第4章一次函数考点训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

一次函数考点训练2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版） 一、《一次函数考点梳理： 考点1.函数的概念 考点2.求自变量的取值范围 考点2.求自变量的取值范围 考点4.函数的表示方法 考点5.函数的解析式 考点6.函数图像的识别 考点7.从函数图像获取信息 考点8.正比例函数的定义 考点9.识别一次函数 考点10.根据一次函数求参数 考点11.求一次函数自变量或函数值 考点12.正比例函数图像 考点13.正比例函数的性质 考点14.判断一次函数图像 考点15.根据一次函数解析式判断其经过的象限 考点16.已知函数经过的象限求参数的服范围 考点17.一次函数的图像与坐标轴的交点问题 考点18.已知直线与坐标轴的交点求方程的解 考点19.根据一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 考点20.一次函数的平移问题 考点21.判断一次函数的增减性 考点22.根据一次函数增减性求参数 考点23.一次函数规律问题 考点24.一次函数分配方案问题 考点25.梯度计价问题 考点26.行程问题 考点27.一次函数最大利润问题 考点28.一次函数与几何综合问题 二、《一次函数考点训练： 考点1.函数的概念 1．下列各式，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 2．下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数． 3．下列选项中，y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，自变量在允许的取值范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：对于选项C，给定一个允许的值x，都只有唯一的y值与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项A、B、D，给定一个允许的值x，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 考点2.求自变量的取值范围 1．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 2．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ∴对于，可得， ∴． 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 考点3.求自变量的值或函数值 1．变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】将代入关系式得． 2．下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从表格上面一行找到所给的值，下面一行对应的数值即为答案． 【详解】解：由表格中日期与最高气温的对应关系可知，当时，． 3．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 【答案】(1)行驶的路程x，油箱内剩余的油量y (2)，的取值范围为 (3)油箱内剩余的油量是升 【详解】（1）解：上述两个变量中，自变量是行驶的路程x，因变量是油箱内剩余的油量y； （2）解：根据题意得，， 令，即，解得； ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，（升）， 即油箱内剩余的油量是升． 考点4.函数的表示方法 1．小明和妈妈2026年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 2．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 3．我们知道，海拔越高，气温越低．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） … 气温（） … 根据表格中两个变量之间的关系，当海拔高度时，气温___________． 【答案】 【分析】观察表格可得海拔高度每增加千米，气温下降，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：观察表格可得，每增加千米，气温下降． 当时，． 当时，． 考点5.函数的解析式 1.购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化， 请写出函数解析式___________ 【答案】（且为整数） 【详解】解：由题意得，函数解析式为：（且为整数） 2．汽车行驶前，油箱中有油 ，已知每100千米汽车耗油，油箱中的余油量与它行驶的距离s（千米）之间的关系式为__________；当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了__________千米． 【答案】 500 【详解】解：由题意，， 当时，，解得， 即当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了千米． 3．如图，梯形中，，，垂足为E，上底，下底，高，梯形的面积为y，写出y与x之间的关系式______．（不需要写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】根据梯形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，梯形的面积为， ∴y与x之间的关系式为． 考点6.函数图像的识别 1．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？ 【答案】图（2） 【分析】根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 汽车到达下一车站，则速度匀速减少到0， 乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则速度从0开始增加到一定速度后不在增加， ∴图（2）符合题意. 2．如图是某地一日气温T随时间t的变化图象．下列说法中错误的是（　　 　） A．4时气温最低，最低为 B．这一日温差为 C．从14时至24时气温呈下降状态 D．这天只有一个时刻气温为 【答案】D 【分析】通过观察函数图象，找出最高点与最低点的坐标以确定气温极值及温差，观察图象走势判断气温变化趋势，观察图象与横轴交点个数判断气温为的时刻数量； 【详解】解：由图象可知： 图象的最低点坐标为，最高点坐标为， 4时气温最低，最低为，故A选项说法正确； 这一日温差为，故B选项说法正确； 从14时至24时，图象从左向右呈下降趋势， 气温呈下降状态，故C选项说法正确； 图象与横轴（轴）有两个交点， 这天有两个时刻气温为，故D选项说法错误． 3． 南宁某地区某天的气温（　　 　）变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况． 下列说法正确的是（     ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 【答案】C 【分析】根据图象观察最高气温、最低气温、气温变化趋势及特定气温对应的时刻进行判断即可． 【详解】解：对于，时气温约为，时气温约为，时不是气温最低时刻，故错误． 对于，时至时气温随时间增加而降低，点之后气温不是一直在升高，故错误． 对于，最高气温约为，最低气温约为，温差约为，故正确． 对于，气温为的时刻有时以及时至时之间、时至时之间，不止一个时刻，故错误． 考点7.从函数图像获取信息 1．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点P离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2得，当时，______m；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，______m； (3)摩天轮的周长为______m． 【答案】(1)①70；6；②减小 (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像分析即可； （2）和时高度一致； （3）根据周长公式即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， ∴摩天轮转一圈需要， ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而减小； （2）解：由题可知，和时高度一致， 则当时，， 则当时，； （3）解：由题可知，摩天轮的直径为：， 则摩天轮的周长为：． 2．河南壁画博物馆是一座以壁画为核心展陈的特色博物馆，馆藏涵盖多个朝代的珍贵壁画遗存，全方位展现了中原壁画的艺术精髓与历史价值．周末乐乐和家人一起驾车从家出发去河南壁画博物馆，在馆内参观了个小时，随后驾车去舅舅家，如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系． (1)上述过程中，自变量是__________； (2)乐乐家与博物馆的距离是__________千米，博物馆到舅舅家的距离是__________千米； (3)图象中__________； (4)乐乐一家从博物馆到舅舅家驾车行驶（图中段）的平均速度是__________千米/时． 【答案】(1)离开家的时间 (2)50，40 (3)2.5 (4)48 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据“速度路程时间”可得答案． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间； （2）解：由图象可知，乐乐家与博物馆的距离是50千米，博物馆到舅舅家的距离是：（千米）； （3）解：； （4）解：（千米／时）． 答：乐乐一家从博物馆到舅舅家驾车行驶（图中段）的平均速度为48千米/时． 3．如图描述了一汽车在某一笔直公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据题中提供的信息，给出下列说法： ①汽车一共行驶了； ②汽车在行驶途中停留了； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为； ④汽车自出发后至之间行驶的速度在逐渐减小． 其中，正确的说法有________（只填正确判断的序号）． 【答案】②③ 【分析】根据图象所展示的信息，求解判断即可． 【详解】解：①汽车往返一共行驶了，原结论错误； ②汽车在行驶途中停留了，原结论正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为，原结论正确； ④汽车自出发到时，汽车在整个行驶过程中的平均速度为，至之间行驶的速度为，此时与前面比较，速度增大，故原结论错误 考点8.正比例函数的定义 1．下列各函数中表示是的正比例函数的是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值. 【详解】解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． 3．已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、求函数值等知识点，理解题意并熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）知， 当时，． 考点9.识别一次函数 1．下列函数中，是的一次函数的是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中的次数为，中的次数为，中的系数为，均不是一次函数，不符合题意； 中的次数为且系数不为，是一次函数，故选项B符合题意． 2． 下列函数关系式：①；②；③；④；⑤， 一次函数有（　　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 3．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 考点10.根据一次函数求参数 1．若函数是一次函数，则的值为（　　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ， ， ． 2．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（　　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 3．若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， 移项得， ． 考点11.求一次函数自变量或函数值 1．下列各点不在函数上的是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ∴ 点不在函数图象上，故A选项符合题意； 将，，分别代入解析式，得对应值为，，，均与对应选项纵坐标一致， ∴ 选项B，C，D中的点均在函数图象上，均不符合题意． 2．下列各点在直线上的是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各选项点的横坐标代入直线解析式算出值，和对应点纵坐标对比，相等的点就在直线上． 【详解】解：将各点横坐标代入计算： 当时，，A不符合题意； 当时，，B符合题意； 当时，，C不符合题意； 当时，，D不符合题意． 3．若一次函数的图象过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点代入一次函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， 将，代入得 计算得． 考点12.正比例函数图像 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（　　 　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 2．关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（　　 　） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴函数图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 3．如图所示，正比例函数，，，则、、的大小关系为（　　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得，正比例函数，的图象经过第一，三象限，且的倾斜程度更大， ∴， 由图象可得，正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 考点13.正比例函数的性质 1．关于函数，下列说法错误的是（　　 　） A．当时， B．它的图象是一条过原点的直线 C．随的增大而减小 D．它的图象经过第一、第三象限 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质对各选项逐一判断，选出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、当时，，故A说法正确，不符合题意； B、正比例函数的图象是一条过原点的直线，故B说法正确，不符合题意； C、∵，∴随的增大而减小，故C说法正确，不符合题意； D、∵，∴的图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，故D说法错误，符合题意． 2．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴． 3．若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（　　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断正比例函数的增减规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到值的大小关系. 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小. ∵三个点的横坐标满足， ∴. 考点14.判断一次函数图像 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，中一次项系数k，常数项b代表的几何意义分析图像特征进行选择． 【详解】解：一次函数中一次项系数为2，则y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，排除选项A，D；常数项为1，表示函数图像与y轴的交点在x轴上方，排除选项C．符合条件的图像为选项B． 2．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，求出，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，如图所示： ，即， 则函数的图象经过第一、二、三象限，其大致图象如下： B选项图象满足题意． 3．在同一平面直角坐标系中，直线：与：的图象的位置不可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象所在象限可判断出m，n的取值范围，再根据直线上升趋势进而得到答案． 【详解】解：A、由图象知：l1中的m＜0，n＜0，l2中的m＜0，n＜0，故正确， B、由图象知：l1中的m＞0，n＜0，l2中的m＞0，n＜0，故正确， C、由图象知：l1中的m＞0，n＞0，l2中的m＞0，n＞0，故正确， D、由图象知：l1知的m＜0，n＞0，l2中的m＜0，n＜0，故错误， 故选D． 考点15.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过（　　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 【答案】一、二、三 【分析】根据y随x的增大而增大得到的取值范围，结合一次函数解析式进而确定该函数的图象经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴该一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0， ∴该一次函数的图象经过第一、二、三象限 3．直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【答案】 第二 【分析】根据直线经过的象限判断和的符号，再根据符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：∵直线 经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，即， 对于直线，∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限， ∴直线不经过第二象限． 考点16.已知函数经过的象限求参数的服范围 1．已知一次函数的图像如图所示，则、的取值范围是（　　 　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据一次函数图像增减性判定正负，借助直线与轴交点位置判断的正负，选出对应选项． 【详解】解：∵直线从左向右呈下降趋势， ∴随的增大而减小， ∴， ∵直线与轴的交点位于原点下方，即轴的负半轴上， ∴， 综上所述：，． 2．若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限，则______0．（用“<”“>”“=”填空） 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定和的符号，即可判断与的大小关系． 【详解】解：一次函数（）的图象经过第二、三、四象限， ，， ． 3．一次函数与正比例函数的图象位置可能是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【规范解答】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 考点17.一次函数的图像与坐标轴的交点问题 1．一次函数y=－x－1的图象与y轴的交点坐标为（　　 　） A．(－1,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,－1) 【答案】D 【详解】试题分析：令x=0，得y=-0-1=-1， 则函数与y轴的交点坐标是（0，-1）． 故选D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于，当时，即， 解得， ∴ 一次函数的图象与轴的交点坐标是. 3．直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 【答案】 【分析】令，求解关于的一元一次方程，可得直线与轴的交点坐标；将代入直线，求出可得直线与轴的交点坐标． 【详解】解：求直线与轴的交点坐标： 令，得， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； 求直线与轴的交点坐标： 将代入直线，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 考点18.已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，方程的解即为函数值为时对应的自变量的值，结合已知条件即可求解. 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. 2.如图，一次函数的图象分别与轴交于两点． 若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 3．已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为______； （2）关于的方程的解为______； （3）关于的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 考点19.根据一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 2．关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为________． 【答案】（-5，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0）， 故答案为：（-5，0）． 3．（1）一元一次方程的解是______． （2）已知函数，当______时，函数值． （3）直线与x轴的交点坐标是______． （4）由上述问题可知，一元一次方程的解就是一次函数中当时所对应的______的值；从图象上看，就是一次函数的图象与______轴交点的______． 【答案】 2 横坐标 【分析】本题考查一元一次方程与一次函数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．一次函数与x轴的交点坐标即令后得到的一元一次方程的解，利用这个知识解答问题即可． 【详解】解（1）， ， ； （2）把代入函数解析式得：， 解得：； （3）与x轴的交点坐标即令，得： ， 解得：， 故坐标为：； （4）由上述问题可知，一元一次方程的解就是一次函数中当时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：①②③④⑤⑥横坐标． 考点20.一次函数的平移问题 1．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， 则直线不经过（　　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出平移后的解析式，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位，得直线的解析式为，即， ∵，， ∴直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限 3．直线向上平移2个单位长度后所得到的直线与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”法则得到平移后的直线解析式，再令求解，即可得到平移后直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度，可得新直线的解析式为， 令，则， 所以平移后得到的直线与轴的交点坐标是． 考点21.判断一次函数的增减性 1．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解：， 随的增大而减小． ， ． 2．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数解析式判断随的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随 的增大而减小， ∵点，，的横坐标分别为，，，且， ∴对应的纵坐标满足． 3．已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（　　 　） A． B． C． D．随的增大而减小 【答案】A 【分析】根据直线经过第一、二、四象限得到，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限． ∴，，随的增大而减小，故D正确． ∵，． ∴，故B正确． ∴，故C正确． ∴． ∵随的增大而减小． ∴，故A错误． 考点22.根据一次函数增减性求参数 1．已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数中，的值随取值增大而减小， ∴一次项系数， ∴. 2. 点，在一次函数的图象上， 当时，，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键. 根据一次函数的增减性判断一次项系数的符号，得到的取值范围，写出范围内一个符合要求的值即可. 【详解】解：对于一次函数，根据一次函数的性质，当 时，随的增大而增大. 由题意可知，当时，，说明随的增大而增大， 因此该一次函数的一次项系数满足 解得：. 因此可取任意大于的数，例如. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 3.已知，是一次函数的图象上的两点， 且当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据与的变化关系，可判断一次函数的增减性，结合一次函数的性质得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意可知，当时，，说明随的增大而减小， 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小， ∴对于一次函数，可得不等式：， 解得． 考点23.一次函数规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（　　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（　　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 考点24.一次函数分配方案问题 1．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 2．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3) 选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：略． 3．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1) (2) (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，当时，； （2）解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 考点25.梯度计价问题 1．某市出租车的计费方法如图所示，表示出租车行驶的里程，y（元）表示打车的费用． (1)若某乘客的乘车里程为，则他需付的打车费是多少元？ (2)当时，求y与x之间的函数关系式． (3)若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程． 【答案】(1)8元 (2) (3) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （3）将代入（2）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：∵， ∴某乘客的乘车里程为，他需付的打车费是8元； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为； （3）解：当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的里程是． 2．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 3. 为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法． 现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 【答案】(1)①；② (2)这个家庭本月的实际用电量200度 (3)实付金额分别为60元、232元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及表格可进行求解①②； （2）由（1）可把代入代入进行求解即可； （3）根据题意分别计算电费即可． 【详解】（1）解：①当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）解：因为第一档最高电费为元，而， 所以用电量超过180度。 假设用电量在第二档，将代入得，解得。 因为，假设成立， 所以该家庭本月实际用电量为200度， 答：这个家庭本月的实际用电量200度； （3）解：由题意得： 小强家的电费为（元）； 小华家的电费为（元）； 答：实付金额分别为60元、232元． 考点26.行程问题 1．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 【答案】(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 2．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地 千米； (2)甲的速度为_________km/时，乙的速度为_________km/时； (3)当t为 时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是 时； (5)当时，甲离A地的距离是 千米． 【答案】(1)10 (2)2,4 (3)5 (4)7 (5)14 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质的实际应用． 体现了一次函数在实际行程问题中的应用，考查对一次函数图像的解读以及相关公式的运用能力． （1）通过观察图像上的点的坐标，可以获取距离和时间的信息，进而计算距离． （2）利用速度 = 路程÷时间的公式来计算速度． （3）通过图像的交点来确定两人距离相等的时间． （4）根据已知的速度和路程即可求出时间的值． （5）根据已知的速度和时间即可求出路程的值． 【详解】（1）解：当时，从图象可知，此时， 即甲离地千米． （2）解：从图象可知，当时，，则甲的速度． 从图象可知，当时，，则乙的速度． （3）解：当甲、乙两人离地距离相等时，与图象相交， 从图象可知，交点的横坐标为， 即当时，甲、乙两人离地距离相等． （4）解：从图象可知，当时，对应的横坐标， 即乙离开地的时间是时． （5）解：从图象可知，当时，对应的纵坐标， 即甲离地的距离是千米． 3．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 考点27.一次函数最大利润问题 1． 某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数， 且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 2．《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个 (2)购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用． （1）分别设购进这两款玩具的个数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据所获利的利润款玩具的利润款玩具的利润计算即可； ②根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时w值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设购进 A 款玩具 x 个，购进 B 款玩具 y 个 根据题意，得， 解得， 答：购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个； （2）解：①第二次购进 B 款玩具个， 则， ∴w 关于a 的函数表达式为； ②由①得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵且 a为整数， ∴时，w最大，为元， （个）． 答：购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元 3．近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． (1)求、两种花的单价各为多少元？ (2)学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【答案】(1)种花的单价为4元，种花的单价为5元 (2)①；②种花500盆，B种花500盆，最少费用4500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． （1）设种花的单价为元，种花的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；②根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）设种花的单价为元，种花的单价为元； 根据题意得解得 答：种花的单价为4元，种花的单价为5元； （2）①根据题意得，， 即； ②， 随的增大而增大， ， 当时，取最小值，此时， 此时种花500盆，B种花500盆，最少费用4500元． 考点28.一次函数与几何综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)1 (3)或. 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 2．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 3．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数考点训练2026-2027学年北师版八年级数学上册 一、《一次函数考点梳理： 考点1.函数的概念 考点2.求自变量的取值范围 考点2.求自变量的取值范围 考点4.函数的表示方法 考点5.函数的解析式 考点6.函数图像的识别 考点7.从函数图像获取信息 考点8.正比例函数的定义 考点9.识别一次函数 考点10.根据一次函数求参数 考点11.求一次函数自变量或函数值 考点12.正比例函数图像 考点13.正比例函数的性质 考点14.判断一次函数图像 考点15.根据一次函数解析式判断其经过的象限 考点16.已知函数经过的象限求参数的服范围 考点17.一次函数的图像与坐标轴的交点问题 考点18.已知直线与坐标轴的交点求方程的解 考点19.根据一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 考点20.一次函数的平移问题 考点21.判断一次函数的增减性 考点22.根据一次函数增减性求参数 考点23.一次函数规律问题 考点24.一次函数分配方案问题 考点25.梯度计价问题 考点26.行程问题 考点27.一次函数最大利润问题 考点28.一次函数与几何综合问题 二、《一次函数考点训练： 考点1.函数的概念 1．下列各式，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项中，y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 考点2.求自变量的取值范围 1．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 2．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 考点3.求自变量的值或函数值 1．变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（   ） A． B． C． D． 3．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 考点4.函数的表示方法 1．小明和妈妈2026年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　 　） A． B． C． D． 2．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（　　 　） A． B． C． D． 3．我们知道，海拔越高，气温越低．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） … 气温（） … 根据表格中两个变量之间的关系，当海拔高度时，气温___________． 考点5.函数的解析式 1.购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化， 请写出函数解析式___________ 2．汽车行驶前，油箱中有油 ，已知每100千米汽车耗油，油箱中的余油量与它行驶的距离s（千米）之间的关系式为__________；当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了__________千米． 3．如图，梯形中，，，垂足为E，上底，下底，高，梯形的面积为y，写出y与x之间的关系式______．（不需要写出自变量x的取值范围） 考点6.函数图像的识别 1．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？ 2．如图是某地一日气温T随时间t的变化图象．下列说法中错误的是（　　 　） A．4时气温最低，最低为 B．这一日温差为 C．从14时至24时气温呈下降状态 D．这天只有一个时刻气温为 3． 南宁某地区某天的气温（　　 　）变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况． 下列说法正确的是（   ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 考点7.从函数图像获取信息 1．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点P离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2得，当时，______m；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，______m； (3)摩天轮的周长为______m． 2．河南壁画博物馆是一座以壁画为核心展陈的特色博物馆，馆藏涵盖多个朝代的珍贵壁画遗存，全方位展现了中原壁画的艺术精髓与历史价值．周末乐乐和家人一起驾车从家出发去河南壁画博物馆，在馆内参观了个小时，随后驾车去舅舅家，如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系． (1)上述过程中，自变量是__________； (2)乐乐家与博物馆的距离是__________千米，博物馆到舅舅家的距离是__________千米； (3)图象中__________； (4)乐乐一家从博物馆到舅舅家驾车行驶（图中段）的平均速度是__________千米/时． 3．如图描述了一汽车在某一笔直公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据题中提供的信息，给出下列说法： ①汽车一共行驶了； ②汽车在行驶途中停留了； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为； ④汽车自出发后至之间行驶的速度在逐渐减小． 其中，正确的说法有________（只填正确判断的序号）． 考点8.正比例函数的定义 1．下列各函数中表示是的正比例函数的是（　　 　） A． B． C． D． 2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 3．已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 考点9.识别一次函数 1．下列函数中，是的一次函数的是（　　 　） A． B． C． D． 2． 下列函数关系式：①；②；③；④；⑤， 一次函数有（　　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 考点10.根据一次函数求参数 1．若函数是一次函数，则的值为（　　 　） A． B． C． D． 2．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（　　 　） A． B． C． D． 3．若点在直线上，则代数式的值是______． 考点11.求一次函数自变量或函数值 1．下列各点不在函数上的是（　　 　） A． B． C． D． 2．下列各点在直线上的是（　　 　） A． B． C． D． 3．若一次函数的图象过点，则________． 考点12.正比例函数图像 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（　　 　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2．关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（　　 　） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 3．如图所示，正比例函数，，，则、、的大小关系为（　　 　） A． B． C． D． 考点13.正比例函数的性质 1．关于函数，下列说法错误的是（　　 　） A．当时， B．它的图象是一条过原点的直线 C．随的增大而减小 D．它的图象经过第一、第三象限 2．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 3．若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（　　 　） A． B． C． D． 考点14.判断一次函数图像 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（　　 　） A． B． C． D． 2．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线：与：的图象的位置不可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 考点15.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过（　　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 3．直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 考点16.已知函数经过的象限求参数的服范围 1．已知一次函数的图像如图所示，则、的取值范围是（　　 　） A．， B．， C．， D．， 2．若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限， 则______0．（用“<”“>”“=”填空） 3．一次函数与正比例函数的图象位置可能是（　　 　） A． B． C． D． 考点17.一次函数的图像与坐标轴的交点问题 1．一次函数y=－x－1的图象与y轴的交点坐标为（　　 　） A．(－1,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,－1) 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　 　） A． B． C． D． 3．直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 考点18.已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 2.如图，一次函数的图象分别与轴交于两点． 若，，则关于的方程的解为_________． 3．已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为______； （2）关于的方程的解为______； （3）关于的方程的解为______． 考点19.根据一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______． 2．关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为________． 3．（1）一元一次方程的解是______． （2）已知函数，当______时，函数值． （3）直线与x轴的交点坐标是______． （4）由上述问题可知， 一元一次方程的解就是一次函数中当时所对应的______的值； 从图象上看，就是一次函数的图象与______轴交点的______． 考点20.一次函数的平移问题 1．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（　　 　） A． B． C． D． 2. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， 则直线不经过（　　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．直线向上平移2个单位长度后所得到的直线与y轴的交点坐标是________． 考点21.判断一次函数的增减性 1．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 2．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　 　） A． B． C． D． 3．已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上， 则下列说法错误的是（　　 　） A． B． C． D．随的增大而减小 考点22.根据一次函数增减性求参数 1．已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________． 2. 点，在一次函数的图象上， 当时，，则a的值可以是________．（写出一个即可） 3.已知，是一次函数的图象上的两点， 且当时，，则的取值范围是__________． 考点23.一次函数规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（　　 　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（　　 　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 考点24.一次函数分配方案问题 1．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 2．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 3．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 考点25.梯度计价问题 1．某市出租车的计费方法如图所示，表示出租车行驶的里程，y（元）表示打车的费用． (1)若某乘客的乘车里程为，则他需付的打车费是多少元？ (2)当时，求y与x之间的函数关系式． (3)若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程． 2．某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 3. 为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法． 现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 考点26.行程问题 1．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 2．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地 千米； (2)甲的速度为_________km/时，乙的速度为_________km/时； (3)当t为 时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是 时； (5)当时，甲离A地的距离是 千米． 3．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 考点27.一次函数最大利润问题 1． 某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数， 且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 2．《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 3．近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． (1)求、两种花的单价各为多少元？ (2)学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 考点28.一次函数与几何综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 2．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $