精品解析：广东省广州市越秀区执信中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学 九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 设、是一元二次方程两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的对称轴是直线，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是二次函数，则实数______． 12. 已知2是方程的一个根，则另一个根为________． 13. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，的值为______． 16. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法） ； （3）； （4） 18. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． （1）求，，的值； （2）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ （2）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 （3）根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． （4）根据图象写出当时，的取值范围____________． 21. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 23. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： … 0 … … 3 2.92 … （1）①________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标． ②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米） 24. 如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式： （2）若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学 九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案． 【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程，； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，且开口向上，可推出越靠近，的值就越小，比较的值即可得出结果． 【详解】解：∵的对称轴为直线，且开口向上， ∴越靠近，的值就越小； ∵距离三个单位，距离一个单位，距离一点五个单位； ∴； 故选：D． 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法计算即可． 【详解】 故选A． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2． 故选D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题． 7. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 8. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 9. 2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，则八月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 10. 二次函数的对称轴是直线，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴，①正确； ∵抛物线的顶线坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，成立，故③正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间， ∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间， 时，， ， ， ， ∴，②正确； ∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴交点的横坐标即为方程的两个实数根， ∵点在二次函数的图像， ∴为其中一个实数根， 根据函数图像对称性，对称轴为直线， ∴另一个实数根是1， ∴关于x的不等式的解集是， ∴④正确， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 12. 已知2是方程的一个根，则另一个根为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根为a，根据题意得： ， ∴． 故答案为：3 13. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，由题意得抛物线的对称轴为直线，即可求解； 【详解】解：由题意可知：是抛物线上对称的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键． 设这个方程的两个根分别为和，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意可设：与是方程的两个根， ，， 解得：，， 故答案为：． 16. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法） ； （3）； （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可求解； （）利用配方法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：移项得，， 因式分解得，， 即， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． （1）求，，的值； （2）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 【答案】（1），， （2）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）根据表格得到与都在函数图象上，代入函数解析式求出b与c，再求解a的值即可； （2）求出，根据m的取值分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，；当时，； 解得：， 该二次函数关系式为； ∴当时，． 【小问2详解】 解：，两点都在函数的图象上， ， ， ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明：， ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 20. 已知函数． （1）该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ （2）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 （3）根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． （4）根据图象写出当时，的取值范围____________． 【答案】（1）； （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据顶点式的特征回答即可； （2）运用描点法作图即可； （3）根据函数图象与x轴交点的位置回答即可； （4）根据开口向下时离对称轴越近函数值越大回答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 列表得： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画图得： 【小问3详解】 由图象可知：当时，的取值范围是， 【小问4详解】 当时，， 结合图象可得：当时，，当时，， ∴当时，取值范围是． 21. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元 （2）①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． （1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； ②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元． 【小问2详解】 ①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． ②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． 随的增大而增大，为整数， 当时，（元）． 答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元． 22. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． 【小问2详解】 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 23. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： … 0 … … 3 2.92 … （1）①________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标． ②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米） 【答案】（1）①292；②； （2）①；②该运动员发球时没有踩线犯规． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）①根据对称性可求出n值即可； ②待定系数法求出函数解析式； （2）①令求解即可； ②令求出x的值，与9比较大小即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∴． ②， ． 把代入得：． ． 函数解析式：； 【小问2详解】 解：①点在横轴上， ， ． （舍） 点的坐标． ② 当时， （舍）， 点到轴的距离为米 排球场地长为18米，左半场为9米， 说明该运动员发球时没有踩线犯规． 24. 如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式： （2）若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）将，代入，求出a和b的值，即可得出解析式； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为，过点D作y轴的平行线，交于点E，设，则，得出，则，列出方程，求出t的值即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时，得出平移后的抛物线的顶点坐标为，把代入得出，则；②当平移后的抛物线与直线相切时，得出平移后的解析式为，则方程方程有两个相同实根，根据一元二次方程根的判别式，即可解答． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点D作y轴的平行线，交于点E， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 【小问3详解】 解：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时： ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线顶点坐标， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴； ②当平移后的抛物线与直线相切时： ∵抛物线解析式为， ∴平移后的解析式为， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴方程方程有两个相同实根， 整理为， ∴， 解得：， 综上：或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； 【小问3详解】 存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $