专题09 一次函数实际应用问题（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题09 一次函数实际应用问题 题型1、一次函数实际应用——分段计费问题 题型2、一次函数实际应用——行程图象分析问题 题型3、一次函数实际应用——分配方案优选问题 题型4、一次函数实际应用——最大利润求解问题 题型5、一次函数实际应用——其他类型实际问题 题型6、一次函数应用——与几何结合的综合问题 题型1、一次函数实际应用——分段计费问题 1．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 2．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 3．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费和行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)由图象知，______；______；______； (2)若小明乘坐出租车9千米，需要支付车费多少元？ 【答案】(1)8，3，1.5 (2)17元 【分析】 【详解】（1）解：由函数图象可得，， ； （2）解：小明乘坐出租车9千米，需要支付车费为 （元）． 4．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/收费；当用电量超过时，超过部分按元/收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是多少？ 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， 即此家庭这个月的用电量为． 5．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2) 21元 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． 6．夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： (1)的值为________； (2)直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； (3)小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)解：若在线上购买，当时，（元）， 若在线下购买，当时，（元）， ∵， ∴选用线上购买更合算． 【分析】 【详解】（1）解：由图象可得，当时，， ∴． （2）解：由（1）有， 当时，， 当时，， 综上所述，y关于x的函数解析式为． （3）略 题型2、一次函数实际应用——行程图象分析问题 7．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 根据图象，将代入， 可得， 解得， ∴， 设， 根据图象，将，代入， 可得， 解得， ∴， 则可得， 解得， 则点P的横坐标为． 8．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 9．李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 【答案】(1) 解：由图象可知，李虹前60秒跑了360米，速度为米/秒，始终在张惠的前面，后秒跑了米，速度为2米/秒； 张惠前60秒跑了300米，速度为米/秒，后秒，跑了米，速度为米/秒； 李虹总用时80秒，张惠总用时75秒，最终张惠获胜； (2)体育老师设计这个方案的目的是为了说明长跑应在开始时保存实力，在最后的再进行冲刺，反而会获胜 【详解】（1）略 （2）略 10．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 11．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 【答案】(1)20；14 (2)4米/秒 (3)2.5秒；19秒；29秒 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，甲在空中的停留高度为20米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． （2）解：甲上升到20米处，用时5秒，则速度为： （米/秒）． （3）解：满足条件的值有3个： 秒， 秒， 秒． 12．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 【答案】(1) (2)4，40 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设直线的解析式为 代入点、 则 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：设直线，代入可得，， 解得 ∴直线 与直线表达式联立可得， 解得， 此时， ∴甲出发后在距A地处被乙追上； （3）解：由题意得， 解得 答：甲、乙两人相遇后，甲又骑行两人相距． 13．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； (2)快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 【答案】(1)1500，4； (2)分钟. 【分析】 【详解】（1）解：由图象可知：出发地到派送点的距离是1500米，小李在便利店停留了：（分钟）； （2）解：由图象可知，出发12分钟时，距离出发地600米， 出发12分钟后的速度为（米/分钟）， 设小李出发t分钟，距离派送点250米，根据题意列方程得 解得. 所以快递员小李出发分钟，距离派送点250米． 题型3、一次函数实际应用——分配方案优选问题 14．《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 15．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 16．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【分析】 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）略 17．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 18．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】 【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 19．春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 【答案】(1)256，270 (2)活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【分析】 【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； （2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 题型4、一次函数实际应用——最大利润求解问题 20．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【答案】(1)菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 (2)①；②10；450 【分析】 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 21．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 22．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 23．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 24．利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不超过65件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种服装每件的进价是80元，乙种服装每件的进价是60元 (2)购进65件甲服装，35件乙服装，最大利润为4650元 【分析】 【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价是x，则乙种服装的进价是元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以甲，乙两种服装每件的进价分别是80元，60元； （2）解：设计划购买a件甲服装，则购进件乙服装，总利润为w元，根据题意，得 ，其中， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最大， 即， 所以当购进65件甲服装，35件乙服装时利润最大，最大利润是4650元． 【点睛】应用一次函数解决实际问题的步骤：根据待定系数法求出一次函数关系式，再求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性讨论极值即可． 25．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 【答案】(1)这天加工甲种零件的工人有25人 (2)当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元 【分析】 【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人， ∴，解得：， ∴这天加工甲种零件的工人有25人； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元． 26．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 题型5、一次函数实际应用——其他类型实际问题 27．某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 28．“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 【答案】(1)漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为；函数解析式为 (2)该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费（合理即可） 【分析】 【详解】（1）解：由表格数据，漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为，即漏水量与时间成正比例函数关系， 设，将，代入得，解得， 故与的函数解析式为； （2）解：根据题意，，代入中，得， 故该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量； 节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费． 29．疫情防控不能放松，佩戴口罩是个人防护的重要措施．小明妈妈准备去药店购买一些口罩，现了解到甲、乙两个药店均有销售，标价均为1元/个．甲店的优惠方案：购买10个以上，从第11个开始按标价的七折销售．乙店的优惠方案：一律按标价的八五折销售． (1)若小明妈妈准备购买20个口罩，到哪个药店购买更省钱？ (2)求在甲、乙两个药店中，分别应付的金额（元）、（元）与购买口罩数个之间的函数关系式． (3)若小明妈妈现有24元，最多可购买多少个口罩？ 【答案】(1)在甲、乙药店购买均可 (2)， (3)最多可购买30个口罩 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴在甲店购买需花费：（元）， 在乙店购买需花费：（元）． 在甲、乙药店购买均可． （2）解：由题意，，， 即，； （3）解：当时，由解得， 即24元在甲店最多可购买30个口罩， 由解得， 即24元在乙店最多可购买28个口罩， 最多可购买30个口罩． 30．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴低谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）解：由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，； （3）解：由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 31．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． (3)由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 【答案】(1)小球到达斜面底端时的速度为 (2)3s (3) 【分析】 【详解】（1）解：观察图2可知，点是小球由静止向下滚动到底端时的速度， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， ， 点的横坐标是2， ． 小球到达斜面底端时的速度为． （2）解：观察图2 可知，设直线的解析式为， 和点在直线上， ，解得， ， 令，则． ， 该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为. （3）解：小球由两次速度达到， 在直线解析式上时，，则， 在直线解析式上时，，则， 两次间隔的时间为． 题型6、一次函数应用——与几何结合的综合问题 32．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 33．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，且．将向右平移（为整数）个单位长度得到．当和有公共点时，的最大值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：设， ∵，，， ∴根据两点间距离公式可得：， 整理得：（负根舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 由直线向右平移（为整数）个单位长度得到可设平移后的解析式为， 当直线刚好经过点时，的值最大， ∴把代入得：，解得：， ∴的最大值为6． 34．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 设正比例函数的解析式为，把代入得：，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 一次函数的图象为，如果，，不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②，平行时，， ③，平行时，， 又是一次函数，所以． 故，，可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． ∴k的值可以为． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】解：对于直线， 令，则，即， 令，则，即， ∴，， ∵， ∴， 点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，得， 即，解得， ∴， ∴． 36．如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 37．分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C，使为直角三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 【答案】，， 【详解】解：当时， ， 解得， ； 当时，， ； ， 当时， 在坐标轴上，， 此时与重合， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得； ； 综上，所有符合条件的点C的坐标为，，． 38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)1 (3)或. 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数实际应用问题 题型1、一次函数实际应用——分段计费问题 题型2、一次函数实际应用——行程图象分析问题 题型3、一次函数实际应用——分配方案优选问题 题型4、一次函数实际应用——最大利润求解问题 题型5、一次函数实际应用——其他类型实际问题 题型6、一次函数应用——与几何结合的综合问题 题型1、一次函数实际应用——分段计费问题 1．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 2．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 3．某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费和行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)由图象知，______；______；______； (2)若小明乘坐出租车9千米，需要支付车费多少元？ 4．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/收费；当用电量超过时，超过部分按元/收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是多少？ 5．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 6．夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： (1)的值为________； (2)直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； (3)小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 题型2、一次函数实际应用——行程图象分析问题 7．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 8．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 9．李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 10．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 11．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 12．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 13．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； (2)快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 题型3、一次函数实际应用——分配方案优选问题 14．《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 15．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 16．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 17．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 18．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 19．春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 题型4、一次函数实际应用——最大利润求解问题 20．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 21．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 22．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 23．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 24．利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不超过65件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 26．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 题型5、一次函数实际应用——其他类型实际问题 27．某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 28．“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 29．疫情防控不能放松，佩戴口罩是个人防护的重要措施．小明妈妈准备去药店购买一些口罩，现了解到甲、乙两个药店均有销售，标价均为1元/个．甲店的优惠方案：购买10个以上，从第11个开始按标价的七折销售．乙店的优惠方案：一律按标价的八五折销售． (1)若小明妈妈准备购买20个口罩，到哪个药店购买更省钱？ (2)求在甲、乙两个药店中，分别应付的金额（元）、（元）与购买口罩数个之间的函数关系式． (3)若小明妈妈现有24元，最多可购买多少个口罩？ 30．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 31．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． (3)由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 题型6、一次函数应用——与几何结合的综合问题 32．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 33．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，且．将向右平移（为整数）个单位长度得到．当和有公共点时，的最大值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 36．如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 37．分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C，使为直角三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数实际应用问题 题型1、一次函数实际应用——分段计费问题 1．【答案】B 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 2． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 3．【答案】(1)8，3，1.5 (2)17元 【分析】 【详解】（1）解：由函数图象可得，， ； （2）解：小明乘坐出租车9千米，需要支付车费为 （元）． 4．【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， 即此家庭这个月的用电量为． 5．【答案】(1) (2) 21元 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． 6．【答案】(1)16 (2) (3)解：若在线上购买，当时，（元）， 若在线下购买，当时，（元）， ∵， ∴选用线上购买更合算． 【分析】 【详解】（1）解：由图象可得，当时，， ∴． （2）解：由（1）有， 当时，， 当时，， 综上所述，y关于x的函数解析式为． （3）略 题型2、一次函数实际应用——行程图象分析问题 7．【答案】A 【详解】解：设， 根据图象，将代入， 可得， 解得， ∴， 设， 根据图象，将，代入， 可得， 解得， ∴， 则可得， 解得， 则点P的横坐标为． 8．【答案】1200 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 9．【答案】(1) 解：由图象可知，李虹前60秒跑了360米，速度为米/秒，始终在张惠的前面，后秒跑了米，速度为2米/秒； 张惠前60秒跑了300米，速度为米/秒，后秒，跑了米，速度为米/秒； 李虹总用时80秒，张惠总用时75秒，最终张惠获胜； (2)体育老师设计这个方案的目的是为了说明长跑应在开始时保存实力，在最后的再进行冲刺，反而会获胜 【详解】（1）略 （2）略 10．【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 11．【答案】(1)20；14 (2)4米/秒 (3)2.5秒；19秒；29秒 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，甲在空中的停留高度为20米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． （2）解：甲上升到20米处，用时5秒，则速度为： （米/秒）． （3）解：满足条件的值有3个： 秒， 秒， 秒． 12．【答案】(1) (2)4，40 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设直线的解析式为 代入点、 则 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：设直线，代入可得，， 解得 ∴直线 与直线表达式联立可得， 解得， 此时， ∴甲出发后在距A地处被乙追上； （3）解：由题意得， 解得 答：甲、乙两人相遇后，甲又骑行两人相距． 13．【答案】(1)1500，4； (2)分钟. 【分析】 【详解】（1）解：由图象可知：出发地到派送点的距离是1500米，小李在便利店停留了：（分钟）； （2）解：由图象可知，出发12分钟时，距离出发地600米， 出发12分钟后的速度为（米/分钟）， 设小李出发t分钟，距离派送点250米，根据题意列方程得 解得. 所以快递员小李出发分钟，距离派送点250米． 题型3、一次函数实际应用——分配方案优选问题 14．【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 15．【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 16．【答案】(1)；； (2) 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【分析】 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）略 17．【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 18． 【答案】(1) (2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】 【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 19．【答案】(1)256，270 (2)活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【分析】 【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； （2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 题型4、一次函数实际应用——最大利润求解问题 20．【答案】(1)菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 (2)①；②10；450 【分析】 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 21． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 22．【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 23． 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 24．【答案】(1)甲种服装每件的进价是80元，乙种服装每件的进价是60元 (2)购进65件甲服装，35件乙服装，最大利润为4650元 【分析】 【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价是x，则乙种服装的进价是元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以甲，乙两种服装每件的进价分别是80元，60元； （2）解：设计划购买a件甲服装，则购进件乙服装，总利润为w元，根据题意，得 ，其中， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最大， 即， 所以当购进65件甲服装，35件乙服装时利润最大，最大利润是4650元． 【点睛】应用一次函数解决实际问题的步骤：根据待定系数法求出一次函数关系式，再求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性讨论极值即可． 25．【答案】(1)这天加工甲种零件的工人有25人 (2)当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元 【分析】 【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人， ∴，解得：， ∴这天加工甲种零件的工人有25人； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元． 26． 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 题型5、一次函数实际应用——其他类型实际问题 27． 【答案】C 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 28． 【答案】(1)漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为；函数解析式为 (2)该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费（合理即可） 【分析】 【详解】（1）解：由表格数据，漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为，即漏水量与时间成正比例函数关系， 设，将，代入得，解得， 故与的函数解析式为； （2）解：根据题意，，代入中，得， 故该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量； 节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费． 29．【答案】(1)在甲、乙药店购买均可 (2)， (3)最多可购买30个口罩 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴在甲店购买需花费：（元）， 在乙店购买需花费：（元）． 在甲、乙药店购买均可． （2）解：由题意，，， 即，； （3）解：当时，由解得， 即24元在甲店最多可购买30个口罩， 由解得， 即24元在乙店最多可购买28个口罩， 最多可购买30个口罩． 30．【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴低谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）解：由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，； （3）解：由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 31．【答案】(1)小球到达斜面底端时的速度为 (2)3s (3) 【分析】 【详解】（1）解：观察图2可知，点是小球由静止向下滚动到底端时的速度， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， ， 点的横坐标是2， ． 小球到达斜面底端时的速度为． （2）解：观察图2 可知，设直线的解析式为， 和点在直线上， ，解得， ， 令，则． ， 该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为. （3）解：小球由两次速度达到， 在直线解析式上时，，则， 在直线解析式上时，，则， 两次间隔的时间为． 题型6、一次函数应用——与几何结合的综合问题 32．【答案】D 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 33．【答案】C 【详解】解：设， ∵，，， ∴根据两点间距离公式可得：， 整理得：（负根舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 由直线向右平移（为整数）个单位长度得到可设平移后的解析式为， 当直线刚好经过点时，的值最大， ∴把代入得：，解得：， ∴的最大值为6． 34．【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 设正比例函数的解析式为，把代入得：，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 一次函数的图象为，如果，，不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②，平行时，， ③，平行时，， 又是一次函数，所以． 故，，可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． ∴k的值可以为． 35．【答案】 【详解】解：对于直线， 令，则，即， 令，则，即， ∴，， ∵， ∴， 点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，得， 即，解得， ∴， ∴． 36．【答案】 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 37．【答案】，， 【详解】解：当时， ， 解得， ； 当时，， ； ， 当时， 在坐标轴上，， 此时与重合， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得； ； 综上，所有符合条件的点C的坐标为，，． 38．【答案】(1)； (2)1 (3)或. 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $