专题十六 二次函数-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 以中考真题为载体，系统覆盖二次函数概念、图像性质及综合应用，通过"问题情境-方法提炼-变式迁移"构建完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|选择1-6题|待定系数法、顶点式转化|从解析式到图像特征的双向推导| |图像性质|选择7-22题、填空23-27题|数形结合、分类讨论、参数分析|对称轴、最值、增减性的综合应用| |综合应用|解答28-46题|动态几何建模、函数与方程思想|从静态计算到动态探究的能力进阶|

专题十六 二次函数 一．选择题（共22小题） 1．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 3．（2026•巴中）关于二次函数yx，下列说法正确的个数是（　　） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当x＞3时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由y向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线y＝kx+1（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论： ①0； ②b+4a＝0； ③a﹣b+3c＞0； ④； ⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 7．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2026•内江）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2 9．（2026•宜宾）点P是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论： ①当点P在x轴上时，a＝1；②点P在直线y＝2x上；③m+2t＜1；④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点的直线与抛物线交于M、N两点，则． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2026•福建）已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2026•天津）矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（2026•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．b+4a＝0 C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0 13．（2026•眉山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2026•乐山）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论： ①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2； ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 16．（2026•山东）如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（　　） A．2a+b＝0 B． C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2 17．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 18．（2026•南充）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．﹣3或1 C．或 D．或1 19．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 20．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③﹣4a＜y最小值；④若方程ax2+bx+c0有实数根，则b2﹣4ac＞a．其中正确结论的序号为（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 21．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2026•泸州）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”； ②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”； ③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 23．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 24．（2026•巴中）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点重合），过点D作DG⊥AB于点G．下列说法正确的有　 　 ．（填写序号） ①0＜DG＜1； ②S△ADG＞S△BDG； ③设AG＝x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG． 25．（2026•广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为　 　 ． 26．（2026•苏州）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　 　 ． 27．（2026•南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为　 　 ． 三．解答题（共19小题） 28．（2026•广东）如图1，设O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC． （1）求二次函数的解析式； （2）求cos∠ABC的值； （3）如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值． 29．（2026•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是　 　 （填序号）； ①a＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③当x＝1时，y有最小值为﹣4； ④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长． 30．（2026•广元）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标； （3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求的值． 31．（2026•绥化）综合与探究 已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点P的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答） 32．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点． （1）求抛物线的表达式． （2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值． （3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 33．（2026•甘孜州）如图1，抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与x轴负半轴交于点A，与y轴交于． （1）求抛物线的解析式； （2）将原点O，点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD的平分线交CD于点E． ①求点E的坐标； ②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G，连接DG交抛物线于点H，连接EH，当∠DEH＝∠DEF时，求点H的横坐标． 34．（2026•湖北）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．点P在直线BC上，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，点H是抛物线上位于第四象限的点，PH平行于x轴．当t＝1时，求点H的坐标； （3）点Q在直线BC上且位于点P的右上方，PQ＝2．过点P，Q分别作x轴和y轴的垂线，四条垂线围成四边形PEQF．若四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N，记M，N的纵坐标之和为f． ①当点P在线段BC上时，求f关于t的函数解析式； ②当f时，直接写出t的值． 35．（2026•齐齐哈尔）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； （3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线AC方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q的坐标为　 　 ； （4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为　 　 ． 36．（2026•黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）作射线BD交y轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD的长为　 　 ． 37．（2026•河北）如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P．将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D． （1）若t＝1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上． （2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值． （3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值． 38．（2026•宜宾）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD的形状，并说明理由； （3）如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF面积的最小值． 39．（2026•河南）定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”． （1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值． 40．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 41．（2026•福建）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c． （1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点； （3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，E是y轴上不与点C重合的点．若坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD和DE的数量关系，并证明． 42．（2026•攀枝花）已知二次函数y＝3x2﹣4ax+4，其中a为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 43．（2026•乐山）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点P． （1）求A、B两点的坐标； （2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点． ①若A、B两点到直线l距离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若∠DPE＝90°，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 44．（2026•苏州）将一个二次函数y＝ax2+bx+c与一个一次函数y＝mx+n求和，可以得到一个新的二次函数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． （1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），求m，n的值； （2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3对一次函数y＝mx+n“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点．当△ABM的面积为4时，求m的值． 45．（2026•武威）抛物线ybx+c与x轴交于A，C（2，0）两点，与y轴交于点B（0，﹣6）．动点D在线段OB上（点D与点O不重合）． （1）求抛物线ybx+c的表达式； （2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN． ①如图1，当BD＝4时，求正方形CDMN的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； （3）如图3，在动点D的正上方有另一动点E（0，p），且ED，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接AE，CD，求AE+CD的最小值和此时p的值． 46．（2026•江西）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1与C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C． ①试猜想a1与a2的数量关系，并证明； ②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求（h2﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值． 参考答案 一．选择题 1．【答案】B 【解析】解：∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0， ∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴A，B两点的坐标为 （﹣3，0）和 （3，0）， ∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6， 故选：B． 2．【答案】C 【解析】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90， ∴当x＝30时，y取得最大值90， 即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm， 故选：C． 3．【答案】C 【解析】解：∵， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）， ①令y＝0，得， 解得x＝0或x＝4，即抛物线与x轴交于（0，0）和（4，0）， ∵抛物线开口向上， ∴当x＜0时，恒成立，不存在x＜0且y＜0的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵开口向上，对称轴为x＝2， ∴x＞2时，y随x的增大而增大，又3＞2， ∴x＞3时y随x的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得x2﹣4（k+1）x﹣4＝0， ∵Δ＝[﹣4（k+1）]2﹣4×1×（﹣4）＝16（k+1）2+16＞0恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 故选：C． 4．【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴， ∴a＜0，， ∴b＝4a＜0， ∴，故①错误； ∵b＝4a， ∴b﹣4a＝0，故②错误； ∵a＜0，c＞0， ∴c﹣a＞0， ∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5， ∴c＝4a+5， 由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0， ∴4a+8a+4a+5＞0， ∴， 由图象可得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0， ∴9a+12a+4a+5＜0， ∴， ∴，故④正确； ∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2， ∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标， ∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1）， ∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点， ∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 故选：B． 5．【答案】A 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝1，最小值为2， 当a＞1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而增大，故选项B和D不符合题意； 当﹣1≤a≤1，a≤x≤a+2时，t的值恒为2， 当a＜﹣1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而减小，故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 6．【答案】B 【解析】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣5）2﹣4， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，﹣4），当x＞5时，y随x的增大而增大， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 7．【答案】B 【解析】解：由二次函数图象可得： ∵抛物线开口向下， ∴a＜0； 顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1， 由对称轴公式， 整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0； 抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0； 抛物线与x轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4． ∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3）， 将x＝3代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c， 把b＝﹣2a代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c， ∵3＜m＜4，说明直线x＝3在交点B左侧，此位置抛物线图象在x轴上方， ∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴， ∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确； 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点P到对称轴x＝1的距离：|t﹣1|， 点Q到对称轴x＝1的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|， 平方作差比较距离大小：|t﹣12|﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3， ∵， ∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|， ∴点P离对称轴更近，y1＞y2，故④正确； 由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m， ∵OA＝OB， ∴m＝c，即B（c，0）， 将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac， 设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0的两根为x1，x2， 由韦达定理可得：， 将b+1＝﹣ac代入得：，故⑤正确； 综上所述正确结论一共有3个， 故选：B． 8．【答案】B 【解析】解：由图象可得， 图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故选项A错误，不符合题意； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故选项B正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线x3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 9．【答案】B 【解析】解：∵y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）＝﹣[x﹣（a﹣1）]2﹣2a+2， ∴顶点P坐标为（a﹣1，﹣2a+2）， ①若P在x轴上，则顶点纵坐标为0，即﹣2a+2＝0， 解得 a＝1，故①正确； ②将x＝a﹣1代入y＝2x＝2（a﹣1）＝2a﹣2，当a≠1时，2a﹣2≠﹣2a+2， ∴点P不在直线y＝2x上，故②错误； ③∵A（﹣1，m），B（t，m）纵坐标相同，对称轴为x＝a﹣1， ∴， 解得t＝2a﹣1， 将A（﹣1，m）代入抛物线得m＝﹣（﹣1）2+2（a﹣1）（﹣1）﹣（a2﹣1）＝2﹣2a﹣a2， ∴m+2t＝2﹣2a﹣a2+2（2a﹣1）＝﹣a2+2a＝﹣（a﹣1）2+1≤1， 当a＝1时，m+2t＝1，不满足m+2t＜1，故③错误； ④∵顶点P坐标为 （a﹣1，﹣2a+2）， ∴yp＝﹣2a+2＝﹣2（a﹣1）＝﹣2xp， ∴P所在直线为y＝﹣2x， 将y＝m代入y＝﹣2x得，m＝﹣2x， 解得， ∵当点P所在直线与线段AB没有交点时， ∴x＜﹣1或x＞t＝2a﹣1， ∴或， 整理得，a（a+2）＜0或a（a﹣2）＞0， ∵t＝2a﹣1＞﹣1， ∴a＞0， ∴a（a+2）＜0无解； ∵a（a﹣2）＞0， ∴a﹣2＞0， ∴a＞2，故④正确； ⑤∵点P（a﹣1，﹣2a+2）在原点， ∴a﹣1＝0，﹣2a+2＝0， ∴a＝1， ∴抛物线为y＝﹣x2， 当过的直线是x＝0时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，4x2+4kx﹣1＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2＝﹣k，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴．故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 故选：B． 10．【答案】C 【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）， ∴a＝9﹣6n，b＝25﹣10n， ∵a＜b，且ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴， 解得n， ∴n可以为2，n不可以取0，1，3， 故选：C． 11．【答案】D 【解析】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm， ∴可分下面三种情形分析： 当0＜t≤5时，St2； 当5＜t≤7时，St； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t． ①当t＝6s时，如图所示， ∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ， 又∵AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确； ②当0＜t≤5时，St2，则S最大值为； 当5＜t≤7时，St，则S最大值为； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t（t﹣6）2+18，此时最大值小于， 综上，△APQ的最大面积为cm2，故②正确； ③当0＜t≤5时，St2， 令S＝10，则t＝2s，负值舍去； 当5＜t≤7时，St， 令S＝10，则t＝4＜5，不合题意； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t， 令S＝10，则t2+6t＝10， ∴t＝2或10， ∵7＜t＜12， ∴t＝10． 综上，t＝2s或t＝10s，故③正确． 故选：D． 12．【答案】D 【解析】解：观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0， 故abc＜0，则A选项错误； 由图象可得对称轴为直线x2， 故b＝4a，则B选项错误； 由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣5）＝1， 此时a+b+c＝0，即a+4a+c＝0， 即5a+c＝0，则C选项错误； 观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，则D选项正确， 故选：D． 13．【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a＜0， ∴3a+b＝3a﹣2a＝a＞0，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点）， ∴﹣3≤c≤﹣2， ∵抛物线过（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴﹣3≤﹣3a≤﹣2， ∴a≤1，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x＝1时，二次函数值有最小值n， ∴a+b+c≤am2+bm+c， ∴a+b≤am2+bm，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n），且抛物线开口向上， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有没有的实数根，故④错误． 综上，正确的有②③，共2个． 故选：B． 14．【答案】B 【解析】解：①由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故①正确； ②由题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x， ∴顶点坐标为（，c），故②错误； ③∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x， ∴|﹣1|＞|3|． ∴当3时，即b＜﹣6，则13，符合题意； 当﹣31时，即﹣6≤b≤2，则13，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2； 当1时，即b＞2，则1＞3，无解， ∴b＜﹣2，故③错误； ④由题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n， 不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n， ∴mbx1+c，nbx2+c， ∴m﹣n＝（bx1+c）﹣（bx2+c） bx1bx2． ∴m﹣n的值与c无关，故④正确． 故选：B． 15．【答案】C 【解析】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x1.5，已知根0.5＜x1＜0.75，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣0.75＜x2＜﹣1.5×2﹣0.5，即﹣3.75＜x2＜﹣3.5， ∴另一根更接近的是﹣3.5． 故选：C． 16．【答案】B 【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0． ∵顶点P的坐标为（2，3）， ∴对称轴为直线x＝2，即， ∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故A错误； 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 令x＝0，得y＝4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为（0，4a+3）． 由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y＝1的下方， ∴0＜4a+3＜1， 解得，故B正确； 根据图象得：当x＝2时，y＝ax2+bx+c取得最大值为：y＝4a+2b+c， 对任意实数t，at2+bt+c≤4a+2b+c， ∴at2+bt≤4a+2b，故C错误； ∵对称轴为x＝2， ∴|1﹣m﹣2|＝|m+1|，|1+m﹣2|＝|m﹣1|， 当m＝0时，两点到对称轴的距离相等，y1＝y2，故D错误． 故选：B． 17．【答案】A 【解析】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错； ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＝0， ∴c＝3a， ∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2， ∴，③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵c＝3a， ∴点C的坐标为（0，3a）， 当x＝2，可得y＝4a+2b+c， 将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a， ∴点P的坐标为 （2，﹣a）， ∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2， ∵∠CPB＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 可得4+16a2+1+a2＝9+9a2， 解得或， ∵a＜0， ∴，④正确． ④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a） ∵∠CPB＝90° ∴CP⊥PB ∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1 ∴④正确 综上，正确的说法为②③④， 故选：A． 18．【答案】A 【解析】解：设过原点直线l：y＝kx（k≠0）， 联立方程组，则mx2＝kx， ∴x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得； 联立方程组，则（m+2）x2＝kx， ∴x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得． ∴，， ∵OA2＝3OA1， ∴|m|＝3|m+2|． ∴m＝﹣3或m． 故选：A． 19．【答案】C 【解析】解：将点 （﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵a＝﹣1＜0， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4， ∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B正确； 又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3， ∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C错误； b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D正确， 故选：C． 20．【答案】D 【解析】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0）， ∴对称轴，a﹣b+c＝0，y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am， ∴b＝（1﹣m）a，c＝﹣am， ∵2＜m＜3， ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∴， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确； 3a+c＝3a﹣am＝a（3﹣m）， 由a＞0和2＜m＜3可得3a+c＝a（3﹣m）＞0，故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵2＜m＜3，， ∴当2＜m＜3时，随m增大而减小， 当m＝2时，； 当m＝3时，y最小值＝﹣4a； ∴，故③正确； ④∵方程有实数根， ∴，即b2﹣4ac﹣2a≥0， ∴b2﹣4ac≥2a， ∵a＞0， ∴2a＞a， ∴b2﹣4ac＞a，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：D． 21．【答案】C 【解析】解：因为 x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … ，c＜0， ∴当﹣2＜x＜0，y随x的增大而减小， ∴开口向上，a＞0，故①正确； 当x＝0，x＝2时，y为c， ∴对称轴为直线x1， 即1， 即2a+b＝0，故②正确； ∵开口向上，对称轴为直线x1， ∴当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c过x轴的另一个交点为（4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确， 故选：C． 22．【答案】B 【解析】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即， ①联立，则， 整理得3x2＝1， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ②联立， ∵y＝|x﹣1|≥0， ∴x＞0， 当x≥1时，，整理得x2﹣x﹣1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0， 解得，， 正根x，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③联立， ∴， 画出函数和y＝2x2+1图象的草图如图所示： ∴由图象知：函数和y＝2x2+1图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④联立， 整理得kx2+2x﹣1＝0， 当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得，y＝2，满足，是倒数点， 此时k＝0＞﹣1，故④错误； 综上，正确的结论共2个， 故选：B． 二．填空题 23．【答案】m＜﹣1． 【解析】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 24．【答案】①②③④． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为1， ∴∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1， ∵DG⊥AB， ∴，BG， ∵D为BC边上的动点（不与端点重合）， ∴0＜BD＜1， ∴，，故①说法正确； ∵AG＝AB﹣BG＝1﹣BG， ∵， ∴， ∴AG＞BG， ∵，， ∴S△ADG＞S△BDG，故②说法正确； 设AG＝x，则有BG＝1﹣x， ∴， ∴， ∴△ADG的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点D作DH⊥AC，如图所示： ∵， 设AG＝x，则BG＝1﹣x， ∴BD＝2BG＝2﹣2x， ∴DC＝BC﹣BD＝2x﹣1， ∴， ∴， ∵，S△ACD＝S△ADG， ∴， 解得：x（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG， 故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 25．【答案】26． 【解析】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣20）2+26， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20． ∴当x＝20时，y取最小值为26． 故答案为：26． 26．【答案】5． 【解析】解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（m，1）． 因为点B在直线y＝a上且BN⊥l， 所以BN＝a﹣1． 由x2﹣2mx+m2+1＝a得， x， 所以AB． 因为四边形ABNM为正方形， 所以AB＝BN， 则， 解得a＝1（舍去）或a＝5， 所以a的值为5． 故答案为：5． 27．【答案】1或3． 【解析】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0， ∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2． ∵AB， ∴|x1﹣x2|． ∴m2﹣4m+3＝0， ∴m＝1或3． 故答案为：1或3． 三．解答题 28．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）； （3）． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0）， ∴﹣9﹣3b+3＝0， 解得：b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 如图1，过点C作CK⊥AB于K， ∵A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，0）， ∴AC＝2，AB＝3，BC， ∵cos∠BAC，即， ∴AK， ∴BK＝AB﹣AK＝2， ∴cos∠ABC； （3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G， 由（2）知OA＝OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴∠A＝45°， ∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE为等腰直角三角形， ∵QP⊥AB， ∴△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP， ∴， 设PQ＝PD＝m，则， 同理设DE＝AE＝n，则， ∴OE＝OA﹣AE＝3﹣n， ∴， 将点代入y＝﹣x2﹣2x+3， 则， 整理得，， ∵， ∴， 整理得，， ∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴F（﹣1，4）， 同理可得△ACG为等腰直角三角形， ∴CA＝CG＝2， ∴G（﹣1，2）， ∴BF2+BG2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2+（﹣1﹣0）2+（3﹣2）2＝4，FG2＝（4﹣2）2＝4， ∴BF2+BG2＝FG2， ∴BF⊥AB， ∴当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G， ∴0＜n≤2， ∵， ∴当时，BP+2PQ取得最大值， ∴最大值为． 29．【答案】（1） （2）①②③； （3）2． 【解析】解：（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）由函数图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，①正确； 抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确； 由图象可得，当x＝1时，y有最小值为﹣4，③正确； 由图象可得，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （3）根据函数图象可得，顶点坐标为（1，﹣4），故设表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点（0，﹣3）代入得，a﹣4＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴沿y轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4﹣6，即为y＝（x﹣1）2﹣10， 令y＝0，则（x﹣1）2﹣10＝0， 解得，， ∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣10与x轴的交点为， ∴． 30．【答案】（1）yx2+x+2； （2）E（2，5）； （3）． 【解析】解：（1）yx+2与x轴交点A（﹣4，0），B（0，2）， ∵点P为线段AB的中点， ∴P（﹣2，1）， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点， ∴y＝a（x+2）2+1， 将B点代入，4a+1＝2， 解得a， ∴yx2+x+2； （2）设直线PE与x轴交于F点，过P作PH⊥x轴交于H， ∵∠BPE+∠BAO＝45°， ∴∠FPH+∠BAO＝∠PFH＝45°， ∵PH＝1， ∴FH＝1， ∴F（﹣3，0）， ∴直线EF的解析式为y＝x+3， 当x+3x2+x+2时，解得x＝2或x＝﹣2， ∴E（2，5）； （3）设G（m，m+2）， ∴y＝a1（x﹣m）2m+2，y＝a2（x﹣m）2m+2， ∵A点在抛物线F1上，B点在抛物线F2上， ∴a1（﹣4﹣m）2m+2＝0①，a2m2m+2＝2②， ∵a1+2a2＝0③， 联立①②③，解得m或m＝﹣4（舍）， 过G点作GK⊥x轴交于K点， ∴， ∴． 31．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）P（2，6）； （3）或． 【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（4，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， ∴M（m，﹣m+4）， ∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴S＝S1+S2 ， ∵， 当m＝2时，面积有最大值． 此时，﹣m2+3m+4＝6． 即P点坐标为（2，6）； （3）∵原抛物线沿射线BC方向平移后经过点C， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点． 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度， 则， 新抛物线y'的对称轴是，点， 设点， 过点F作FG⊥y轴，垂足为G， ∴， ∵FO平分∠CFE， ∴∠EFO＝∠CFO， ∵EF∥y轴， ∴∠EFO＝∠COF， ∴∠CFO＝∠COF， ∴CO＝FC＝4， 在△FGC中，， ∴如图1，， 如图2，， ∴、． 32．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2； （2）1； （3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）由（1）可知：抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2， ∴令x＝0时，则有y＝2，即C（0，2）， 连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0， ∵A（﹣2，0），C（0，2）， ∴OA＝OC＝2，，，， ∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1， 当t＝﹣1时，△ACD的面积最大，最大值为1； （3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，理由如下： ∵A（﹣2，0），C（0，2），B（1，0）， ∴OA＝OC＝2，OB＝1， ∴，∠ACO＝45°， 过点O作OE∥CQ，交AC于点E，过点E作EG⊥OC，取OA的中点F，连接CF，过点F作FH⊥BC，过点O作OP⊥AC，如图所示： ∴，∠ACQ＝∠OEC，， ∵OC⊥BF， ∴， ∴∠BCO＝∠FCO， ∴∠BCF＝2∠BCO＝∠ACQ＝∠OEC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设OE的解析式为y＝kx，则有， ∴，， ∴OE的解析式为， ∵OE∥CQ， ∴设直线CQ的解析式为，把点C（0，2）代入得：m＝2， ∴直线CQ的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 33．【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与y轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）①∵抛物线与x轴负半轴交于点A， ∴A（﹣12，0），对称轴为， 原点O，点B关于抛物线对称轴x＝﹣3对称的点分别记为点C，点D， ∴C（﹣6，0），， ∴OC＝6，AC＝﹣6﹣（﹣12）＝6，， ∴，即∠OAD＝60°， ∵AE平分∠OAD， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②设，G（g，0）（g＞﹣6）， 设直线EG的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线EG的解析式为， 设直线DH的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线DH的解析式为yhx+6h， ∴， ∴， 如图，延长EF到，使得EJ＝EH，连接HJ， ∵∠DEH＝∠DEF， ∴ED⊥HJ，ED是中线， ∴ED是HJ的垂直平分线， ∴点H和点关于CD对称， ∴， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴点H的横坐标为． 34．【答案】（1）c＝﹣3； （2）； （3）①；②或或． 【解析】解：（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线y＝x2﹣2x+c，得0＝1+2+c， 解得c＝﹣3； （2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3 或x＝﹣1， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 设直线BC的表达式为 y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，﹣3）代入得， 解得， ∴直线BC的表达式为 y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝﹣2， ∴当 t＝1时，P（1，﹣2）， ∵PH平行于x轴， ∴H的纵坐标为﹣2， ∵点H是抛物线上位于第四象限的点， 又∵x2﹣2x﹣3＝﹣2，化简得x2﹣2x﹣1＝0，b2﹣4ac＝8， 解得， ∴； （3）由（2）知直线BC的表达式为y＝x﹣3， ∴P（t，t﹣3）， 设点Q的坐标为（a，a﹣3）， ∵， ∴， 化简得2（a﹣t）2＝8， 解得|a﹣t|＝2， ∵点Q在直线BC上且位于点P的右上方， ∴a＞t， ∴a﹣t＝2，即a＝t+2， ∴Q（t+2，t﹣1）， ∴四边形PEQF是边长为2的正方形， 如图，当PQ沿BC移动时，点E沿ED移动，点F沿FG移动， 上图中点Q和点C重合， ∴Q（0，﹣3）， ∴P（﹣2，﹣5）， ∴E（﹣2，﹣3），F（0，﹣5），D（0，﹣1），G（2，﹣3）， 当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴点G在抛物线上， 设直线ED的表达式为 y＝kx+b， 把E（﹣2，﹣3），D（0，﹣1）代入得， 解得， ∴直线ED的表达式为y＝x﹣1， 设直线FG的表达式为y＝kx+b， 把F（0，﹣5），G（2，﹣3），代入得， 解得， ∴直线FG的表达式为y＝x﹣5， ∴点E在直线y＝x﹣1上运动，点F在直线y＝x﹣5上运动， 如图， 令x2﹣2x﹣3＝x﹣1，解得， 令x2﹣2x﹣3＝x﹣5，解得x＝1或x＝2， ∴点J的横坐标为，点K的横坐标为，点L的横坐标为1，点T的横坐标为2， ∴当四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M，N时，， ①当点P在线段BC上时，0≤t≤3， 点P从点B往点C运动的过程中，当0≤t≤时，即点Q在线段BC上时，如图，此时点M的纵坐标为点P的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ∴f＝（t﹣3）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣6， 点P从点B往点C运动的过程中，当1＜t≤3时，即点Q在线段BC右上方时，如图，此时点M的纵坐标为点P的纵坐标，点N的纵坐标为点Q纵坐标， ∴f＝（t﹣3）+（t﹣1）＝2t﹣4， 综上所述，当点P在线段BC上时，； ②当﹣2＜t≤﹣1时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ∴f＝（t﹣1）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣4， 当时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N的纵坐标为点P的纵坐标， ∴f＝（t﹣1）+（t﹣3）＝2t﹣4， 当时，如图，点M的纵坐标为点P横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N的纵坐标为点P的纵坐标， ∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣3）＝t2﹣t﹣6， 当时，如图，点M的纵坐标为点P横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N的纵坐标为点Q的纵坐标， ∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣1）＝t2﹣t﹣4， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当﹣2＜t≤﹣1时，，化简得，b2﹣4ac＝3，解得，不符合﹣2＜t≤﹣1，舍去； 当时，，解得，符合； 当时，，化简得，b2﹣4ac＝3，解得，符合；，不符合，舍去； 当0≤t≤1时，，化简得，b2﹣4ac＝11，解得，，符合0≤t≤1；，不符合0≤t≤1，舍去； 当1＜t≤3时，，解得，不符合1＜t≤3，舍去； 当时，，化简得，b2﹣4ac＝﹣5＜0无解； 综上所述，当时，t的值为或或． 35．【答案】（1）； （2）当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）； （3）（5，2）或； （4）． 【解析】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+4， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设点， 当x＝0时，， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∵B（4，0）， ∴4k+4＝0，则k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为 y＝﹣x+4， ∵PD⊥x轴， ∴E（m，﹣m+4）． ∴， ∵， ∴当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）； （3）对于，当x＝0时，y＝4，则C（0，4）， ∵A（﹣2，0），， ∴将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线AC的解析式为y＝px+4， 将A（﹣2，0）代入，得0＝﹣2p+4， 解得p＝2， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， ∵∠CBQ＝∠ACB， ∴BQ∥AC， ∴设直线BQ的解析式为y＝2x+t， 将B（4，0）代入，得0＝8+t，解得t＝﹣8， ∴直线BQ的解析式为y＝2x﹣8， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴Q（5，2）； 当点Q在x轴下方时，如图，设， ∵OB＝OC＝4，OA＝2， ∴∠OCB＝∠OBC， 又∵∠CBQ＝∠ACB， ∴∠ABQ＝∠ACO， ∴， ∴，整理得x2﹣3x﹣13＝0， 解得或（舍去）， ， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为 （5，2）或， 故答案为：（5，2）或； （4）如图， 由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设M（m，﹣m+4），则M'（﹣m+4，﹣m）， ∴， ∵E（2，2），O（0，0）， ∴直线OE的解析式为y＝x，则OE与x轴正方向成45°， ∵NF⊥OE于点F， ∴设F（t，t），且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K，如图，则△NKF是等腰直角三角形， ∴xN﹣t＝t﹣yN，即， ∴m＝2﹣2t，则N（t+1，t﹣1）， ∴， 设G（﹣3，1）， ∴AN＝FG， ∴AN+PF＝FG+PF，问题转化为求直线OE上的点F到点G（﹣3，1）和点P（2，4）的距离和的最小值， 设点G关于直线y＝x的对称点为G'，则G'（1，﹣3），则AN+PF的最小值为G'P的长度， ∵， ∴AN+PF的最小值为． 故答案为：． 36．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）或． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）由条件可得B（3，0）， ∴OB＝3， ∴OB＝OC＝3， ∴∠ABC＝45°， ∴当点D在点C上方时， 如图所示： ∵∠CBD＝15°， ∴∠ABD＝15°+45°＝60°， ∴， ∴； 当点D在点C下方时， 如图所示： ∵∠CBD＝15°， ∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°， ∴， ∴； 综上可得：CD的长为或． 故答案为：或． 37．【答案】（1）y＝x﹣3，点C'不在直线PD上； （2）t的值为或4； （3）﹣2． 【解析】解：（1）对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），当y＝0时，（x﹣t）（x﹣3t）＝0， 解得x1＝t，x2＝3t， ∴A（t，0），B（3t，0）， 若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1）， ∵将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D， ∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°， ∴D（1，﹣2）， 设直线PD：y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线PD：y＝x﹣3； 对于y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 由y＝（x﹣2）2﹣1可得对称轴为直线x＝2， ∴点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'为（4，3）， 当x＝4时，y＝4﹣3＝1≠3， ∴点C'不在直线PD上； （2）由（1）可得A（t，0），B（3t，0）， ∴对称轴为直线， 当2t＜3，即t＜1.5时， ∵抛物线y＝（x﹣t）（x﹣3t）中，1＞0，则抛物线开口向上， ∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝6时，函数取得最大值， ∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0， 解得或（舍去）； 当3≤2t≤6，即时，， 若，即时，此时x＝6离对称轴更远， ∴当x＝6时，函数取得最大值9， ∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9， 整理得，t2﹣8t+9＝0，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即此时x＝3离对称轴更远， ∴当x＝3时，函数取得最大值， ∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0， 解得t＝4或t＝0，均不在范围内，故舍去； 当2t＞6，即t＞3时， ∴当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝3时，函数取得最大值， ∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0解得t＝4或t＝0（舍去）； 综上：t的值为或4； （3）∵A（t，0），B（3t，0）， ∴同（1）可求D（t，﹣2t） 对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），对称轴为直线x＝2t， ∴把x＝2t代入y＝（x﹣t）（x﹣3t）可得，y＝（2t﹣t）（2t﹣3t）＝﹣t2， ∴P（2t，﹣t2）设直线OP：y＝px，则﹣t2＝p•2t， 解得， ∵DE∥OP， ∴设直线DE：代入D（t，﹣2t）， 则， 解得， ∴直线DE：， 当x＝0时，，， ∴当t＝2时，m取得最小值为﹣2． 38．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线， 设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2）， ∴， 解得， ∴直线BC：y＝x﹣2， 将代入y＝x﹣2，得， ∴， ∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，，， ∴AD＝BD， ∵，AB2＝9， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴△ADB为等腰直角三角形； （3）． 【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点， ∴y＝a（x+1）（x﹣2）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣2）， ∴﹣2a＝﹣2， 解得a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣2），即y＝x2﹣x﹣2； （2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线， 设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2）， ∴， 解得， ∴直线BC：y＝x﹣2， 将代入y＝x﹣2，得， ∴， ∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，，， ∴AD＝BD， ∵，AB2＝9， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴△ADB为等腰直角三角形； （3）如图，过点B作BK⊥AC于点K， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣2）， ∴OA＝1，OC＝2， ∴， ∴在Rt△AOC 中，， ∵BK⊥AC， ∴在Rt△ABK中，， ∵点B（2，0）、C（0，﹣2）， ∴OB＝OC＝2， ∵∠BOC＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠EBF＝∠ABC＝45°， 作△EBF 的外接圆，记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T作TR⊥AC于点R，连接BR， 则∠ETF＝2∠EBF＝90°， ∵TE＝TF， ∴△TEF为等腰直角三角形，∠TEF＝∠TFE＝45°， ∵TR⊥AC， ∴△TRE，△TRF均是等腰直角三角形， ∴RE＝RF＝RT， 设RE＝RF＝RT＝x， 则， ∴ ∵TB+TR≥BR≥BK， ∴， 解得， 当点B，T，R三点共线，且点K，R重合时，x取得最小值为， ∵EF＝ER+FR＝2x， ∴此时EF取得最小值为， 而高为定值， ∴△EBF的面积最小值为， ∴△EBF的面积为． 39．【答案】（1）b＝2，c＝﹣3； （2）①点M的横坐标为，点N的横坐标为； ②或． 【解析】解：（1）∵点B是点A的“黄金搭档点”，A（0，﹣3），点B的纵坐标为12， ∴B（3，12）， ∵点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴， 解得：； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3， 由（1）得y＝x2+2x﹣3， ∵点M，N的纵坐标相等， ∴t2+2t﹣3＝（t+3）2+2（t+3）﹣3，解得：， ∴， ∴点M的横坐标为，点N的横坐标为， ②由（1）得y＝x2+2x﹣3， 对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0）， 点N是点M的“黄金搭档点”，点M的横坐标为m，当时， ∴点N的横坐标为：m+3，， 当时，，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∵﹣5﹣（﹣1）＜m﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣1），即，，即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为﹣1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝﹣1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，1＜m+3＜2时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当﹣1＜m＜0时，2＜m+3＜3， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴，， ∴|yM|+yN＝5，即|m2+2m﹣3|+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， ∴﹣m2﹣2m+3+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， 整理得：6m+10＝0， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 40．【答案】（1）y＝4x； （2）1．Q（7，8）在抛物线上． 【解析】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 41．【答案】（1）（，）； （2）∵抛物线上的点P（x0，y0）在x轴上方，得到y00， ∴， ∴Δ＝b2+4c0， 即方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴有两个交点； （3）CD和DE的数量关系是CD＝DE，理由如下： ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2）， ∴抛物线的对称轴是直线x， 设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2， 则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0的两根， 解得，， 又坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC， 由对称性可设M（，m）， 由两点间的距离公式可得， MA2， MC2， ∴， 解得m， ∴点M的坐标为（）， ∵直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，所以b≠0， ∴，解得， ∴点D的坐标为（）， ∵M（）， ∴点M，D所在的直线与y轴垂直， ∵点C，E都在y轴上， ∴MD⊥CE， 又∵MC＝ME， ∴MD垂直平分CE， ∴CD＝DE． 【解析】解：（1）因为b＝1，c＝2， 所以， 所以抛物线的顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线上的点P（x0，y0）在x轴上方， 得到， ∴， ∴Δ ， 即方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， 所以抛物线与x轴有两个交点； （3）CD和DE的数量关系是CD＝DE，理由如下： ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2）， ∴抛物线的对称轴是直线x， 设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2， 则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0的两根， 解得，． 又坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC， 由对称性可设， 由两点间的距离公式可得， ， ， ∴，解得， ∴点M的坐标为， ∵直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，所以b≠0． ∴解得， ∴点D的坐标为， ∵，， ∴点M，D所在的直线与y轴垂直， ∵点C，E都在y轴上， ∴MD⊥CE， 又∵MC＝ME， ∴MD垂直平分CE， ∴CD＝DE． 42．【答案】（1）（1，1）； （2）6≤a≤12． 【解析】解：（1）∵，二次函数y＝3x2﹣4ax+4， ∴y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1， ∴此函数图象的顶点坐标是（1，1）； （2）∵二次函数y＝3x2﹣4ax+4， ∴该函数的对称轴为直线x，图象开口向上， ∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大， ∴48， 解得6≤a≤12． 43．【答案】（1）A（﹣1，0）B（3，0）． （2）①（1，0）． ②直线l过定点（1，﹣3）． 【解析】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点． ∴令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0）B（3，0）． （2）①如图，设直线l与x轴交于点F，过点A作AG⊥DE，过点B作BH⊥DE，垂足分别为G、H． ∴∠AGF＝∠BHF＝90°． 又∵A、B两点到直线l的距离相等， ∴AG＝BH． 又∵∠AFG＝∠BFH， ∴△AGF≌△BHF（AAS）， ∴AF＝BF，即点F为AB中点． ∴定点F（1，0）． ②如图，过点P作直线m∥x轴过点D、E分别作m的垂线段，垂足分别为M、N， ∵∠DMP＝∠PNE＝90° ∴∠MDP+∠MPD＝90° 又∵∠DPE＝90°， ∴∠DPM+∠EPN＝90° ∴∠DPM＝∠PEN． ∴△DPM∽△PEN． ∴． 设D，， ∵MP＝1﹣x1，PN＝x2﹣1， ，EN＝x22﹣2x2﹣3﹣（﹣4）＝（x2﹣1）2， ∴． 化简得x1+x2﹣x1x2＝2． 联立 可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0， ∴x1+x2＝2+k，x1x2＝﹣3﹣b． ∴b＝﹣3﹣k． ∵y＝k（x﹣1）﹣3． ∴直线l过定点（1，﹣3）． 44．【答案】（1）m＝﹣2，n＝﹣8； （2）①n≥﹣1；②m1＝2，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝﹣2． 【解析】解：（1）由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+mx+n， 根据题意，得， ∴； （2）①∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4． 由题意，吸收函数的表达式为y＝x2+（m+2）x+n﹣3， 根据题意，得． ∴． ∵m≠0， ∴n≥﹣1； ②如图，过点M作y轴平行线l交AB于点N，过点A，B分别作的垂线段，垂足为C，D， 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：mx+n＝x2+（m+2）x+n﹣3，即x2+2x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣3． ∴点A，B的横坐标分别是x1＝1，xB＝﹣3． ∴|xA﹣xB|＝4， ∵M为“吸收函数”的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴△ABM的面积， ∵△ABM的面积为4， ∴|8m2|＝4． ∴m1＝2，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝﹣2． 45．【答案】（1）； （2）①8；②M（﹣4，﹣2）； （3），p． 【解析】解：（1）抛物线过点C（2，0），点B（0，﹣6）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由点B（0，﹣6），C（2，0）可得OB＝6，OC＝2， ∵BD＝4， ∴OD＝OB﹣BD＝6﹣4＝2， ∴CD2＝OC2+OD2＝22+22＝8， ∴． ②如图1，过点M作MG⊥y轴，垂足为G， 则∠MGD＝90°＝∠DOC， ∵四边形CDMN为正方形， ∴∠CDM＝90°，CD＝DM， ∴∠GDM+∠ODC＝90°， ∵∠DOC＝90°， ∴∠OCD+∠ODC＝90°， ∴∠GDM＝∠OCD， ∵∠MGD＝∠DOC，∠GDM＝∠OCD，DM＝CD， ∴△MGD≌△DOC（AAS）， ∴GD＝OC＝2，GM＝OD． 设GM＝OD＝m（m＞0），则OG＝OD﹣GD＝m﹣2， ∴点M（﹣m，2﹣m）， ∵点M（﹣m，2﹣m）在抛物线上， ∴， 解得m1＝4，m2＝﹣3（不满足m＞0，舍去）， ∴点M（﹣4，﹣2）； （3）如图2，过点A，D分别作ED，AE的平行线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴，FD＝AE． 连接CF， ∵AE+CD＝FD+CD≥CF， ∴当C，D，F三点共线时，FD+CD＝CF，如图3， 即AE+CD的最小值等于CF的长． 令y＝0时，， 解得，，x2＝2， ∴点A（，0）， ∴点F（，）， ∵点C（2，0）， ∴AC2， ∵AF∥ED， ∴∠CAF＝∠COD＝90°， ∴在Rt△CAF中，CF， ∴AE+CD的最小值为， 设直线CF的表达式为y＝kx+n（k≠0）， ∵直线y＝kx+n（k≠0）过点C（2，0），F（，）， ∴， 解得， ∴直线CF的表达式为yx﹣1， ∴点D（0，﹣1）， ∴OD＝1， ∵OE＝DE﹣OD1， ∴点E（0，）， ∴当AE+CD取最小值时，p． 46．【答案】（1）y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y＝x2﹣4x+4的顶点为（2，0），将x＝2代入y＝﹣x2+2x中，得y＝﹣22+2×2＝0， 即y＝﹣x2+2x经过（2，0）． y＝﹣x2+2x的顶点为（1，1），将x＝1代入y＝x2﹣4x+4中，得y＝12﹣4×1+4＝1， 即y＝x2﹣4x+4经过（1，1）． （2）①a1+a2＝0，证明如下： ∵A1（h1，k1），A2（h2，k2）， ∴，， 两式相加得． ∵h1≠h2， ∴a1+a2＝0． ②∵C为中心对称图形， ∴C的对称中心为线段A1A2的中点． 即C的对称中心的坐标为． ③4． 【解析】解：（1）y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y＝x2﹣4x+4的顶点为（2，0）， 将x＝2代入y＝﹣x2+2x中，得y＝﹣22+2×2＝0， 即y＝﹣x2+2x经过（2，0）． y＝﹣x2+2x的顶点为（1，1）， 将x＝1代入y＝x2﹣4x+4中，得y＝12﹣4×1+4＝1， 即y＝x2﹣4x+4经过（1，1）． （2）①a1+a2＝0，证明如下： ∵A1（h1，k1），A2（h2，k2）， ∴，， 两式相加得． ∵h1≠h2， ∴a1+a2＝0． ②∵C为中心对称图形， ∴C的对称中心为线段A1A2的中点． 即C的对称中心的坐标为． ③∵C1：y＝x2， ∴C2：． 如图，设A1A2与B1B2相交于点P， ∵四边形A1B1A2B2为正方形， ∴P为C的对称中心， ∴P（，）， 过点P作直线l⊥y轴，垂足为M，过点B1作B1N⊥l，垂足为N． 则∠B1NP＝∠A1MP，∠B1PN＝∠MA1P＝90°﹣∠MPA1． ∴△PB1N≌△A1PM（AAS）， ∴PN＝A1M，B1N＝PM． 设B1（x1，y1），则，， 即，． 又∵， ∴，． ∵点B1在C1上， ∴， 化简整理得， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $