北京市第一七一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷，以集合、复数等基础内容为起点，通过垃圾分类函数模型、东城区学校概率统计等情境题，及“完美闭环数列”创新题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、复数、抛物线、圆、三角函数|基础概念与基本运算，梯度合理| |填空题|5/25|双曲线离心率、等比数列、三角旋转|多知识点综合，如第14题结合三角与圆| |解答题|6/85|概率统计（东城区学校分类）、导数应用、数列创新（完美闭环）|真实情境与逻辑推理，如第18题区域教育数据，第21题数列新定义|

北京市第一七一中学2024-2025学年度第一学期12月月考 高三数学试卷 本试卷共6页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.复数在复平面内所对应的点为( ) A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点与焦点的距离为,则点到轴的距离是( ) A. B. C.4 D.12 4.已知圆关于直线对称,则实数( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为,则下列区间中单调递增的是( ) A. B. C. D. 6. 已知平面向量均为非零向量,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体,其体积为( ) A. B. C. D. 8. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动,做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间(月)近似地满足关系(其中a,b为正常数),经过6个月,这种垃圾的分解率为,经过12个月,这种垃圾的分解率为,那么这种垃圾完全分解大约需要经过( )个月(参考数据:) A.20 B.28 C.32 D.40 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点,则( ) A. B. C. D. 10. 已知直线与曲线从左至右依次交于三点.若直线: 上存在点满足,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.在的展开式中,的系数为_. 12. 已知双曲线C:的渐近线方程为,则C的离心率为 . 13. 已知等比数列的前n项和为,前n项积为,其中,,成等差数列,.且有最大值,则的最大值是 . 14. 在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与圆交于点,将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点.当时, ;当为锐角时,的取值范围是 . 15. 把正整数排成一个圆圈. 1 对于任意排列,必有相邻三个数之和不小于; 2 对于任意排列,必有相邻三个数之和不大于; 3 不同的排列总数是(旋转后重合视为同一排列); ④ 存在某一个排列,使任意相邻两项的和均为质数. (质数又称素数,只有1和它本身两个约数,2是最小的质数) 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.在中,内角的对边分别为,为钝角,,. (1)求; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得存在,求的面积. 条件①:;条件②:;条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 17. 如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面,,,,是线段的中点,连结. (1)求证:; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18. 北京市东城区共有30所高中校,其中以纯数字命名的20所,简称“数字校”,以文字命名的10所,简称“文字校”,名单见表格1.若一个数字逆序后与原数相同,称为回文数,以回文数命名的学校称为“回文校”,显然“数字校”中“回文校”有7所:1中、2中、5中、11中、22中、55中、171中. 表1:东城区高中校一览表 数字校 1,2,5,11,21,22,24,25,27,50,54,55,65,96,109,125,142,165,166,171. 文字校 东直门、汇文、广渠门、龙潭、景山、50分、翔宇、宏志、工美附、崇文门. 1. 已知某学校是“数字校”,那么这所学校是“回文校”的概率? 1. 在“回文校”任选3所,记选中校名为质数的学校个数为,求的分布列与期望. (注:质数又称素数,只有1和它本身两个约数,2是最小的质数,) 1. 已知北京市所有“回文校”均在城六区,城六区共计高中校200余所,171中学是数字最大的”回文校“.若随机抽取一所学校,设东城区抽中“回文校”的概率,城六区抽中“回文校”的概率,估计、的大小关系(直接写出结果). 19. 已知椭圆的离心率为,点为其左顶点,点的坐标为,过点作直线与椭圆交于,两点,当垂直于轴时,. (1)求该椭圆的方程; (2)设直线,分别交直线于点,,线段的中点为,设直线与的斜率分别为,,且,求证:为定值. 20.已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求的单调递增区间; (3)当函数有两个极值点时,若恒成立,求的最大整数值.(参考数据:) 21. 由这个数排成一个数列,若两个1之间恰好有1个数,两个2之间恰好有2个数,,两个之间恰好有个数,则称这个数列为“完美闭环数列”.显然,时不能构成“完美闭环数列”.时,构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同,称该项为“和谐项”,当时,,,,共有4项“和谐项”. (1)补全时的“完美闭环数列”:,并列出其所有“和谐项”. (2)证明:当时,不存在“完美闭环数列”. (3)可以构成“完美闭环数列”,同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”,相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”,从这里出发,向梦想远行. 请写出时的“完美闭环数列”. 5 学科网(北京)股份有限公司 $ 北京市第一七一中学2024-2025学年度第一学期12月月考 高三数学试卷 本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 选择题答案： 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．复数在复平面内所对应的点为（   ） A． B． C． D． 3. 已知抛物线上一点与焦点的距离为，则点到轴的距离是（    ） A． B. C.4 D.12 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 5. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体，其体积为（    ） A． B． C． D． 8. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A．20 B．28 C．32 D．40 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 10. 已知直线与曲线从左至右依次交于三点．若直线： 上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的展开式中，的系数为__________. 【答案】 10 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为 . 【答案】 13. 已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是 ． 【答案】 64 14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点．当时， ；当为锐角时，的取值范围是 . 【答案】 15. 把正整数排成一个圆圈. 1 对于任意排列，必有相邻三个数之和不小于； 2 对于任意排列，必有相邻三个数之和不大于； 3 不同的排列总数是(旋转后重合视为同一排列)； ④ 存在某一个排列，使任意相邻两项的和均为质数. (质数又称素数，只有1和它本身两个约数，2是最小的质数) 其中所有正确结论的序号是 ．答案：2,4 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【详解】解：（1）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）连结．因为，为的中点， 所以． 由（1）可知平面， 所以，． 设，则． 如图，建立空间直角坐标系． 所以． 所以，． 因为平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，所以 令，则，．于是． 所以． 平面与平面夹角余弦值为． 18. 北京市东城区共有30所高中校，其中以纯数字命名的20所，简称“数字校”，以文字命名的10所，简称“文字校”，名单见表格1.若一个数字逆序后与原数相同，称为回文数，以回文数命名的学校称为“回文校”，显然“数字校”中“回文校”有7所：1中、2中、5中、11中、22中、55中、171中. 表1：东城区高中校一览表 数字校 1，2，5，11，21，22，24，25，27，50，54，55，65，96，109，125，142，165，166，171. 文字校 东直门、汇文、广渠门、龙潭、景山、50分、翔宇、宏志、工美附、崇文门. 1. 已知某学校是“数字校”，那么这所学校是“回文校”的概率？ 1. 在“回文校”任选3所，记选中校名为质数的学校个数为，求的分布列与期望. 1. 已知北京市所有“回文校”均在城六区，城六区共计高中校200余所，171中学是数字最大的”回文校“.若随机抽取一所学校，设东城区抽中“回文校”的概率，城六区抽中“回文校”的概率，估计、的大小关系(直接写出结果). 答案：（1）设某学校是“数字校”，那么这所学校也是“回文校”为事件，. (2)因为回文校中2、5、11是素数，所以 ，，，， 0 1 2 3 . (3)思路1：由题意可知，东城区抽中“回文校”概率，而城六区的计算是此问的难点，首先需要判断，都有哪些“回文校”，1、2、 161、171共有26个回文数，题目没有指明哪些“回文校”还存在，也没有说明学校一共多少所，所以需要学生估算，对于城六区抽中“回文校”的概率而言，考虑极端情况，即学校取200，“回文校”取26时（1、2……11、22……111、121…….171共26个），是最大值，而真实情况，，又因为，所以. 思路2：由于回文数的分布规律为一位数全是，10---200内隔10个取1个，而东城西城作为老城区，学校历史悠久，数字排序靠前，自然回文数分布更多一些是合理的. 另外，西城区的“回文校”比例为，也是比较高的，事实上北京市现存的“回文校”不在东西城的，只有海淀101，和石景山9中，数据来自2024.5.28年北京日报公示《具有招生资格的普通高中名录》北京市共普通高中有332所，城6区共有217所. 19. 已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求该椭圆的方程； （2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，即，因此椭圆方程可化为； 又由题意可知：点在椭圆， 所以，解得，所以； 因此椭圆方程为； （2）设，，直线的方程为， 由消去，整理得：， 所以， 又，所以直线的方程为：， 其与直线的交点为； 同理， 所以的中点为， 因此的斜率为 ， 因此， 即为定值． 20．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.(参考数据：) 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，， 所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为， 又， 当，即时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当，即， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； （3）由（2）可知，当时，有两个极值点，则， 由题意可得： 21. 由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. （1）补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. （2）证明：当时，不存在“完美闭环数列”. （3）可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行. 请写出时的“完美闭环数列”. 答案： （1）“和谐项” （2）由排成一个数列，假设存在符合题意的数列，其共有项，依次为，对于数列中的两项，若，则之间恰好有个数，若为奇数，则同奇偶，若为偶数，则一奇一偶.称为项，为项号，所有偶数项中（即项的取值为偶数）， 项号取值为个奇数，个偶数，剩余的奇数项排入数列中需要占据剩下的个奇数项号与个偶数项号，由于奇数项的项号同奇偶，所以矛盾. （3）， ， ，均可. 8 学科网（北京）股份有限公司 $