重难点专题03 一次函数的图像与性质（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以k、b符号为核心，系统构建图像判断、象限分析、参数求解、平移对称及性质应用的方法体系，逻辑链从概念生成到应用拓展，典例覆盖高频考法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数的图像|8个重难点，含选择、填空、解答题|k、b符号判断图像走向与截距；象限规律分类记忆；平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”；对称变换规则|从图像基本特征（k、b作用）到应用（交点、平移、对称），形成“概念-特征-应用”链条| |一次函数的性质|5个重难点，含选择、填空、解答题|增减性由k正负决定；函数值比较用增减性或代入法；规律探究分步归纳|从性质（增减性）到参数求解、函数值比较，再到规律探究，体现“性质-应用-拓展”逻辑|

重难点专题03 一次函数的图像与性质 模块一、一次函数的图像 重难点一、判断一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)图像为直线，核心依据k、b判断图像走向与截距。k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴交点位置。多函数图像共存题型，对比各解析式k、b正负，排除倾斜方向、纵截距矛盾的图像，快速锁定正确图像。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A．B．C．D． 2．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 重难点二、根据一次函数解析式判断其经过的象限 分四类规律记忆：k>0,b>0过一、二、三象限；k>0,b<0过一、三、四象限；k<0,b>0过一、二、四象限；k<0,b<0过二、三、四象限。解题先分辨k、b正负，对照象限规律直接判定，特殊b=0时退化为正比例函数简化判断。 1．（25-26八年级下·广西防城港·期末）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 6．（25-26八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 重难点三、已知函数经过的象限求参数范围 根据图像经过象限反向推导k、b正负，列出不等式组求解参数。例如图像过一、二、四象限，则k<0，b>0。含参数的一次项、常数项分别构建不等式，联立求解取值区间，算出后代入验证，确保解析式对应象限和题干条件一致。 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，某一次函数的图象过图中A，B两点，则下面结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_______． 5．（2026·天津河东·三模）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）已知关于x的函数． (1)若这个函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 重难点四、一次函数图象与坐标轴的交点问题 求与y轴交点令x=0，算出y=b，交点(0,b)；求与x轴交点令y=0，解方程kx+b=0，得到，交点。常结合三角形面积出题，利用两交点到原点的距离作为直角边计算面积，计算时注意坐标取绝对值。 1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与轴相交于点 D．与轴相交于点 3．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（     ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 4．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）直线与轴的交点坐标是_________． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当时，_________． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若直线与坐标轴围成的三角形的面积为9，则__________． 重难点五、用描点法画函数图象 描点法分三步：列表、描点、连线。列表选取 2-3 组易计算的x值，算出对应y；在坐标系中标出坐标对应点；用平滑直线连接各点，两端适当延伸。优先选取坐标轴交点作为描点，减少计算量，画图规范标注坐标轴、关键点坐标与函数解析式。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数的图象性质． (1)画出函数的图象； 第一步：列表 x 0 1 2 3 … 4 2 1 0 1 2 … 第二步：描点 第三步：连线 (2)写出三条函数的性质； (3)当时，直接写出y的取值范围． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 重难点六、画一次函数图象 一次函数图像是直线，两点确定一条直线，无需多点描图。优先计算函数与x轴、y轴的两个交点坐标，在坐标系标记两点，用直尺连接并延长直线即可。绘图完成标注函数解析式、交点坐标，坐标轴标注刻度，区分正负半轴，保证图像规范清晰。 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 3．（22-23八年级上·全国·期末）在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像： (1)，； (2)， 4．（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 重难点七、一次函数图象平移问题 牢记平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。直线平移只改变b，k值保持不变。左右平移对x整体加减，上下平移直接对常数项加减；已知平移后解析式反推原函数，逆向使用口诀，符号反向操作，算完代入坐标验证平移距离是否匹配。 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）下列直线中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，有一点．要使直线l：经过图形变换得到的直线过点P，两位同学给出了如下两个方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 方案Ⅰ：将直线l沿y轴向下平移2个单位长度得到直线； 方案Ⅱ：作直线l关于y轴对称的直线 A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行 C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·吉林延边·期末）正比例函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______． 8．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）将直线向上平移4个单位，得到的直线解析式是_________． 重难点八、一次函数图象与对称问题 分三类对称规律：关于x轴对称，k、b全部取相反数；关于y轴对称，k取反、b不变；关于原点对称，k不变、b取反。解题先确定对称轴类型，套用符号变换规则写出对称后解析式，也可取直线上两点，求出对称点再用待定系数法求解析式，双重核对避免符号出错。 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 7．（22-23八年级上·全国·期末）（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 8．（22-23八年级上·全国·期末）对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 模块二、一次函数的性质 重难点一、判断一次函数的增减性 增减性仅由一次项系数k决定，与常数项b无关。k>0时，y随x的增大而增大，图像从左下向右上倾斜；k<0时，y随x的增大而减小，图像从左上向右下倾斜。仅给出图像时，观察直线倾斜走向即可快速判断增减性。 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与轴交点为 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 2．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象与坐标轴有两个交点 B．图象经过第二、第四象限 C．图象经过点 D．随的增大而增大 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数值随自变量的增大而减小 D．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 5．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 6．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线a：（），下列结论正确的有（     ）个 ①点在直线a上；②直线a经过定点；③当时，y随着x的增大而增大；④直线a经过第一、第二、第三象限 A．1 B．2 C．3 D．4 重难点二、根据一次函数增减性求参数 由增减性锁定k的正负，列出不等式求解参数。若函数y随x增大而增大，则一次项系数k>0；反之则k<0。解析式含参数时，整理出一次项系数代数式，构建不等式解参数范围，求出取值后代入原式验证增减性，防止漏看系数化简隐藏条件。 1．（2022八年级下·青海西宁·竞赛）已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（22-23八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一次函数，若随着的增大而增大，请写出一个符合条件的值______． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期末）若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则实数的取值范围是___________． 5．（2022·四川自贡·三模）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 6．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 7．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）已知函数的值随的增大而增大，则的取值范围为 _____． 8．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 9．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 10．（25-26八年级下·上海·期末）已知一次函数， (1)m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 重难点三、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 已知函数增减性，反向推导自变量变化：k>0，函数值变大则自变量增大，函数值变小则自变量减小；k<0规律相反，函数值变大对应自变量减小。无需代入数值计算，直接依靠k正负对应的增减规律判断，快速得出自变量增减变化。 1．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知点，在一次函数的图象上，且，则__________（填“”或“”）． 5．（25-26八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ 6．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 7．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 8．（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值，则表格中____________； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题： ①方程有____________个解； ②当时，的取值范围是____________； (4)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是____________． 重难点四、比较一次函数值的大小 两种解题方法：一是代入自变量算出函数值直接对比；二是利用增减性快速判断，k>0时自变量越大函数值越大，k<0时自变量越大函数值越小。自变量数值差距大时优先用增减性判断，省去计算步骤；含参数题型结合参数范围确定k正负后再比较。 1．（25-26八年级下·山东日照·期末）若点和点，在函数（为任意实数）的图像上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 8．（25-26八年级下·北京大兴·期末）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 9．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，如果，则的取值范围是___________． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 重难点五、一次函数的规律探究问题 先代入前几组自变量，算出对应函数值，列出坐标序列。横向观察坐标数字变化，拆分等差、循环类规律，用含n的代数式总结通用坐标或函数式。总结规律后代入已知点验证，确认规律成立，再利用推导的通用式子求解目标项，分步梳理避免规律找错。 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 2．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 3．（22-23八年级下·四川广安·阶段检测）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，则的横坐标是______． 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 6．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 7．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 8．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 一次函数的图像与性质 模块一、一次函数的图像 重难点一、判断一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)图像为直线，核心依据k、b判断图像走向与截距。k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴交点位置。多函数图像共存题型，对比各解析式k、b正负，排除倾斜方向、纵截距矛盾的图像，快速锁定正确图像。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】对于一次函数(为常数，)，当时，y随x的增 大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，图象与y轴的正半轴相交，当时，图象与y轴的负 半轴相交，当时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∴C、D选项不符合题意； ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴B选项不符合题意， 综上，A选项符合题意． 2．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象、带有字母的绝对值化简问题 【详解】解：对于选项A：是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项B：当时，，不符合题意； 对于选项C：的图象为“V”型，且交轴于点，符合题意； 对于选项D：当时，，不符合题意． 3．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 5．（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】观察已知一次函数的图象，判断和的正负，由的正负推导的正负，结合的正负，确定目标函数的图象即可． 【详解】解： 对于原函数，直线从左到右是下降的， ∴， ∵直线与轴交于正半轴， ∴， 目标函数， ∵， ∴， ∴直线是下降的， ∵， ∴直线与轴交于负半轴， ∴函数的图象为选项D． 重难点二、根据一次函数解析式判断其经过的象限 分四类规律记忆：k>0,b>0过一、二、三象限；k>0,b<0过一、三、四象限；k<0,b>0过一、二、四象限；k<0,b<0过二、三、四象限。解题先分辨k、b正负，对照象限规律直接判定，特殊b=0时退化为正比例函数简化判断。 1．（25-26八年级下·广西防城港·期末）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断图象经过的象限，即可求出不经过的象限． 【详解】解：∵ 一次函数中， ，， ∴ 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题 【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数和的符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：直线向上平移个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为， ∵， ∴直线经过第一，三象限， ∵ ， ∴ 直线与轴交于正半轴，经过第二象限， 因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限． 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数中、的符号确定图象经过的象限及增减性，结合图象上各点的位置进行判断． 【详解】解：一次函数中，， 图象与轴交于点， ， 随的增大而减小，图象经过第二、三、四象限， 当时，；当时，， 由图象得，点在第一象限，故A选项不符合题意； 点在第四象限，且纵坐标大于，故D选项不符合题意； 点在第三象限，且纵坐标小于，故C选项不符合题意； 点在第二象限，且纵坐标大于，故B选项符合题意． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数中，，的符号，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、由图象可知有一条直线经过原点，则或，不合题意，故选项不正确，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 5．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 【答案】三 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据已知的和的符号，结合一次函数的性质判断函数图像经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：在一次函数中，， 函数图像经过第二，四象限， 又， 函数图像与轴交于正半轴，图像又经过第一象限． 一次函数的图像经过第一，二，四象限，即该函数图像不经过第三象限． 6．（25-26八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 【答案】 四 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定已知直线经过的象限，结合交点在直线上，即可得到结论． 【详解】解：对于直线，由一次函数图象与系数的关系可知，，， 因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 因为直线与的交点一定在直线上，所以交点不可能在第四象限． 重难点三、已知函数经过的象限求参数范围 根据图像经过象限反向推导k、b正负，列出不等式组求解参数。例如图像过一、二、四象限，则k<0，b>0。含参数的一次项、常数项分别构建不等式，联立求解取值区间，算出后代入验证，确保解析式对应象限和题干条件一致。 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，某一次函数的图象过图中A，B两点，则下面结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案． 【详解】解：如图，作直线，则一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， 若，当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限；两种情况均经过第二象限，不符合题意， ∴，B错误，A正确． 当时，若图象不经过第二象限，可得，故C、D错误． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可． 【详解】选项A，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故A不符合题意； 选项B，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故B不符合题意； 选项C，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故C不符合题意； 选项D，如图 在中，，在中，，故D符合题意． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【难度】0.95 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的性质，由图象经过第二、四象限可确定的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、第四象限， ， 符合条件的的值可以为（答案不唯一，任意负数均可）． 5．（2026·天津河东·三模）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，解题关键是掌握一次函数图像与系数的关系，对于一次函数，当，时，图像经过第一、三、四象限，本题中，只需满足一次项系数大于，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：一次函数的图像经过第一、三、四象限， ， 解得 ， 故答案为 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】对于一次函数（为常数，），当时，的图象经过第一、三、四象限，据此列出不等式组求解即可. 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解不等式， 可得：， ． 7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）已知关于x的函数． (1)若这个函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【难度】0.67 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】（）根据函数的图象平行于直线，得，求的值即可； （）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，得到，求的取值范围即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． 重难点四、一次函数图象与坐标轴的交点问题 求与y轴交点令x=0，算出y=b，交点(0,b)；求与x轴交点令y=0，解方程kx+b=0，得到，交点。常结合三角形面积出题，利用两交点到原点的距离作为直角边计算面积，计算时注意坐标取绝对值。 1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将代入一次函数解析式，即可求出对应的y值，得到交点坐标． 【详解】解：将代入得：， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与轴相交于点 D．与轴相交于点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据和的取值判断函数图像经过的象限，再分别验证函数过定点和与坐标轴交点的情况，即可选出正确选项． 【详解】解：对于一次函数，可得，， ∵ ，， ∴ 函数图像经过一、二、四象限，故A错误； 把代入函数得，因此图像不经过原点，故B错误； 求函数与轴交点，令，得， ∴ 函数与轴交于点，故C错误； 求函数与轴交点，令，得 ，解得， ∴ 函数与轴交于点 ，故D正确． 3．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（     ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】因为函数图象过点，所以将点坐标代入可得到与的关系式，用表示，因为一次函数不经过第二象限，所以可判断和的取值范围，结合上一步得到的、关系，进一步明确的正负性，将用表示，结合的正负性判断的符号． 【详解】解：图象经过点，代入解析式得， ，即， ， 当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，． 4．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）直线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为，因此令，计算得到对应的值，即可得到直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则． 因此直线与轴的交点坐标为． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先根据x轴上点的纵坐标为0的性质求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征计算得到结果． 【详解】解：∵ 点是直线与轴的交点，轴上点的纵坐标为 ∴令，代入得， 解得 ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当时，_________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【详解】解：由图象可知：当时，． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若直线与坐标轴围成的三角形的面积为9，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别求出直线与轴轴的交点坐标，根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】解：当时，， 当时，，解得， 直线与轴轴的交点坐标分别为，； 根据题意得 ， 整理得， 解得，即. 重难点五、用描点法画函数图象 描点法分三步：列表、描点、连线。列表选取 2-3 组易计算的x值，算出对应y；在坐标系中标出坐标对应点；用平滑直线连接各点，两端适当延伸。优先选取坐标轴交点作为描点，减少计算量，画图规范标注坐标轴、关键点坐标与函数解析式。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    【答案】 函数图象如图：    【难度】0.85 【知识点】用描点法画函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查用列表法画正比例函数图象，解题思路为将已知值代入函数解析式求出对应值完成填表，再根据得到的点的坐标在坐标系中描点，最后连线即可得到函数图象，即可求解． 【详解】略 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降； (2)见解析； (3)； (4)该处的海拔高度是4千米． 【难度】0.83 【知识点】用描点法画函数图象、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息 【分析】（1）结合表格中的数据作答即可； （2）描点，连线，画图即可； （3）气温t是海拔高度h的一次函数，由表格可知，海拔每上升，气温下降，即可得解； （4）利用（3）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着海拔高度的升高，气温逐渐下降； （2）解：描点，连线，画图如下： （3）解：气温t是海拔高度h的一次函数， 由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）解：令，得， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数的图象性质． (1)画出函数的图象； 第一步：列表 x 0 1 2 3 … 4 2 1 0 1 2 … 第二步：描点 第三步：连线 (2)写出三条函数的性质； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)如图， (2)①函数的图象关于直线对称；②函数的最小值为0；③当时，y随x的增大而增大 (3) 【难度】0.7 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息 【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点，进而连线即可； （2）结合（1）中所作图象求解即可； （3）首先求出当时，；当时，，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，；当时，， ∴由图象得，当时，y的取值范围为． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 【答案】(1)全体实数； (2)①； ②； (3)答案不唯一，如：时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为；图象关于直线对称． 【难度】0.72 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息 【分析】（1）函数对任意实数均有意义，故自变量取值范围为全体实数． （2）① 将代入解析式求出的值即可得到； ② 根据表格中的对应值描点，再用线段顺次连接得到图象． （3）观察所画图象的升降趋势、最低点或对称性，写出一条性质即可． 【详解】（1）解： 函数中，取任意实数时解析式均有意义， 自变量的取值范围是全体实数． （2）解：① 当时，， ． ② 在平面直角坐标系中描出以下各点：，，，，，，，再用线段依次连接，得到函数的图象， 画图略． （3）略． 重难点六、画一次函数图象 一次函数图像是直线，两点确定一条直线，无需多点描图。优先计算函数与x轴、y轴的两个交点坐标，在坐标系标记两点，用直尺连接并延长直线即可。绘图完成标注函数解析式、交点坐标，坐标轴标注刻度，区分正负半轴，保证图像规范清晰。 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) 画出函数图象如下： (2) 【难度】0.85 【知识点】画一次函数图象、比较一次函数值的大小 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为． （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)解：列表， 描点，连线， ， ∴点，； (2)． 【难度】0.75 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】通过列表、描点、连线的步骤即可画出函数图象，再由图象可得，两点的坐标； 由，，则，，然后通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：画图略， 由图象可知，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴的面积为． 3．（22-23八年级上·全国·期末）在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像： (1)，； (2)， 【答案】(1)列表如下： 画图如下： (2)列表如下： 画图如下： 【难度】0.75 【知识点】画一次函数图象 【分析】（1）根据列表，描点，连线，即可求解； （2）根据列表，描点，连线，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【难度】0.52 【知识点】画一次函数图象、一次函数的规律探究问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. 重难点七、一次函数图象平移问题 牢记平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。直线平移只改变b，k值保持不变。左右平移对x整体加减，上下平移直接对常数项加减；已知平移后解析式反推原函数，逆向使用口诀，符号反向操作，算完代入坐标验证平移距离是否匹配。 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）下列直线中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数的性质，两条直线平行的条件是：一次项系数相等，常数项不相等，据此对比各选项即可得出结果． 【详解】解：与直线平行的是 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律即可求解． 【详解】解：将向下平移3个单位长度，得到直线的解析式为：． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据平移口诀，“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：由一次函数平移规律可得，直线向下平移个单位长度所得的直线的解析式为． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】一次函数图象平移问题 【详解】解：∵原一次函数解析式为，需向上平移3个单位长度， 根据平移规律“上加下减”， ∴平移后所得图象的解析式为． 5．（25-26八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，有一点．要使直线l：经过图形变换得到的直线过点P，两位同学给出了如下两个方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 方案Ⅰ：将直线l沿y轴向下平移2个单位长度得到直线； 方案Ⅱ：作直线l关于y轴对称的直线 A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行 C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】分别根据平移变换、轴对称变换的规则得到变换后直线的方程，再验证点是否在上，即可判断两个方案是否可行． 【详解】解：原直线：，需验证变换后是否过． 1、验证方案Ⅰ ∵直线沿轴向下平移个单位，根据平移“上加下减”规则，得的方程为：， 将代入方程，得，与点纵坐标相等， ∴在上，方案Ⅰ可行． 2、验证方案Ⅱ ∵直线关于轴对称时，将原方程中替换为即可得到对称后直线方程， ∴的方程为：， 将代入方程，得，与点纵坐标相等， ∴在上，方案Ⅱ可行． 因此方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.74 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数上下平移“上加下减”的规律求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为． 7．（25-26八年级下·吉林延边·期末）正比例函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象平移的“上加下减”原则求解即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移个单位长度，根据平移原则可得所得图象对应的函数解析式为． 8．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）将直线向上平移4个单位，得到的直线解析式是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【详解】解：将直线向上平移个单位，根据平移规律，向上平移在常数项上加平移单位长度，可得平移后的直线解析式为：， 整理得． 重难点八、一次函数图象与对称问题 分三类对称规律：关于x轴对称，k、b全部取相反数；关于y轴对称，k取反、b不变；关于原点对称，k不变、b取反。解题先确定对称轴类型，套用符号变换规则写出对称后解析式，也可取直线上两点，求出对称点再用待定系数法求解析式，双重核对避免符号出错。 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与对称问题 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 4．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式． 【详解】解：在一次函数的图象上取两点： 当时，，可得点 当时，，可得点 关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于轴对称的点分别为， 设所求直线的表达式为， 将，代入表达式得 把代入，得 解得 因此所求直线的表达式为 5．（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·全国·期末）（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与对称问题 【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即可． 【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律， 函数，向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为，即； （2）函数图象关于轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数， 因此将原解析式中的替换为， 原解析式为，代入得， 整理得． 8．（22-23八年级上·全国·期末）对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.77 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】（1）根据关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （2）根据关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （3）根据关于直线成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点在直线上，代入即可得出结果. 【详解】（1）解：关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， ∴， ∴； （2）解：关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴； （3）解：关于直线成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴. 模块二、一次函数的性质 重难点一、判断一次函数的增减性 增减性仅由一次项系数k决定，与常数项b无关。k>0时，y随x的增大而增大，图像从左下向右上倾斜；k<0时，y随x的增大而减小，图像从左上向右下倾斜。仅给出图像时，观察直线倾斜走向即可快速判断增减性。 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与轴交点为 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】利用一次函数的图象与性质，根据一次函数中，的符号，结合坐标轴交点的求解方法，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 选项A，令，得， ∴图象与轴交点为，故A错误； 选项B，∵解析式中， ∴随的增大而增大，故B错误； 选项C，∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故C正确； 选项D，当时，，则，故D错误． 2．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象与坐标轴有两个交点 B．图象经过第二、第四象限 C．图象经过点 D．随的增大而增大 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、正比例函数的性质 【详解】解：对于正比例函数，系数， ∵正比例函数图象恒过原点， ∴该函数图象与坐标轴只有1个交点，故A错误； ∵， ∴正比例函数的图象经过第二、第四象限，故B正确； 将代入，得， ∴图象不经过点，故C错误； ∵， ∴随的增大而减小，故D错误． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数值随自变量的增大而减小 D．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点计算方法，以及一次函数图象的平移规律，逐一判断各选项的正误即可得出答案． 【详解】解：已知一次函数 对于A选项，∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确； 对于B选项，令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确； 对于C选项，∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，C结论正确； 对于D选项，将函数图象向下平移4个单位长度，根据平移规律可得新函数解析式为，不是，D结论错误． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、从函数的图象获取信息 【分析】将绝对值函数拆分为分段函数分析增减区间，代入自变量求值，结合图象最低点判断函数最值，令求解与轴交点． 【详解】解：A、将代入， ，此选项说法正确，不符合题意； B、令，则，解得，图象与轴交点为，此选项说法正确，不符合题意； C、，当时，随增大而减小，并非时随增大而增大，此选项说法错误，符合题意； D、由绝对值非负可知，函数最小值为，此选项说法正确，不符合题意． 5．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 6．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线a：（），下列结论正确的有（     ）个 ①点在直线a上；②直线a经过定点；③当时，y随着x的增大而增大；④直线a经过第一、第二、第三象限 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数自变量或函数值 【分析】通过代入点坐标验证结论①②，结合一次函数的增减性和图象性质判断③④，统计正确结论的个数得到最终结果． 【详解】解：①判定：将代入，得，点满足直线方程，因此①正确． ②判定：将代入，得，该结果对任意都成立，因此直线经过定点，②正确． ③判定：根据一次函数的性质，当一次项系数时，随着的增大而增大，因此③正确． ④判定：当时，一次项系数，直线与轴交点在轴负半轴，此时直线经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，因此④错误． 综上，正确的结论共有个． 重难点二、根据一次函数增减性求参数 由增减性锁定k的正负，列出不等式求解参数。若函数y随x增大而增大，则一次项系数k>0；反之则k<0。解析式含参数时，整理出一次项系数代数式，构建不等式解参数范围，求出取值后代入原式验证增减性，防止漏看系数化简隐藏条件。 1．（2022八年级下·青海西宁·竞赛）已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【详解】解：∵一次函数中，函数值随自变量的增大而增大， ∴， ∴该函数图象必经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 2．（22-23八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一次函数，若随着的增大而增大，请写出一个符合条件的值______． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数的性质，一次函数中随增大而增大时，可得，写出一个符合条件的正数即可. 【详解】解：∵一次函数y=kx+3中，y随着x的增大而增大， ∴， 任意取一个大于的实数作为，例如.（答案不唯一） 4．（25-26八年级下·江西上饶·期末）若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ，解得． 5．（2022·四川自贡·三模）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 【答案】一、二、三 【难度】0.75 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据y随x的增大而增大得到的取值范围，结合一次函数解析式进而确定该函数的图象经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴该一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0， ∴该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 6．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】由函数图象可得，，，，再结合函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大，得出，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象可得，，，， ∵函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大， ∴， ∴． 7．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）已知函数的值随的增大而增大，则的取值范围为 _____． 【答案】 【难度】0.5 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】先根据一次函数的增减性得到，再根据在函数中，当时，的值大于或等于在函数中，当时，的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵函数，的值随的增大而增大， ∴，解得， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ∴，解得， ∴． 8．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【难度】0.4 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 9．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 当时，， ∴． 10．（25-26八年级下·上海·期末）已知一次函数， (1)m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 【答案】(1) (2)且 【难度】0.62 【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数的定义求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据一次函数的增减性可得一次项系数小于0，据此建立不等式求解即可； （2）求出函数图像与y轴交点的坐标，根据交点在x轴的上方得到交点的纵坐标大于0，据此建立不等式求出n的取值范围，再根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，则可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵在中，y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴一次函数与y轴交点的坐标为， ∵一次函数与y轴交点在x轴的上方， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴当且时，函数图像与y轴交点在x轴的上方． 重难点三、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 已知函数增减性，反向推导自变量变化：k>0，函数值变大则自变量增大，函数值变小则自变量减小；k<0规律相反，函数值变大对应自变量减小。无需代入数值计算，直接依靠k正负对应的增减规律判断，快速得出自变量增减变化。 1．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】利用一次函数增减性与已知点的函数值直接求解，无需计算解析式． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵函数图象经过点，即当时，， ∴不等式的解集为． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知点，在一次函数的图象上，且，则__________（填“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【详解】解：∵在一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【难度】0.96 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】先判断一次函数的增减性，再代入计算边界函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ 随的增大而增大， 当时，， ∵ ， ∴ ． 6．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、从函数的图象获取信息 【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集． 【详解】解：根据题图可知，该一次函数的随的增大加而增大，且点的坐标为， 故当时，． 7．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【难度】0.65 【知识点】画一次函数图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 8．（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据函数的图象经过坐标原点，可得，解方程求出的值； （2）根据函数的图象经过第一、二、三象限，可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围； （3）当时，函数解析式为，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：函数的图象经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）解：当时，函数解析式为， 当时， 可得：， 即． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【难度】0.62 【知识点】画一次函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 10．（25-26八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①的取值范围是;②的取值范围是 【难度】0.4 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求； （2）写出的阶明珠函数，分情况讨论的取值； （3）①写出的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的1阶明珠函数为 ． 点中， 将代入，得 ． 故． （2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为 ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或． （3）解：一次函数的2阶明珠函数为 ． ①当时，随增大而减小， 时，；时，， ； 当时，随增大而增大， 趋近2时，趋近；时，， ； 综上，当时，的取值范围是． ②当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 此时， ∵当时，的取值范围是， ∴， 当时，随增大而增大， 趋近2时，接近；时，． 则时，， ∵当时，的取值范围是， 且时，；， ∴， 解得， 故的取值范围是． 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值，则表格中____________； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题： ①方程有____________个解； ②当时，的取值范围是____________； (4)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是____________． 【答案】(1) (2) 函数的图象，如图所示： (3)①2；② (4) 【难度】0.4 【知识点】求一个数的算术平方根、判断一次函数的增减性、用描点法画函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把代入 中，求出y值即为m值； （2）用描点法作出函数图象即可； （3）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （4）对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴； 由二次根式的意义条件，得 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　 故答案为：一切实数． （2）略 （3）解：如图， ①∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． （4）解：对于函数的图象的对称轴是直线， 时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大； 函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 重难点四、比较一次函数值的大小 两种解题方法：一是代入自变量算出函数值直接对比；二是利用增减性快速判断，k>0时自变量越大函数值越大，k<0时自变量越大函数值越小。自变量数值差距大时优先用增减性判断，省去计算步骤；含参数题型结合参数范围确定k正负后再比较。 1．（25-26八年级下·山东日照·期末）若点和点，在函数（为任意实数）的图像上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】先判断一次函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴函数为一次函数，且随的增大而增大， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】先根据一次项系数判断函数增减趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵ 直线解析式为，一次项系数， ∴ 随的增大而减小． ∵ ， ∴ ． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】先根据一次函数系数判断随的变化趋势，再将转化为时的函数值，比较横坐标大小即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵是时的取值，三个横坐标满足， ∴对应函数值满足，即． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】先根据的定义，求出两个一次函数相等时的的值，再分情况得到的表达式，结合一次函数的增减性得到的取值范围，即可求出最小值． 【详解】解：由题意，令，解得， ， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而增大， 当时，此时， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而减小， 当时，此时， 综上，，因此的最小值为． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】先根据已知条件判断的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：三个点横坐标分别为，满足，且已知， 对于直线，随的增大而减小， 可得． 又三个点横坐标大小关系为，且时随增大而减小， ． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 7．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标和的大小． 【详解】解：对于直线 ，一次项系数 ， ∴随的增大而增大， ∵，，两点横坐标满足， ∴． 8．（25-26八年级下·北京大兴·期末）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据一次函数的性质判断函数增减性，再结合两点横坐标大小判断纵坐标大小. 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点，，在一次函数的图象上，且， ∴. 9．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，如果，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意，， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2) 解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②q的最大值为6 【难度】0.4 【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）①略 ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 重难点五、一次函数的规律探究问题 先代入前几组自变量，算出对应函数值，列出坐标序列。横向观察坐标数字变化，拆分等差、循环类规律，用含n的代数式总结通用坐标或函数式。总结规律后代入已知点验证，确认规律成立，再利用推导的通用式子求解目标项，分步梳理避免规律找错。 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，， ，， ，， ......， ，（为正整数）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·四川广安·阶段检测）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，则的横坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数的规律探究问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，正比例函数的图象，点的坐标规律，先求得，，的横坐标，由特殊情况得到一般规律，得到的横坐标是，再得出的横坐标，即可作答． 【详解】解：点的坐标为， ， 依题意，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为； 依题意，； 同理，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为； 依题意，； 同理，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为， …… 以此类推，得的横坐标是， 的横坐标是 故答案为： 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【难度】0.76 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 6．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 7．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【难度】0.71 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 8．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】根据题意分别算出的值得到，，，由此即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点的横坐标为， 在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴，则，， ∴， 同理，，，， ∴，则， ∴， ， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $