2027年中考数学满分冲刺——二次函数解析式求法

满分冲刺——二次函数解析式求法 二次函数解析式是中考函数板块的核心考点，地位举足轻重。解析式一般有一般式、顶点式、交点式三种形式，要学会根据已知条件灵活选用。求解析式的题型多变，常和图像、几何综合压轴题结合。熟练掌握求解析式的方法，是后续解决最值、动点、存在性问题的基础，是攻克中考大题的关键 1）一般式y=ax2+bx+c.代入____________的坐标列出关于____________的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点____________，可设顶点式y=____________，再将____________代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与____________的两个交点为____________时，可设y=____________，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 【例一】已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【例二】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，3）、B（﹣4，﹣12）、C（3，﹣5）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标； （3）求S△PQR． 【例三】若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）． （1）求此抛物线的函数关系式． （2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围． 【例四】已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 【例五】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，求这个函数的表达式． 1．已知函数y＝（m+3）+（m+2）x+3（其中x≠0）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 2．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 3． y关于x的函数的图象是一条开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝﹣2，求这条抛物线的顶点坐标． 4．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 5．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 6．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6． （1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：　 　． （2）直接写出抛物线的顶点坐标：　 　；对称轴：　 　． （3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标． 7．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5， （1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 8．当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求： （1）求这个二次函数的表达式； （2）这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，3）、B（1，0）、C（﹣1，8）三点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果这个二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积． 10．已知抛物线y＝x2+ax+a﹣2． （1）如果抛物线经过点（4，5），求这条抛物线的解析式； （2）求证：不论a取何值，抛物线总与x轴有两个不同的交点． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）． 12． 已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的函数表达式． 13．根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴． 14．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）这个二次函数的解析式是 　 　； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　． 15．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 16．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …… （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． 18．抛物线y＝ax2经过点（2，﹣2）． （1）求这个二次函数的关系式； （2）x为何值时，y值随着x的增大而增大？ 19．抛物线y＝a（x+h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 20．已知二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，且过（1，1）和（4，4）两点， （1）写出此二次函数解析式； （2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当x为何值时，y随x增大而增大？ 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上． （1）直接写出抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的解析式． 22．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 23．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三个点． 24．已知y＝（k﹣1）x是二次函数． （1）若其图象开口向下，求k的值； （2）若当x＜0时，y随x的增大而减小，求函数关系式． 25．已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标． 26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求二次函数的表达式； （2）画出该二次函数的图象； （3）若y＞0，请写出x的取值范围 　 　． 27．已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y＝1﹣x的图象上，求实数a的值． 28．把二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点． （1）求这个函数的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 29．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）．求： （1）抛物线的表达式； （2）求这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标． （3）直接写出y≥0时x的取值范围． 30．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，3） （1）求此二次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围． 31．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象 x … … y … … （4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为　 　． 32．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3． （1）求它的对称轴和顶点坐标； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的图象． 33．已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2． （1）求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）若此函数图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），求此函数图象与x轴的另一个交点坐标． 34．已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣ （1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 满分冲刺——二次函数解析式求法解析 例一．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数； （2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点． 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m＝， 当m＝时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x＝， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零． 例二．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，3）、B（﹣4，﹣12）、C（3，﹣5）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标； （3）求S△PQR． 【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可确定抛物线的解析式为y＝﹣x2+4； （2）根据坐标轴上点的坐标特征可确定P、Q、R的坐标； （3）根据三角形面积公式计算S△PQR． 【解答】解：（1）根据题意得，解得， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+4； （2）把x＝0代入y＝﹣x2+4得y＝4，则R点的坐标为（0，4）； 把y＝0代入y＝﹣x2+4得﹣x2+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2， 所以Q点坐标为（﹣2，0）、P点坐标为（2，0）或Q点坐标为（2，0）、P点坐标为（﹣2，0）； （3）因为PQ＝4， 所以S△PQR＝×4×4＝8． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了抛物线与x轴的交点． 例三．若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）． （1）求此抛物线的函数关系式． （2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围． 【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+4）2+3，然后把（﹣3，1）代入求出a的值即可． （2）求得抛物线的最小值，然后再求得当x＝﹣6和x＝﹣1时的函数值，即可求得当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+4）2+3， 把（﹣5，1）代入得a（﹣5+4）2+3＝1， 解得a＝﹣2， 所以抛物线解析式为y＝﹣2（x+4）2+3． （2）由y＝﹣2（x+4）2+3可知，抛物线开口向下，当x＝﹣4时，y有最大值3， 当x＝﹣6时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣15， ∴当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围为﹣15＜y≤3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质． 例四．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1； （2））∵y＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2． ∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0）， ∴其图象为： 【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键． 例五．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，求这个函数的表达式． 【分析】设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a，从而得到二次函数的解析式． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 1．已知函数y＝（m+3）+（m+2）x+3（其中x≠0）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当m+3＝0时，y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，解得m＝2， 即当m为2时，y是x的二次函数； （2）当m+3＝0时，即m＝﹣3时，y是x的一次函数； 当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝； 当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝； 即当m为﹣3或或时，y是x的一次函数． 【点评】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 2．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0， 所以m＝0； （2）依题意m2﹣m≠0， 所以m≠1且m≠0． 【点评】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 3．y关于x的函数的图象是一条开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝﹣2，求这条抛物线的顶点坐标． 【分析】根据题意得到a＞0，a2+3a＝4，解得a＝1，然后根据对称轴公式即可求得b＝4，从而求得抛物线为：y＝x2+4x+4，把解析式化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标． 【解答】解：∵y关于x的函数的图象是一条开口向上的抛物线， ∴a＞0，a2+3a＝4， 解得a＝1， ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴﹣＝﹣2， ∴b＝4， ∴抛物线为：y＝x2+4x+4， ∵y＝x2+4x+4＝（x+2）2， ∴这条抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）． 【点评】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． 4．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）令y＝0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）y＝（x2﹣2x+1）﹣4 ＝（x﹣1）2﹣4； （2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 5．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式； （2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8； （2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8； a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上． 对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 6．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6． （1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：　y＝2（x﹣2）2﹣2　． （2）直接写出抛物线的顶点坐标：　（2，﹣2）　；对称轴：　x＝2　． （3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴； （3）把y＝0代入y＝2x2﹣8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x＝0代入y＝2x2﹣8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）y＝2x2﹣8x+6＝2（x2﹣4x+4）﹣8+6＝2（x﹣2）2﹣2； （2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标是：（2，﹣2）；对称轴是：x＝2； （3）∵y＝2x2﹣8x+6， ∴当y＝0时，2x2﹣8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝6， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）． 故答案为y＝2（x﹣2）2﹣2；（2，﹣2），x＝2． 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； 7．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5， （1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）首先把x2﹣6x+5化为（x﹣3）2﹣4，然后根据把二次函数的表达式y＝x2﹣6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）利用（1）中抛物线解析式直接写出答案． 【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4； （2）由（1）知，抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4， 所以抛物线的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）． 【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法． 8．当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求： （1）求这个二次函数的表达式； （2）这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 【分析】（1）由自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3，可知顶点坐标为（4，﹣3），由此可设顶点式为y＝a（x﹣4）2﹣3，再将（1，0）代入，求出a的值，进而得到这个二次函数的表达式； （2）由抛物线的对称轴为x＝4，与x轴的一个交点的坐标为（1，0），根据二次函数的对称性即可求出这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标． 【解答】解：（1）∵当自变量x＝4时，二次函数有最小值﹣3， ∴顶点坐标为（4，﹣3）， ∴可设顶点式为y＝a（x﹣4）2﹣3， 将（1，0）代入，得9a﹣3＝0， 解得a＝， ∴这个二次函数的表达式为y＝（x﹣4）2﹣3； （2）∵y＝（x﹣4）2﹣3， ∴对称轴为x＝4， 又∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为2×4﹣1＝7． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．同时考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，3）、B（1，0）、C（﹣1，8）三点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果这个二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积． 【分析】（1）设一般式y＝ax2+bx+c，然后把A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式； （2）通过解方程x2﹣4x+3＝0可确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则D（3，0）， 所以△ABD的面积＝×3×（3﹣1）＝3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴 10．已知抛物线y＝x2+ax+a﹣2． （1）如果抛物线经过点（4，5），求这条抛物线的解析式； （2）求证：不论a取何值，抛物线总与x轴有两个不同的交点． 【分析】（1）把点（4，5）代入y＝x2+ax+a﹣2，利用待定系数法即可求得； （2）令y＝0，根据方程根的判别式Δ与0的关系来证明． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，5）， ∴5＝16+4a+a﹣2， 解得a＝﹣， ∴这条抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣． （2）证明：∵y＝x2+ax+a﹣2， ∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4， 又∵（a﹣2）2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点． 【点评】此题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题主要考查方程的根与函数系数的关系． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）． 【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）A（3，0）、B（4，3）代入y＝ax2+bx+3得，解得， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 因为a＝1＞0， 所以开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），函数的最小值为﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的函数表达式． 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣4，0），（2，0），则可设交点式y＝a（x+4）（x﹣2），然后把顶点坐标代入求出a的值即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣4，0），（2，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2）， 把（﹣1，4）代入得a•3•（﹣3）＝4，解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 13．根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴． 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值，即可求出解析式． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8， 把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a﹣8，即a＝2， 则二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6； （2）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2+c， 把（3，0）与（2，﹣3）代入得：， 解得：a＝，c＝﹣， 则抛物线解析式为y＝x2﹣． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）这个二次函数的解析式是 　y＝x2+2x﹣3　； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　﹣4≤y＜5　． 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4， 把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1， 故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3； （2）如图所示： （3）∵y＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5， 当x＝﹣0时，y＝﹣3， 又对称轴为x＝﹣1， ∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． 15．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案； （2）利用一般式代入，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）， ∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣8， 把（0，﹣6）代入得： ﹣6＝a（0+1）2﹣8， 解得：a＝2， 故二次函数的解析式为：y＝2（x+1）2﹣8； （2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3），对称轴为直线x＝1代入得： ， 解得：， 故二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式，正确掌握二次函数解析式求法是解题关键． 16．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …… （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 【分析】（1）将（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3求解； （2）利用配方法把函数写成顶点式的形式即可求解． 【解答】解：（1）将（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得： ， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1， 顶点的坐标为（1，﹣4）． 【点评】本题考查二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围． 【分析】（1）将点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c解方程后化为顶点式即可； （2）根据（1）中解析式确定对称轴，确定开口方向后，根据增减性即能确定范围． 【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c， ， 解得：， 故解析式为：y＝x2+2x﹣5， 化为顶点式为：y＝（x+1）2﹣6， 所以顶点：（﹣1，﹣6）； （2）由（1）知：y＝（x+1）2﹣6， ∴对称轴为x＝﹣1， ∵a＝1＞0， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣6， 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由于当﹣2≤x≤3时，则x＝3，y取最大值为：10， 所以：﹣6≤y≤10． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，细心就好． 18．抛物线y＝ax2经过点（2，﹣2）． （1）求这个二次函数的关系式； （2）x为何值时，y值随着x的增大而增大？ 【分析】（1）利用待定系数法，把点代入即可求得． （2）根据函数的解析式确定开口方向和对称轴，即可求得x＜0时，y值随着x的增大而增大． 【解答】解：（1）把点（2，﹣2）代入y＝ax2中得： 4a＝﹣2， 解得a＝﹣． 所以这个二次函数的关系式为y＝﹣x2． （2）∵y＝﹣x2． ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴， ∴x＜0时，y值随着x的增大而增大． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．抛物线y＝a（x+h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【分析】（1）由对称轴可求得h的值，再把（1，﹣3）代入可求得a的值，可求得抛物线解析式； （2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标； （3）由a的值可判断其开口方向，结合对称轴可求得答案． 【解答】解： （1）∵抛物线y＝a（x+h）2的对称轴是直线x＝﹣2， ∴﹣h＝﹣2，解得h＝2， ∴抛物线解析式为y＝a（x+2）2， ∵过（1，﹣3）， ∴﹣3＝9a，解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2； （2）由（1）可知其顶点坐标为（﹣2，0）； （3）∵a＝﹣＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为x＝﹣2， ∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键，注意顶点式的应用． 20．已知二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，且过（1，1）和（4，4）两点， （1）写出此二次函数解析式； （2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当x为何值时，y随x增大而增大？ 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+b，将已知两点坐标代入求出a与b的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线开口方向，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用抛物线的对称轴及开口方向，利用二次函数性质即可得到x范围． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+b， 将（1，1）和（4，4）代入得：， 解得：a＝，b＝0， 则二次函数解析式为y＝（x+2）2＝x2+x+； （2）∵a＞0，顶点坐标为（﹣2，0）， ∴二次函数有最小值，最小值为0； （3）由二次函数对称轴为直线x＝﹣2，a＞0， 得到x＞﹣2时，y随x增大而增大． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上． （1）直接写出抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的解析式． 【分析】（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2即可得到结论； （2）把抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）代入抛物线的解析式即可得到结论． 【解答】解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）； （2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）； ∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2， 即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 22．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2+bx﹣3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）先把一般式化为顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解；（1）根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， ∵a＞0， ∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一 23．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三个点． 【分析】（1）已知二次函数图象顶点坐标，设二次函数顶点式即可解答； （2）已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，设二次函数的交点式代入解答即可． 【解答】解：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣8， 把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a（0+1）2﹣8， 解得a＝2， ∴y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6， ∴二次函数的解析式为y＝2x2+4x﹣6； （2）由二次函数图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数解析式的三种形式． 24．已知y＝（k﹣1）x是二次函数． （1）若其图象开口向下，求k的值； （2）若当x＜0时，y随x的增大而减小，求函数关系式． 【分析】（1）根据二次函数的概念和图象开口向下即可求出k的值； （2）根据当x＜0时，y随x的增大而减小，可知图象开口向上，即可求出解析式． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得k＝﹣3或2； （2）∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴图象开口向上， ∴k﹣1＞0， 即k＞1， ∴k＝2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义和性质，正确把握定义和性质是解题关键． 25．已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标． 【分析】（1）利用配方法将该二次函数解析式化简成顶点式，可得到顶点坐标，对称轴等，根据a＝1可得出抛物线开口方向； （2）令y＝0，解得x的值，即可得出与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上； ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴顶点坐标（3，﹣4），对称轴为：直线x＝3； （2）令y＝0，即x2﹣6x+5＝0， 解得x＝1或x＝5， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；|a|的值越大，开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求二次函数的表达式； （2）画出该二次函数的图象； （3）若y＞0，请写出x的取值范围 　当x＞3或x＜1　． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C点的坐标代入即可求得a的值； （2）用五点法画出函数图象， （3）根据图象即可求得x的取值． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把C点的坐标代入得，3＝a（（0﹣1）（0﹣3）， 解得a＝1． 故抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3； （2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴二次函数的顶点坐标为（2，﹣1）， 如图所示： （3）由图象可得，当x＞3或x＜1时，y＞0． 故答案为：当x＞3或x＜1． 27．已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y＝1﹣x的图象上，求实数a的值． 【分析】（1）当﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0时，Δ＞0时，二次函数图象与x轴有两个交点； （2）求出顶点为（﹣a，2a），再将顶点坐标代入y＝1﹣x，求出a的值即可． 【解答】解：（1）当﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0时， Δ＝36a2﹣36（a2﹣2a）＝72a， ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴72a＞0， ∴a＞0； （2）∵y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝﹣9（x+a）2+2a， ∴顶点为（﹣a，2a）， ∵顶点在y＝1﹣x的图象上， ∴1+a＝2a， 解得a＝． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，函数图象与x轴交点与一元二次方程的判别式的关系是解题的关键． 28．把二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点． （1）求这个函数的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）把（1，0）与（2，5）两点的坐标分别代入函数解析式，列出关于k、c的方程组，通过解方程组来求它们的值； （2）抛物线与x轴的交点的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零； （3）通过配方法把二次函数解析式化为顶点式，然后根据解析式直接写出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点， ∴， 解得，， ∴该函数的解析式是：y＝x2+2x﹣3； （2）∵由（1）知，该函数的解析式是y＝x2+2x﹣3，则y＝（x+3）（x﹣1）． ∴当x＝0时，y＝﹣3，即该函数图象与y轴交于点（0，﹣3）． 又∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）， ∴该函数图象与x轴交于点（﹣3，0）和（1，0）； （3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）24，即抛物线的解析式是y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴是直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析，抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉二次函数的三种解析式． 29．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）．求： （1）抛物线的表达式； （2）求这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标． （3）直接写出y≥0时x的取值范围． 【分析】（1）直接利用顶点式代入函数解析式求出即可； （2）利用二次函数对称性进而求出抛物线与x轴的另一个交点即可； （3）根据二次函数的性质，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1）， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+1， 将（3，0）代入函数解析式得：0＝a（3﹣2）2+1， 解得：a＝﹣1． 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1； （2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1）， ∴其对称轴为直线x＝2， ∵这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）， ∴这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：（1，0）； （3）∵a＝﹣1， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和（3，0）， ∴当1≤x≤3时，y≥0． 【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数对称性，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． 30．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，3） （1）求此二次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）先计算出y＝1对应的自变量的值，然后结合图象，写出y≤﹣1所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得， 所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x1＝1+，x2＝1﹣， 当x≤1﹣或x≥1+时，y≤﹣1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质和圆． 31．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象 x … … y … … （4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为　﹣4≤y＜0　． 【分析】（1）利用配方法得到顶点坐标； （2）通过解方程x2+2x﹣3＝0得抛物线与x轴的交点坐标； （3）利用描点法画二次函数图象； （4）结合函数图象和二次函数的性质确定y的范围． 【解答】解：（1）∵y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）； （3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3； 当x＝﹣2时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3； 抛物线经过点（0，﹣3），（﹣2，﹣3）， （4）﹣4≤y＜0． 故答案为﹣4≤y＜0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 32．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3． （1）求它的对称轴和顶点坐标； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的图象． 【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得到抛物线与x轴的交点坐标； （3）利用描点法画出二次函数的图象． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （3）如图， 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性 33．已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2． （1）求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）若此函数图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），求此函数图象与x轴的另一个交点坐标． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m﹣2）2+4＞0，则可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）把（﹣3，0）代入解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式为：y＝x2+x+；然后解方程x2+x+＝0得抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【解答】（1）证明：△＝m2﹣4（m﹣2） ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4＞0， ∵（m﹣2）2，≥0， ∴Δ＞0， ，∴无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣3，0）， ∴（﹣3）2﹣3m+m﹣2＝0，解得m＝， ∵二次函数的解析式为：y＝x2+x+； 当y＝0时，x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0）， 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数（Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）． 34．已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣ （1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点； （3）利用二次函数的性质确定x的范围． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2， 所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）； （2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）； 当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，Δ＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点； 即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）； （3）当x＜1时，y随x的增大而增大． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质 学科网（北京）股份有限公司 $