专题02 一次函数的图象和性质（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 一次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的定义（重） 题型2 一次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用一次函数的性质比较大小（高频） 题型4 利用一次函数的增减性求参数（高频） 题型5 一次函数图象与坐标的交点问题（重） 题型6 一次函数图象共存问题（难） 题型7 一次函数的平移问题 题型8 求一次函数的表达式（高频） 题型9 画一次函数的图象（高频） 题型10 含参数的一次函数综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的定义 1．D 2．C 3．C ◆题型2 一次函数的图象和性质 4．C 5．A 6．C ◆题型3 利用一次函数的性质比较大小 10． 11． 12． ◆题型4 利用一次函数的增减性求参数 13．11 14．或 15．或 ◆题型5 一次函数图象与坐标的交点问题 16． 17． 18．或或 ◆题型6 一次函数图象共存问题 7．A 8．D 9．A ◆题型7 一次函数的平移问题 19． 20．9 21．/ ◆题型8 求一次函数的表达式 22． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例函数的定义求出，得到表达式后，将点代入即可求； （2）先根据一次函数与轴的交点坐标求出，得到表达式后，令求出此时的坐标． 【详解】（1）解：该函数是正比例函数， ， 解得：， ∴正比例函数解析式为， 将代入， 得， 解得． （2）解：令，则， 解得：， ∴一次函数解析式为， 令，则， 解得：， ∴该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 23． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）令算出值得到轴交点坐标，令列方程求解值得到轴交点坐标． （2）先设一次函数一般式，把已知两点、坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，代回式子得到直线函数表达式． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 在中，令得： ， 解得， ． （2）设直线的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为． 24． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据求出、两点坐标，从而求出点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点的横坐标为，根据求出，据此计算即可求出坐标． 【详解】（1）解：关于， 令，则， 解得， ； 令，则， ； ， 点为线段的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：由（1）得，，， ， ， 设点的横坐标为， ， ， ， 解得， 由（1）得直线的函数解析式为， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或． ◆题型9 画一次函数的图象 25． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 26． 【答案】(1)①表格如下： ② (2) (3) 【分析】（1）①把、代入求解即可； ②描点作图即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）根据平移规律作答即可． 【详解】（1）解：①把代入，解得； 把代入，解得； 表格略； ②作图略； （2）解：由函数图象可知随增大而增大， 因此当​时，； （3）解：原函数向上平移3个单位得：， 再向右平移1个单位得：， 因此平移后直线表达式为：． 27． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. ◆题型10 含参数的一次函数综合问题 28． 【答案】(1)点不在这个函数图象上，理由如下： ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数图象上； (2) 【分析】（1）先求出正比例函数的解析式，再求出当时，的值，比较即可得出结果； （2）根据正比例函数的性质判断即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得正比例函数的解析式为， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴． 29． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 30． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6． 7．/ 8． 9．2或/或2 10．①②④ 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设，然后把，代入计算，即可作答． （2）依题意，把点代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得． ∴， 即． （2）解：由（1）得， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得． 12． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 13． 【答案】(1)解：①补全表格如下： x 1 3 y 2 ②画出一次函数的图象，如图所示： (2) 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象； （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，，当时，即，则， 补全表格略： ②略； （2）解：由（1）②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 14． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 15． 【答案】(1) (2) 解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）①略 ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 16． 【答案】 模型呈现：证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用：；； 深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现：略 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的定义（重） 题型2 一次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用一次函数的性质比较大小（高频） 题型4 利用一次函数的增减性求参数（高频） 题型5 一次函数图象与坐标的交点问题（重） 题型6 一次函数图象共存问题（难） 题型7 一次函数的平移问题 题型8 求一次函数的表达式（高频） 题型9 画一次函数的图象（高频） 题型10 含参数的一次函数综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的定义 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 3．（25-26八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（k，b为常数，）的函数叫做一次函数，当时，为正比例函数，是特殊的一次函数根据一次函数的定义形式，逐一判断各函数即可得到结果． 【详解】∵① 符合一次函数定义，是一次函数； ② ，符合一次函数定义，是一次函数； ③，是反比例函数，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 符合一次函数定义，是一次函数； ⑤中x的次数为2，是二次函数，不是一次函数； ∴一次函数共有3个． ◆题型2 一次函数的图象和性质 4．（25-26八年级下·广西来宾·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．与轴交点是 C．图象经过一、三、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据一次函数中的符号判断增减性、经过象限，再求与坐标轴交点，代入验证自变量取值对应的函数值，逐一判断选项对错． 【详解】解：中，， 随的增大而增大，故A错误． 令，得， 解得，与轴交点为，故B错误． ，， 图象经过一、三、四象限，故C正确． 当时，， ，故D错误． 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 【答案】A 【分析】利用一次函数的图像性质逐个判断选项：两个一次函数若k相同、b不同则互相平行；代入看y是否为0，判断是否过原点；根据，，确定直线经过一、二、三象限；令解方程求出与x轴交点横坐标，选出正确选项即可． 【详解】解：对于一次函数，得，， 直线与的值相等，值不相等， 两直线平行，A正确； 把代入，得，故图像不过原点，B错误； ，， 函数图像经过一、二、三象限，C错误； 令，得，解得，故函数与轴交于点，D错误． 6．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数的、符号，再结合一次函数的性质判断各选项正误即可． 【详解】解：函数为一次函数，其中，， 将代入表达式，得，故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 由随的增大而减小可知，当时，，故选项C说法错误，符合题意； ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，故选项D说法正确，不符合题意． ◆题型3 利用一次函数的性质比较大小 10．（2026·黑龙江大庆·中考真题）一次函数图象上有两点，，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】一次函数中，随的增大而增大，比较两点横坐标即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵ 在一次函数中，， ∴ 随的增大而增大， ∵ 点，在该一次函数图象上，且， ∴ ． 11．（25-26八年级下·青海西宁·期末）点和在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：直线解析式为，一次项系数， 随的增大而增大． 两点横坐标分别为和，满足， ． 12．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小. 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． ◆题型4 利用一次函数的增减性求参数 13．（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）函数（m为常数），当时，y的最小值为6，m为__________． 【答案】11 【分析】根据一次函数图象的性质得到函数值随自变量的值的增大而减小，在中，当时y取得最小值6，代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴函数值随自变量的值的增大而减小， ∴在中，当时y取得最小值6， ∴， 解得， ． 14．（25-26八年级下·上海·期中）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随的增大而增大， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数随的增大而减小， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得， 则的值为或． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． ◆题型5 一次函数图象与坐标的交点问题 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 【答案】 【分析】令，求解关于的一元一次方程，可得直线与轴的交点坐标；将代入直线，求出可得直线与轴的交点坐标． 【详解】解：求直线与轴的交点坐标： 令，得， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； 求直线与轴的交点坐标： 将代入直线，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 17．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点， 当时，即，解得，； 当时，， ，， ，． 若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下： ①当，且点在点右侧时，如图所示： 则， ． ， ； ②当时，如图所示： 则， ， ； ③当，且点在点左侧时，如图所示： 则， ． ， ． 综上，点的坐标为或或． ◆题型6 一次函数图象共存问题 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 8．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在第一象限，可得 ，对于一次函数的一次项系数，，根据图象的性质判断即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴ ， ∴一次项系数 ∴随增大而减小，排除掉选项， ∵常数项， ∴直线与轴交于正半轴，C选项交轴负半轴，不符合，只有D满足条件． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A ◆题型7 一次函数的平移问题 19．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 【答案】 【分析】一次函数向上平移后，一次项系数不变，根据上下平移“上加下减”的规律计算常数项即可得到新解析式． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为，化简得． 20．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据直线平移的规律得到平移后直线的解析式，将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴把，代入得， ∴． 21．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，再利用两图象重合对应系数相等求出和的值，最后计算． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，平移后解析式为：， ∵平移后的图象与的图象重合， ∴， ：， ∴． ◆题型8 求一次函数的表达式 22．（26-27八年级上·甘肃·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数是正比例函数，且经过点，求的值； (2)若该一次函数的图象与轴的交点坐标为，求该一次函数与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例函数的定义求出，得到表达式后，将点代入即可求； （2）先根据一次函数与轴的交点坐标求出，得到表达式后，令求出此时的坐标． 【详解】（1）解：该函数是正比例函数， ， 解得：， ∴正比例函数解析式为， 将代入， 得， 解得． （2）解：令，则， 解得：， ∴一次函数解析式为， 令，则， 解得：， ∴该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 23．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）令算出值得到轴交点坐标，令列方程求解值得到轴交点坐标． （2）先设一次函数一般式，把已知两点、坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，代回式子得到直线函数表达式． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 在中，令得： ， 解得， ． （2）设直线的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为． 24．（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 (1)求直线的函数解析式； (2)若点是射线上的动点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据求出、两点坐标，从而求出点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点的横坐标为，根据求出，据此计算即可求出坐标． 【详解】（1）解：关于， 令，则， 解得， ； 令，则， ； ， 点为线段的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：由（1）得，，， ， ， 设点的横坐标为， ， ， ， 解得， 由（1）得直线的函数解析式为， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或． ◆题型9 画一次函数的图象 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 26．（25-26八年级下·湖北荆州·期末）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 【答案】(1)①表格如下： ② (2) (3) 【分析】（1）①把、代入求解即可； ②描点作图即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）根据平移规律作答即可． 【详解】（1）解：①把代入，解得； 把代入，解得； 表格略； ②作图略； （2）解：由函数图象可知随增大而增大， 因此当​时，； （3）解：原函数向上平移3个单位得：， 再向右平移1个单位得：， 因此平移后直线表达式为：． 27．（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. ◆题型10 含参数的一次函数综合问题 28．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数的图象经过点． (1)判断点是否在这个函数图象上，并说明理由； (2)已知该函数图象上有两点，，如果，比较，的大小． 【答案】(1)点不在这个函数图象上，理由如下： ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数图象上； (2) 【分析】（1）先求出正比例函数的解析式，再求出当时，的值，比较即可得出结果； （2）根据正比例函数的性质判断即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得正比例函数的解析式为， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴． 29．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 30．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列函数中是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正比例函数形如（）． A、是正比例函数； B、为反比例函数； C、为一次函数但不是正比例函数； D、未注明． 2．（26-27八年级上·四川·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，由，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 3．（2026·陕西西安·三模）若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】一次函数的图像的平移规律为“左右平移，左加右减；上下平移，b上加下减”，据此求解即可．求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：一次函数的图像向右平移3个单位后，根据平移规律，该一次函数表达式变为，整理可得， ∵平移后的表达式为， ∴，解得． 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．当时， C．图象经过第一、三、四象限 D．图象必经过点 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性、图象与系数的关系，结合代入验证法判断各选项． 【详解】解：A．∵， ∴随的增大而增大，该选项错误； B．当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，，该选项错误； C．∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，该选项正确； D．当时，， ∴一次函数的图象不经过点，该选项错误． 5．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数中，，的符号，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、由图象可知有一条直线经过原点，则或，不合题意，故选项不正确，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 二、填空题 6．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 7．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标和的大小． 【详解】解：对于直线 ，一次项系数 ， ∴随的增大而增大， ∵，，两点横坐标满足， ∴． 8．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点，此时，周长最小，为线段的长度，根据直线解析式求出交点坐标，得出相关线段的长度，根据轴对称的性质得出相等的边和角，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，作点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点， 此时，，周长最小，为线段的长度， 当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 根据轴对称的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴周长的最小值是． 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 10．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 【答案】 ①②④ 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征判断①，根据x轴上点的坐标特征解方程判断②，利用换元后解不等式判断③，整理一元一次方程求解判断④. 【详解】解：已知一次函数，，且 ①当时， ，因此函数图象经过点，故①正确； ②当时， ，解得，因此直线与轴的交点坐标为 ，故②正确； ③由得 ，代入不等式得，即 ， 解得，故③错误； ④整理方程 得 ， 解得， 因此方程的解为，故④正确； 综上，正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知与成正比例，当时． (1)求关于的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设，然后把，代入计算，即可作答． （2）依题意，把点代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得． ∴， 即． （2）解：由（1）得， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 13．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)解：①补全表格如下： x 1 3 y 2 ②画出一次函数的图象，如图所示： (2) 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象； （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，，当时，即，则， 补全表格略： ②略； （2）解：由（1）②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2) 解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）①略 ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 16．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】 模型呈现：证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用：；； 深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现：略 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 一次函数的定义（重） 题型2 一次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用一次函数的性质比较大小（高频） 题型4 利用一次函数的增减性求参数（高频） 题型5 一次函数图象与坐标的交点问题（重） 题型6 一次函数图象共存问题（难） 题型7 一次函数的平移问题 题型8 求一次函数的表达式（高频） 题型9 画一次函数的图象（高频） 题型10 含参数的一次函数综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数的定义 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 3．（25-26八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆题型2 一次函数的图象和性质 4．（25-26八年级下·广西来宾·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．与轴交点是 C．图象经过一、三、四象限 D．当时， 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 6．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 ◆题型3 利用一次函数的性质比较大小 10．（2026·黑龙江大庆·中考真题）一次函数图象上有两点，，则______．（填“”“”或“”） 11．（25-26八年级下·青海西宁·期末）点和在直线上，则________．（填“”“”或“”） 12．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） ◆题型4 利用一次函数的增减性求参数 13．（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）函数（m为常数），当时，y的最小值为6，m为__________． 14．（25-26八年级下·上海·期中）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． ◆题型5 一次函数图象与坐标的交点问题 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 17．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． ◆题型6 一次函数图象共存问题 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． ◆题型7 一次函数的平移问题 19．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 20．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 21．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． ◆题型8 求一次函数的表达式 22．（26-27八年级上·甘肃·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数是正比例函数，且经过点，求的值； (2)若该一次函数的图象与轴的交点坐标为，求该一次函数与轴的交点坐标． 23．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 24．（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 (1)求直线的函数解析式； (2)若点是射线上的动点，且，求点的坐标． ◆题型9 画一次函数的图象 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 26．（25-26八年级下·湖北荆州·期末）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 27．（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． ◆题型10 含参数的一次函数综合问题 28．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数的图象经过点． (1)判断点是否在这个函数图象上，并说明理由； (2)已知该函数图象上有两点，，如果，比较，的大小． 29．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 30．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列函数中是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·四川·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．当时， C．图象经过第一、三、四象限 D．图象必经过点 5．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 7．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 8．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 10．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（m，n是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与轴的交点坐标为； ③若，则； ④方程的解是． 其中正确的是（写序号）_____． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知与成正比例，当时． (1)求关于的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 13．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 16．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $