精品解析：广东广州市铁一中学2026-2027学年第一学期九年级10月学情自测数学试题

广州市铁一中学2026学年第一学期10月学情调研 初三数学 本练习共6页，25小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、学生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将学生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，答题卡交回，练习问卷自行保管． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次函数图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 函数的最大值为 4. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 8. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 12. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 13. 某超市购进某商品，2024年每件商品进价为125元，随着生产成本的降低，2026年每件商品进价为80元，设两年中每件商品的年平均下降率为，可列方程为_______． 14. 若菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根，则菱形的周长是______． 15. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 16. 已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 20. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 22. 综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 24. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 25. 如图所示．抛物线经过点和点． （1）求抛物线解析式和顶点D的坐标； （2）若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市铁一中学2026学年第一学期10月学情调研 初三数学 本练习共6页，25小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、学生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将学生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，答题卡交回，练习问卷自行保管． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个整式方程能化为：，且a、b、c是常数，则此方程是一元二次方程；根据一元二次方程的概念逐项去判断即可． 【详解】A、是一次方程，故不是一元二次方程； B、左边是分式，不是整式，而一元二次方程必须是整式方程，故不是一元二次方程； C、是三次方程，故不是一元二次方程； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，关键是把握概念的三个要点：一是整式方程，二是含有一个未知数，三是未知数的最高次数是二次． 2. 下列二次函数图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像，掌握系数与图像的关系是解题的关键． 二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向下，当时开口向上． 【详解】∵ 二次函数中，决定开口方向，时开口向下， 选项A：， ，开口向上，不符合题意； 选项B： ， 展开后，开口向上，不符合题意； 选项C： ， ， 开口向下，符合题意； 选项D： ， ，开口向上，不符合题意； 故选C． 3. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，形如（，a、h、k为常数），顶点坐标为，对称轴为直线，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；当，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，当，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该函数的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴函数有最小值，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大， 故选：C． 4. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，是解题的关键． 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 8. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 1， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某超市购进某商品，2024年每件商品进价为125元，随着生产成本的降低，2026年每件商品进价为80元，设两年中每件商品的年平均下降率为，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设这种商品每件进价的年平均下降率为x，则2025年每件商品的进价为元，进而可知2026年每件商品的进价为元，结合2026年每件商品进价为80元，即可得到方程． 【详解】解：设这种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意可列方程：． 14. 若菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根，则菱形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的和，再根据菱形的性质求出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形的边长，是关于的一元二次方程的两根， ， ， 菱形的周长． 15. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 【答案】1或2 【解析】 【分析】分两种情况：①当该函数是一次函数时，；②当该函数是二次函数时，，，据此可求出a的值． 【详解】解：∵函数与轴只有一个交点， ∴①当该函数是一次函数时，可得， 解得； ②当该函数是二次函数时，，且， 解得， 综上，a的值是1或2． 16. 已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法或者公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）直线， （2） 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，确定b的值，然后把解析式化成顶点式，求解即可； （2）根据题意，得抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，且为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大，函数值越大，根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数为的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， ∴y的取值范围是． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】（1）的取值范围是且； （2）所求代数式的值为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； 【小问2详解】 解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 20. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 【答案】（1）图像如下图所示． （2）①②③ （3）（或） 【解析】 【分析】（1）将表中各点在给定的平面直角坐标系中描出后连接即可． （2）根据函数图象分析即可． （3）先求出原抛物线的顶点式，然后按照二次函数顶点式的平移法则“左加右减，上加下减”，求出平移后的抛物线表达式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可知，抛物线开口向上，，故①正确； 函数抛物线与轴有两个交点，，故②正确； 由函数图象可知，当时，有最小值为，③正确； 由函数图象可知，当时，的值随的值增大而增大，④错误， 正确的有①②③． 【小问3详解】 解：由函数图像可知，二次函数顶点坐标为， 将代入二次函数顶点式， 其中，， 得二次函数顶点式为； 将代入，得， 解得， 二次函数顶点式为， 二次函数向左平移3个单位长度后的顶点式为， ； 再向下平移6个单位长度后的顶点式为， 即； 整理后得， 故平移后的函数表达式为（或）． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】（1）80 （2）当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； 【小问2详解】 解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； 【小问3详解】 解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 22. 综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】（1）①；② （2）丙的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． 【小问2详解】 解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【小问1详解】 解：方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ 【小问3详解】 由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 24. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 25. 如图所示．抛物线经过点和点． （1）求抛物线解析式和顶点D的坐标； （2）若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为，顶点； （2）①或或；②存在，． 【解析】 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【小问1详解】 解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $