间的面积均相等， 且图中AB与AB之间的面积大于图中AB与LM之间的面积； 又矩形LMWP的面积为MNML=MWAB=V5×2=25, 所以“椭方”的面积S>25,所以B正确：对于C,椭圆C2右顶点为E 2 当“椭方”上的点为椭圆C的部分时，设“椭方”上的点为 O 15 5 cos2 a-5cosa+ 或C处：因为5-5=5-}-451_而雨，0，所以停5>5：所以c维： A 44 当情才上的点为横国G的高分时，设精方L的点为停oR、5血儿aB-25支 cos B 2v5 则 5 答案第3页 RE= 5 15 2 5-2 5 5 25 4 4 所以当cosB=- 同上4 +5>5;所以C错误：对于D,依题意，直线4C的斜率为kc=1<3,所以直线 y=3x+m截椭方”所得线段长度 最大值为直线y=3x+m截“椭方'在椭圆C的部分时所得线段长度的最大值： 6 设直线y=3x+m与椭圆C的交点为U(x,y),V(2,y2), [x2+4y2=5 由y=3x+m,得x2+4(3x+m)2=5,即37x2+24mrx+4m2-5=0, -1≤x≤1 所以x+x2= -24m 37,xx2=4m-5,△=(24m}-4x37×4m2-5)=-42m2+20×37>0,解1 V185 <m<5,所以叫=+35-=0x4m+20x37s10x2037_1074 2 2 37 37 37 5 当m=0时，取等号：此时△=20×37>0,37×-5=0，解得x=±71川小，符合题意： 即直线y=3x+m椭方所得线段长度最大值为07，所以D正确检选：ABD 32π 12.y=±x 13. 3 【详解】由椭圆定义得PE+PF+PG-4B+5+A)-x4xi6=8, 由三角形中位线的性质可得PE=FG,PF=EG,PG=EF, 如图所示，把三棱锥P-EFG放到长宽高分别为x,y,2的长方体中， 则该长方体的体对角线就是三棱锥P-EFG外接球的直径2R, 设PE=e,PF=f,PG=g,则e+f+g=8, (共6页) e2=x2+y2 因为f=+2,三式相加得2+y+2=)(e2+f产+g）: g2=y2+z2 因为(e+f+g)2=e2+f+g2+2ef+2eg+2≤3(e2+f2+g2), 当e=/=8时取等号，所以(2R=r++z2(e+P+g)》上e+f+g_2. 3 所以三棱锥P-EFG外接球的表面积S=4πR2≥32n 3 15.(1)M:(x-1)2+y2=4(2)x=0和4x+3y-9=0 【详解】(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0), 2D+V3E+F+7=0 「D=-2 依题意，可得-V3E+F+3=0，解得E=0, 3D+F+9=0 F=-3 则圆M的方程为x2+y2-2x-3=0,即M:(x-1)2+y2=4. (2)当直线I的斜率不存在时，即1：x=0,将其代入圆的方程，计算可得y=±V√3， 不妨取P(0,V3),Q(0,-V3),则MPHMO2,PF23, 由余弦定理，mPQ-号号因0<∠M0,则∠PNQ=径符合概点： 当直线I的斜率存在时，设：y=x+3. 由图知，当∠PM0=时，由余孩元是，0=242-2x2x2m号12，即P025, 则点M到直线I:c-y+3=0的距离为d=k+3!= -学9解得=手 此时，直线1的方程为y=-号x+3,即4红+3y-9=0 4 综上可知，直线1的方程为x=0和4x+3y-9=0. 16.①2-二=10222 3 【详解】(1)一条渐近线方程为y=V3x,故2-5， a尔=1中，令=-℃得少=c2 x2 y2 1=-故=名所以h=- a 由双曲线定义可得4=4+2a-公+2a,同理B那-公+2a, a a +20=16，结合名-5，可得a=lb=5,所以的方程为r-号=1： (b2 3 (2)由(1)知，F(2,0),当直线I的斜率不存在或斜率为0时，C℉2=5ED不成立， 故直线I的斜率存在，且不为0，设l方程为x=my+2,m≠0， 联立x=哪+2与2-苔=1有6m-刂y+12网+9=0.A=36㎡+36>0，且3m-1*0,故m2写 9 股C5,HD5y则y+y3%mC=5,D,放2-52h 12m 所以片=-5y2,所以-5y2+y2= 3m2-7-5乃= 9 3m2-1' 由奶+⅓=2得%”将代入-5防”月 (3-3-解得m-日满足要求，故m=±店，2反，直线的斜率为2 5.9m2 9 4’m 17.(1)连接AC,因为在三棱柱ABC-ABC中，所以四边形AACC为平行四边形， 因为AC=A4=2V3,所以四边形A4CC为菱形，所以AC⊥AC, 又平面AACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC,AB⊥AC,ABc平面ABC, 所以AB⊥平面AACC,因为A,Cc平面AACC,所以AB⊥AC, 因为AB,ACC平面ABC,AB∩AC=A,所以A,C⊥平面ABC, 因为BCc平面ABC,所以AC⊥BC; 答案第4页（共6页) ②存在，46或如图，以4C的中点0为坐标原点，过0作射线Ox1MB,4B14C,则可以 AP 5 Ox,OC,OC,所在直线分别为x,,z轴，建立空间直角坐标系， B 因为AB=2,∠AAC=120°，AC=AA=2V3, 则C(0,0,3),A0,-3,0,C0,5,0,B2,-V3,0, A4=CC=(0,-V5,3,AB=(2,0,0),设AP=1AA=0,-V3孔，3(0≤≤1)， 则BP=AP-AB=(-2,-V3元，3，记平面BPC的法向量m=(x,y,z),BC=（-2,V3,3) 8a8-a-小 %·BP=0 则 1+元 易得平面ABC的法向量n2=(0,0,1),由题意：cosn,n2= V1322-4+47, 解得：天。成宁·经验，=亮或号均符合影意，所以 AP 5 46或 a 2 a+=1,解得：d2=6,62=c2=3, 41 18.【详解】(1)由题意可得： a2=b2+c2 故椭圆方程为：士+上1， 63 (2)设点M(x,),N(x2,y2),若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=+m, 代入椭圆方程消去y并整理得：(1+2k2)x2+4x+2m2-6=0, 4km 2m2-6 可得x+x=1+2,x=1+2k2’ 因为AM⊥AW,所以AMAN=0,即(x-2)(x2-2)+(y-1)(y2-1)=0, 根据乃=c+m,y2=c2+m,代入整理可得： 答案第5 (k2+1)xx2+(m-k-2)(x+x2)+(m-1)2+4=0, 所以+-24深ra-旷+4=0， 整理化简得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0,因为A(2,)不在直线MN上，所以2k+m-1≠0， 放2张+3m+1=0k1,于是Mw的方程为y=(-引k), 所以直线过定点直线过定点P作》当直线MN阳斜本不存有时，可得N(K,). 由AMAN=0得：(x-2)(x-2)+(y-1)(-y-1)=0, 得(-2+1-=0，结合答+菩=1可得：3x2-8+4=0,解得：丐子或3=2（合） 3 此时直线Aw过点P行》综家上，直线aW过定点P行》 3)令Q为r点，管》 若D与P不重合，则由设A足a4DP的斜边，故Dg--2兰 若D与P重合，则Dg=4,故作在点e行) 使得DQ为定值， 【详解】(1)设P(a,0),2(0,b),因为Pg=3,所以a2+b2=9, 设Ts,),由lPT=l,且PT=P0,可得PT=(x-a,),P0=(←a,b), x-a= 3 3 则 可得a=名x,b=3y,代入得+y=1, y=tb 3 所以动点T的轨迹C的方程为 +y2=1. 4 (2)设T(),则x>0,%<0, 因为△OB2R与△A,TR的面积相等，则△TA,B2与△OA,B2的面积相等，则有OTI∥AB2, 页（共6页） 又42,0)，品@).所以w=k%=分放直线0T的方程为y=之， 1 所以△GMN面积的最小值为答 1 y=-2 1 由 x ·解得=2，即三2，⅓三2x2=2，则点7的坐标为2， 2 +y2=1 4 (3) M E 设AB:x=my+V3,A(x,片)，B(x,当2). 由下+5 由{+4y4消去x得(m+42+25m-1=0, 426m+4+40,则+为子奶/ m2+41 又mw=8m+5me-5aew+8aem-8amw+8m-sm+5a） -DE4-goE4 由(1)可知4B=Vm2+1y-,=Vm2+1V(y+2}-4yy=Vm2+1V(y+y2)2-4y2 、2 16m2+164(m2+1 =Vm2+1. 23m +4× 1=Vm2+1 m2+4 m2+4 V(m2+42 m2+4 4m2+1） 用-二代换m可得DE=4m+1 aw-4- 8(m2+28 22m+4+4m2+1下25(m㎡2+125， (2 当且仅当m2+4=4m2+1即m2=1时，(S.nGm=25 8 答案第6页（共6页）