北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期高三10月考试数学试题

北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期10月考试 高三数学 1.答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚，并认 考 真核对条形码上的教育1D号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 生 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。 须 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无 知 效，在试卷、草稿纸上答题无效。 4.本试卷满分共150分，作答时长120分钟。 第一部分（选择题共40分） 一、 选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 (1)在复平面内，复数z=-2+i对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知集合A=(x|x2-x-6>0),B=xIx-1川≤2)，则A∩B= A.(-oo,-2)U[-1,+oo）…B.[-1,3) C.(3) D.0 (3)下列函数中，是奇函数并且经过函数图象上任意两点的直线斜率均为负的是 A.f(x)=tan2x B.f(闵=1+ C.(x)=-x' D.f(x)=-xcosx (4)要得到函数y=cos(2x-孕的图象，只需将函数y=c0sx图象上所有点的 A,横坐标缩短到原来的)倍，再向右平移二个单位 B,横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移”个单位 6 D.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移”个单位 (5) 已知1<<0，则下列不等式正确的是 a b A.ac2>bc2 B.In(-a)>In(-6) c.a-1>6- D.alakbbl (6)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“sin2A=sin2B”是“△ABC 为等腰三角形的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第1项（共4页) (7)已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符 合的是 A.f0:=e(2x-) x2-1 B.f=e(2x+1) x-1 C.f(x)=e"(2x-1) 2x-1 D.f(x)= x-1 e'(x-1) (8)在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：甲和乙的阅读量之和 大于丙和丁的阅读量之和，甲和丙的阅读量之和大于乙和丁的阅读量之和，则 A.甲的阅读量大于乙的阅读量C B.甲的阅读量大于丁的阅读量 C.丙的阅读量不大于乙的阅读量C≤ D丙的阅读量不大于丁的阅读量 (9)尼知集合A=(x,y)川2=3y),B=(x,y)川y=mx),则A∩B中元素的个数为 A.0 B.I C.2 D.3 (10y置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组M:{m,m,m),有序数组 N:{4,2,乃}，定义“间距置换”：h=m-m2,n=m-m,乃=m-m.己知有序 数组T:{x,y,z),经过一次“间距置换"后得到新的有序数组S:{a,5,b}(a≤b),且S中所有 数之和为2026，则a= A.1006 B.1008 C.1010 D.1012 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。 sin(-e) (I1)己知an日=V5,则si 3x-6) (12)函数f(x)=si(2x+)的最小正周期T=一，若x∈[0，m时，∫(x)单调递 增，则m的最大值为 (13)已知函数f(x)=x2,曲线y=(x)过点P(2,0)的切线的方程为 4 一a+ ,x≤a (14)己知函数f(x)= (其中4≠0)，若f(x)存在最小值，则实数a的 x+4+2a xx>a 一个取值为一； 若f(x)有3个极值点，则a的取值范围是 (15)定义函数x)=ln(n(nmx.》,neN,给出下列四种说法： n个 ①f(x)的定义域为(e,+o); ②存在n∈N”,使x)既有极小值又有极大值； ③任意n≥2，n∈N”,都有fn'(x)= x-f(x)(x)(x)f(x) @对于问定义坡内任意两个不相等的实数，西，都有)十)<十色)。 2 其中所有正确说法的序号是 第2贞（共4页) 三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f)=3hx+分-4。 (1)求f(x)的单调区间： (Ⅱ)求函数fx)在区间[片，2]上的最大值。 (17)(本小题13分) 在△ABC中，bcosA+acosB=c2, (I)求c的值： 4 （Ⅱ）已知c0sC=亏，再从条件①、条件②、条件@这三个条件中选择一个作为已知， 使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件0：AB边上的离为： 条件@：B-行： 4 条件③：a= 3 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分 别解答，按第一个解答计分 (18)（本小题14分) 某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并 整理这些门店同一季度的产品A,B的收益数据（单位：万元），如表： 门店 产品 2 3 4 J 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率 （I)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的 概率； (Ⅱ)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B 收益的门店个数，求X的分布列及数学期望E(X): (I)这8个门店中，设门店=1,2,8)的产品A,B的收益分别为x,y,记 9+号，乌=号+9=方+方数据4,4,4：4马，6,4， a的均值为a,数据b,b2,b,b4,b,b6,b,b的均值为b,数据，c2, C,C4,C,C6,C,C的均值为c,写出ā，五，c的大小关系.（结论不要求证明） 第3页（共4页） (19)(本小题15分)已知函数f)=(x-2)e,g=x2-x. （1)当a=-2时，求曲线y=fx)与x轴平行的切线的方程： (Ⅱ)当a<0时，求曲线y=x)与曲线y=g(x)的交点个数： (IⅢ)若存在实数t,使得两条曲线在x=t处有公共点，且两条曲线在x=【处的切线的 斜率相等，则称两条曲线相切.求实数a的值，使得曲线y=f(x)与y=g(x)相切. 0)(本小愿5分》已知椭圆E:专+片=Q>6>0)的焦点到上顶点的距离为2，离 率为 (I)求E的方程 (IⅡ)过A(0,2)的直线I与E交于B,C两点，其中B在第三象限，点B关于x轴对称的点 为D,直线CD与x轴交于点2，直线I与x轴交于点M,若△CDM与△BMg的面积之比 为，求直线1的方程 (21)(本小题15分) a1a2…aa 对于n行n列（n≥2)的数表A= a21 422 a2n 定义T变换：任选一组，，其 alan2… 中i∈1,2，，}，j广，2，，n川，对于A中第i行和第)列的2n-1个数，将每个数同时加 1,或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表， (I)已知对 1 1 依次进行4次T变换，如下： 11 「11门01次T变换00]第2次r受换「ab]第3次r变换[21门外4次T变换「20] 11 01 02 c d 102 写出a,b,c,d的值； 000] [111 (IⅡ)已知A=000,B=11 那么是否可以依次进行有限次T变换，将A变换 000 111 为B？请说明理由； 「0…00 :…: (Ⅲ)已知11行11列的数表C= 0…0 0/ 那么是否可以依次进行k次T变换，将其 0…00 1 1 -107 变换为D= -10 ?若可以，求k的最小值；若不可以，说明理由. -10 … -10 100 第4页（共4页) 2026-2027学年度第一学期高三10月月考 高三数学 参考答案 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分. 题号 U 6 7 8 9 10 答案 D A C B & 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11.-5 12.元：8 13.y=0或y=8x-16 14.1（a>0即可)；(-3，-2) 15.①③④ 三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(本小题13分) (I)f(x)的定义域为(0，+o), f0)=3+x-4=-4+3_-00-3) 令f(x)=0,x1=1,x3=3, 令f'(x)>0,解得0<x<1或x>3 因此，f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3，+∞)；单调递减区间为1,3) (Ⅱ)由(ID得，f)在(，1)单调递增，在4,2)单调递减 因此，当x=1时，有最大值0-=子 17.(本小题13分) （I)由正弦定理和bcos A+acos B=c2得， sin B cosA+cos B sin A=csin C, 可得sin(A+B)=csin C, 即sinC=csinC 显然sinC>0,所以c=1: (I)选条件0：自cosC=号得anC- 5 由Anc3bsnC,得b5 2，, 高三数学答案 第1页（共7页） 由余弦定理得1=d+b2-2abx4 以a2+6=5,联立ab=2解得absV 2 所以△4BC的周长为1+√10， 选条件②：由cosC-4得sinC=3 4 因为 b sin B sinC ,所以b=CsiB5V5 sinc6’ 又因为sinA=sm(+C9=5x4+巨x372 4 252510 由正弦定理得a=csin4_72 9 sinC 6 可得aA8C的周长为1+7巨，5V =1+2√2： 66 选条件③：由余弦定理得1=（学+6-2×4b×4 3 3或15，此时a48C不唯一，不符合要求。 解得6=5或2 7 18.(本小题14分) (I)对8个门店产品A,B的收益，分别记为x,%(=1,2,,8), 满足x>%的门店共3个（门店1、2、3）， 用频率估计概率得，P=3: (Ⅱ)X为抽取的3个门店中A收益高于B的个数， X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3， 总门店N=8,符合条件的门店M=3,抽取n=3,C=56, P(X=0)= C9C 10 5 Cc_30_15 C35628' P(X=1)= C35628 P(K-2)= CC 15 C85 .P(X-3)-go_1 C56 则X的分布列为： X 0 2 3 5 15 15 1 P 28 28 56 56 B0=0x3+1x+2×5+3x-9 28 28 56 568 高三数学答案 第2页（共7页） (Ⅲ)a>c>五. 19.(本小题15分) (I)当a=-2时，f"(x)=(x-1)e+2 令f'(x)=0即(x-1)ex+2=0, 解得x=1且f0)=-e2 因此切点为1，-e) 所以曲线y=f(x)与x轴平行的切线方程为y=-e (）令f0=g,得-2e=50x-2） ①当x=2时，等式成立，可得f(2)=g(2)=0, 即(2,0)是曲线y=f(x)与y=g(x)的一个交点： ②当x≠2时，则有ea- 2xs0, 令)=e-,则C)=e-月 2 令h'(x)=0,x=a-n2 当x<a-ln2时，()<0，函数h(x)在(-，a-n2)上单调递减， 当x>a-ln2时，(w)>0,函数h(x)在(a-n2,+o)上单调递增， 当x=a-ln2时，函数h(x)取得极小值， h加a-号a-a}a*32 22 2 因为a<0,所以h(a-ln2)>0, h)>0恒成立，即方程e-a-1 =0无解， 所以曲线y=f(x)与曲线y=g(x)只有一个交点(2,0) (m)当曲线y=f与y=8的相切，有0=80成立， f"(t)=g'(t) 由f0=g0得-2水-t-2), 由f'(t)=g't)得(t-1)e-a=t-1, 当t=2时，f'(2)=e2-a,g'(2)=1, 高三数学答案 第3页（共7页） 因为f'(2)=g'(2),所以e2=1,即a=2 当1=2时，有0号 又因为t-1)e-=t-1,所以2t-)=t-1, 即t-10(t-1)=0,解得t=1, 当t=1时，有e-a= 2,即a=1+n2. 综上，当a=1+n2或2时，曲线y=f(x)与y=g(x)相切. 20.(本小题15分) 解：（①）由题意a=2,e=c- ,所以c=1. a 2 因为b2=a2-c2=3, 所以E的方程为产十二=1 43 (I)解法1：设直线1：x=y-2),B(,),C(x2,2)则D(:,-) 联立 4+3=1→(3m+40y2-12my+12m-12=0 x=12(y-2) △=(12m）2-4(3m°+4)12m°-12)>0， 12m2 片+y3= 3m2+4 ①，y1y3 12m2-12包 3m2+4 Sa2=15凶_15 S.M 1313 所以业= 1 .15 3为=13% 6×15m 代入①可得：一 3m6x13m 2.12m2 3m2+4= 3m2+4 代入②可得： 6×6×13×15m412(m2-1) ，整理得 3x13×15m =m2-1 (3m2+4) 3m+4 3m2+4 高三数学答案第4页（共7页） 即-3×13×15m4=3m4+m2-4, .196×3m4+m2-4=0,(12m2+1)(49m2-4)=0 解得m2= 4 49 因为B在第三象限，所以m=2,经检验△>0， 7 所以直线1的方程为7x-2y+4=0 解法2：设直线1：y=+2,B(,),C(2,y2),则D(,-) x+ 联立 4+3=1-6+4k2)x+16+4=0 y=kx+2 △=16k)2-16(3+4k2)>0, 4 +x2=3+4320, 为+为=k(x+x)+4=-16k+12+16k212 3+4k 3+4k2 5=(+2,+2)=xx+2h(+,)+4=-12+12 3+4k2 周吕会品 S卧M 2 12 为+y2三3y3+ 1312 -78 15-78 90 …y= 23+423+4k’为= 133+4k2-3+4k2 -78×90-12K+12整理得：-78×90=（122+123+4)， (3+42) 3+4k2 整理得44-K2-588=0,即(k2+12)(4k2-49）=0 高三数学答案第5页（共7页） 解得2=49 1 2 1 又k>0,.k= 经检验△>0， 2 ∴.1：7x-2y+4=0. 21.(本小题15分) 00 a b (I) 经过T变换得到 显然41没有变，42从1变为2， 01 02 所以41和412均增加1，故a=b=1, 1 17 2 17 经过T变换得到 2 显然a2没有变，a1从1变为2， d 故a1和4，均增加1，故c=0+1=1,d=2+1=3, 21 2 0 13 经过T变换得到 02 满足要求， 综上，a=1,b=1,c=1,d=3: (Ⅱ)不可以，理由如下： 由题可知，每次T变换，数表中的所有数的和增加或减少5， 因为A中所有数的和为0，所以经过有限次T变换后，各数之和应为5的倍数， 而B中所有数的和为9，不合要求， 故不可以依次进行有限次T变换，将A变换为B. (Ⅲ)可以，且k的最小值为400， 当所选i,j∈1,2，，10}时，所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为x, 当所选i=11且je{1,2,…,10},或者i∈{1,2，，10}且j=11时， 所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为y, 当所选i=j=11时，加1的变换T与减1的变换T次数之差设为z, 〔1 1-10 由于D= 1 -10 -10 ..-10 100 高三数学答案 第6页（共7页） 由于i,je1,2,…,10},4,=1,和为100，故19x+10y=100, 由于i=11,je1,2,,10}或ie{1,2,,10},j=11时，4=-10，和为-200， 故2x+10y+20z=-200, 由于411=100，故y+z=100, [19x+10y=100 x=-100 联立可得{2x+10y+20z=-200,解得{y=200, y+z=100 2=-100 所以k2x++=400, 其中符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i,j∈1,2，，10}时，各进行一次减1的变换T,共进行100次变换T,得到 -19.-19 -10 M= -19. -19-10 -10 .-10 0 当所选i=11且j∈1,2，…，10}，或者i∈{1,2，，10}且j=11时， 各进行10次加1的变换T,共进行200次变换T,得到 〔1 ..1 90 N= 1 1 90 /90 90200 当所选i=j=11时，进行100次减1的变换T,得到 1 -10 D= 1 1 -10 -10 .-10100 高三数学答案 第7页（共7页）