专题07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数中的规律探究问题（重） 题型2 一次函数中求线段和最值问题（重） 题型3 一次函数中直线平移的综合问题（高频） 题型4 一次函数中分段函数探究问题（高频） 题型5 一次函数中的新定义型综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数中的规律探究问题 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． ◆题型2 一次函数中求线段和最值问题 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 5．（25-26九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是的中点，过点作于交一次函数图象于点，是上一动点，则的最小值为_____． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______． ◆题型3 一次函数中直线平移的综合问题 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线交轴于点，与轴交于点，将直线向下平移4个单位长度，得到的直线分别交轴，轴于点，． (1)求的值及，两点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． 8．（25-26八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． ◆题型4 一次函数中分段函数探究问题 10.小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 11.探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 12．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． ◆题型5 一次函数中的新定义型综合问题 13．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 14．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”． 【问题探究】 【概念初探】 (1)已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”； 【模型构建】 (2)如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式； 【深度探索】 (3)如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（  ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 二、填空题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段______． 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形的周长最小时，点坐标为_____． 8．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 10．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 11．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，M的坐标分别为，，，点N是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某社区要修建便民灌溉管道，直线代表社区的灌溉主管道，它分别交x轴（社区东西向主干道）、y轴（社区南北向主干道）于B、A两点，点是社区的灌溉水阀站点，D是线段上的移动控水阀门，E是线段上的管道检修口，且始终满足．是灌溉支路，是检修管道支路，交y轴于点H，点是一个休息点，连接．现在要让灌溉支路和检修管道的支路的长度之和最小，以此降低管道铺设的成本与难度．当取到最小值时，请求出此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标． 14．（25-26八年级上·全国·期末）模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)【模型应用】 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为 ；点坐标为 ； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； (2)如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； (3)【模型拓展】 如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线：与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数中的规律探究问题（重） 题型2 一次函数中求线段和最值问题（重） 题型3 一次函数中直线平移的综合问题（高频） 题型4 一次函数中分段函数探究问题（高频） 题型5 一次函数中的新定义型综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数中的规律探究问题 1． 2． 3．64 ◆题型2 一次函数中求线段和最值问题 4． 5． 6． ◆题型3 一次函数中直线平移的综合问题 7． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点等，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用平移的性质求得平移后直线的解析式为，据此求解即可； （2）先求得，，再分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴点不在线段上， 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 8． 【答案】(1)①证明：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②或或 (2) 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【详解】（1）解：①略 ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴．      9． 【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4） 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①分、、，三种情况求解即可； ②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ． ． 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为； 如图，当，时，过点作，过点作， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 综上所述：点坐标为：、； 故答案为：、； ②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得． 所得到的图象对应的函数表达式为． 如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 故答案为：． ◆题型4 一次函数中分段函数探究问题 10. 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 11. 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 12． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． ◆题型5 一次函数中的新定义型综合问题 13． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 14． 【答案】（1）（2）（3）①②存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）①根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；②求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）①∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ②∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 15． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，可得点在函数的图象上，列出方程，求解即可． （2）根据平移，可得，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，从而求出； （3）设，根据题意，可得，情况一，利用角之间的关系，得，直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可；情况二，利用角之间的关系，易得是的中点，易求，则直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设点在函数的图象上， 函数与函数具有“对偶关系”， 点关于轴的对称点在函数的图象上， ， 又， ，解得， 当时，， 它们的“对偶值”为； （2）解：直线向下平移个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线与的“对偶值”为， 设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上， ，， ，解得， ， 则与满足的关系式为； （3）解：点在直线上， 设， 直线与轴相交于点， ，则， 第一种情况，如图②，在直线上取点，连接， ， ， 则直线的解析式为， ， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 第二种情况， 如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点， 直线与轴、轴相交于A、B两点， 当时，，当时，，即， ，， ，， ， ， ，， ， ， 则，即是的中点， ，即， 设直线的解析式为， ，解得， ，则， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 综上：存在，的值为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．C 3．D 4．B 二、填空题 5． 6．/ 7． 8．或 三、解答题 9． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 10． 【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 11． 【答案】(1) 描点、连线，画出直线，如图： (2) (3) (4)或． 【分析】（1）列表，描点、连线画出直线即可； （2）观察图象即可得到结论； （3）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 y 4 2 （2）解： 通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是． （3）解： 将代入函数，得 ， ∴（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； （4）解：将代入一次函数，得 ， ∵一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N， ∴， ∵一次函数与y轴相交于点A， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或． 12． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 13． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查线段和的最小值问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握垂线段最短和两点之间线段最短是解题的关键． （1）过点作于点，由题意，可判定，得出，根据，当、、三点共线时，取最小值，最小值为； （2）连接，，由题意易得，，得到， 因此，当、、三点共线时，取最小值，最小值为，由点、点，易求出直线的解析式为， 即可求出此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，过点作于点， 点A，B，M的坐标分别为，，， ，，，， ， ， ， 当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 则的最小值为4； （2）直线分别交x轴、y轴于B、A两点， ，， 点， ，， 点， ， 如图所示，连接，， 由题意可得，轴， ， ，， ， ， ， 如图所示，当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 由点、点，设直线的解析式为， 可得，解得， 直线的解析式为， 当时，， 即此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标为． 14． 【答案】(1)①，；② (2)； (3)或 【分析】（1）①根据解析式求出点、的坐标； ②过点作，利用“一线三直角”可证，根据全等三角形的性质可得，，利用勾股定理可以求出，根据垂线段最短可得的最小值是； （2）根据解析式求出、的长度，过点作，交直线于点，过点作轴于点，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （3）根据解析式求出、的长度，分和两种情况把点的坐标用含的代数式表示出来，再代入直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）①解：当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 故答案为：，； ②解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， ， 的最小值是； 故答案为：； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 如下图所示，过点作，交直线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， 直线的解析式是； （3）解：当时，， 点的坐标是，， 当时，， 解得：， 点的坐标是，， 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标为； 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数中的规律探究问题（重） 题型2 一次函数中求线段和最值问题（重） 题型3 一次函数中直线平移的综合问题（高频） 题型4 一次函数中分段函数探究问题（高频） 题型5 一次函数中的新定义型综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数中的规律探究问题 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】 64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． ◆题型2 一次函数中求线段和最值问题 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，由轴对称性质得，故．当、、三点共线时取最小值．求直线的解析式，令得，故． 【详解】如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接． ， 对称点 ． 由轴对称性质：， ． 当 、、 三点共线时， 最小． 设直线解析式为， 可得，解得， 直线解析式为， 令，可得， 当有最小值时，点的坐标为． 5．（25-26九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是的中点，过点作于交一次函数图象于点，是上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用轴对称解决线段和最小的问题，勾股定理，确定点的位置，是解题的关键．求出点的坐标，进而求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，易得，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵于交一次函数图象于点， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， 则：， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 6．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：当，当， ∴， 如图，取点，连接，，作，垂足为点，即， 在和中， ∵， ∴， ， ， 当点三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为． ◆题型3 一次函数中直线平移的综合问题 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线交轴于点，与轴交于点，将直线向下平移4个单位长度，得到的直线分别交轴，轴于点，． (1)求的值及，两点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点等，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用平移的性质求得平移后直线的解析式为，据此求解即可； （2）先求得，，再分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴点不在线段上， 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②或或 (2) 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【详解】（1）解：①略 ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴．      9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4） 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①分、、，三种情况求解即可； ②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ． ． 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为； 如图，当，时，过点作，过点作， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 综上所述：点坐标为：、； 故答案为：、； ②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得． 所得到的图象对应的函数表达式为． 如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 故答案为：． ◆题型4 一次函数中分段函数探究问题 10.小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 11.探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 12．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． ◆题型5 一次函数中的新定义型综合问题 13．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 14．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①②存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）①根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；②求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）①∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ②∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”． 【问题探究】 【概念初探】 (1)已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”； 【模型构建】 (2)如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式； 【深度探索】 (3)如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，可得点在函数的图象上，列出方程，求解即可． （2）根据平移，可得，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，从而求出； （3）设，根据题意，可得，情况一，利用角之间的关系，得，直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可；情况二，利用角之间的关系，易得是的中点，易求，则直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设点在函数的图象上， 函数与函数具有“对偶关系”， 点关于轴的对称点在函数的图象上， ， 又， ，解得， 当时，， 它们的“对偶值”为； （2）解：直线向下平移个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线与的“对偶值”为， 设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上， ，， ，解得， ， 则与满足的关系式为； （3）解：点在直线上， 设， 直线与轴相交于点， ，则， 第一种情况，如图②，在直线上取点，连接， ， ， 则直线的解析式为， ， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 第二种情况， 如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点， 直线与轴、轴相交于A、B两点， 当时，，当时，，即， ，， ，， ， ， ，， ， ， 则，即是的中点， ，即， 设直线的解析式为， ，解得， ，则， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 综上：存在，的值为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求出平移后的直线解析式为，分别计算直线经过线段端点、时的值，从而确定的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度后，所得直线的解析式为， 当直线经过点时，，解得， 当直线经过点时，，解得， ∴若平移后的直线与线段有交点，则的取值范围是， ∵，， ∴只有选项C符合题意． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 3．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可．根据、关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则、横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【详解】解：①设函数上点的坐标为， 则其关于轴的对称点的坐标为， 若两函数具有“对偶关系”， 则点必在函数的图象上， 故有， ， 解得：， 函数与函数具有“对偶关系”，故①错误，不符合题意； ②由①得，，故②正确，符合题意； ③当时，则， 解得； 因为1是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的， 代入得：， 解得，故③正确，符合题意； ④设点P在上，设P的坐标为，其中，则点Q在上，坐标为，即， ∵P、Q纵坐标相等， ∴，即． ∵， ∴当时，；当时，， ∴，故④正确，符合题意． 综上，②③④正确． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的相关知识．设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线的解析式，进而求得点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为， ∵， 点的横坐标和点的横坐标相同． ∴． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为． ∴． 解得：． 直线的解析式为． 当时，． 点的坐标为． ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形的周长最小时，点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，再作点关于直线的对称点，交直线于点，作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，四边形的周长最小，则可得此时直线与直线的交点即为所求的点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线联立，解方程组即可得． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴四边形的周长为， 如图，作点关于直线的对称点，交直线于点，作点关于轴的对称点，连接， 则，，点是的中点， ∴四边形的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，则此时四边形的周长最小， ∴此时直线与直线的交点即为所求的点， 设直线的解析式为， 将点、代入得：，解得， ∴直线的解析式为，垂直于直线， 联立，解得， ∴， 设点的坐标为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴当四边形的周长最小时，点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，正确理解新定义． 由题意得，，根据关于y轴对称的性质，纵坐标不变，横坐标互为相反数求解，即可写出，再分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵一次函数，函数与的图象关于轴对称， ∴， ∴， ①当时，随着的增大而增大， ∴时，；时，， ， 解得； ②当时，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ， 解得； 综上：的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 11．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 【答案】(1) 描点、连线，画出直线，如图： (2) (3) (4)或． 【分析】（1）列表，描点、连线画出直线即可； （2）观察图象即可得到结论； （3）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 y 4 2 （2）解： 通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是． （3）解： 将代入函数，得 ， ∴（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； （4）解：将代入一次函数，得 ， ∵一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N， ∴， ∵一次函数与y轴相交于点A， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，M的坐标分别为，，，点N是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某社区要修建便民灌溉管道，直线代表社区的灌溉主管道，它分别交x轴（社区东西向主干道）、y轴（社区南北向主干道）于B、A两点，点是社区的灌溉水阀站点，D是线段上的移动控水阀门，E是线段上的管道检修口，且始终满足．是灌溉支路，是检修管道支路，交y轴于点H，点是一个休息点，连接．现在要让灌溉支路和检修管道的支路的长度之和最小，以此降低管道铺设的成本与难度．当取到最小值时，请求出此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查线段和的最小值问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握垂线段最短和两点之间线段最短是解题的关键． （1）过点作于点，由题意，可判定，得出，根据，当、、三点共线时，取最小值，最小值为； （2）连接，，由题意易得，，得到， 因此，当、、三点共线时，取最小值，最小值为，由点、点，易求出直线的解析式为， 即可求出此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，过点作于点， 点A，B，M的坐标分别为，，， ，，，， ， ， ， 当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 则的最小值为4； （2）直线分别交x轴、y轴于B、A两点， ，， 点， ，， 点， ， 如图所示，连接，， 由题意可得，轴， ， ，， ， ， ， 如图所示，当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 由点、点，设直线的解析式为， 可得，解得， 直线的解析式为， 当时，， 即此时检修管道支路与y轴的交点H的坐标为． 14．（25-26八年级上·全国·期末）模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)【模型应用】 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为 ；点坐标为 ； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； (2)如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； (3)【模型拓展】 如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线：与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①，；② (2)； (3)或 【分析】（1）①根据解析式求出点、的坐标； ②过点作，利用“一线三直角”可证，根据全等三角形的性质可得，，利用勾股定理可以求出，根据垂线段最短可得的最小值是； （2）根据解析式求出、的长度，过点作，交直线于点，过点作轴于点，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （3）根据解析式求出、的长度，分和两种情况把点的坐标用含的代数式表示出来，再代入直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）①解：当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 故答案为：，； ②解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， ， 的最小值是； 故答案为：； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 如下图所示，过点作，交直线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， 直线的解析式是； （3）解：当时，， 点的坐标是，， 当时，， 解得：， 点的坐标是，， 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标为； 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $