精品解析：贵州省镇宁民族中学2026-2027学年高二上学期开学评价考试数学试题

镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期高二年级开学考评价考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （24-25高一下·广东湛江·阶段检测） 1. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 （24-25高一下·甘肃定西·期末） 2. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 （24-25高一下·江苏常州·期末） 3. 设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. （24-25高一下·福建福州·期末） 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. B. C. D. （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末） 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. （24-25高三下·贵州遵义·阶段检测） 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. （24-25高一下·安徽安庆·期末） 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （24-25高一下·河北雄安·期末） 8. 在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （24-25高一下·吉林长春·期末） 9. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 估计考生成绩的众数为72 C. 估计考生成绩的中位数为71 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 （25-26高一下·陕西咸阳·期中） 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中） 11. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角为 D. 平面和平面夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 13. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 14. 已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. （25-26高一下·广东深圳·期中） 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． （25-26高一下·全国·单元测试） 16. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． （25-26高一下·湖南衡阳·期中） 17. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期高二年级开学考评价考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （24-25高一下·广东湛江·阶段检测） 1. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. （24-25高一下·甘肃定西·期末） 2. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【详解】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. （24-25高一下·江苏常州·期末） 3. 设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. （24-25高一下·福建福州·期末） 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末） 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. （24-25高三下·贵州遵义·阶段检测） 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D （24-25高一下·安徽安庆·期末） 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. （24-25高一下·河北雄安·期末） 8. 在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证平面，再由棱锥的体积公式求得，根据已知并应用等体积法求到平面的距离，结合即可求正弦值. 【详解】由平面，平面，则，又， 由，且都在平面内，则平面， 所以， 由题设，可得，，则， 所以，则， 令到平面的距离为，则，可得， 而，所以直线AE与平面所成角的正弦值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （24-25高一下·吉林长春·期末） 9. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 估计考生成绩的众数为72 C. 估计考生成绩的中位数为71 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． （25-26高一下·陕西咸阳·期中） 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，则， 所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中） 11. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角为 D. 平面和平面夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【详解】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数代数形式的四则运算求出复数，再根据共轭复数的定义得到结果. 【详解】对已知等式变形可得 ，  所以的共轭复数. 13. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 14. 已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的内接三棱锥，得到球的半径与三棱锥棱长的关系，再利用余弦定理求解的长度即可. 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为， 则，解得， 设外接球球心离底面的高度为， 在中，则，所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. （25-26高一下·广东深圳·期中） 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵，且与夹角为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ （25-26高一下·全国·单元测试） 16. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【小问1详解】 设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． 【小问2详解】 设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . （25-26高一下·湖南衡阳·期中） 17. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． 【小问2详解】 解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，连接． 因为、分别为、中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）证明：因为底面，底面，所以． 在正方形中，， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用以及线面平行的判定定理证明； （2）利用线面垂直的定义以及面面垂直的判定定理证明； （3）先求证即为二面角的平面角，再利用等体积思想计算点C到平面的距离即可计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，所以，， 所以即为二面角的平面角，即； 因为正方形的边长为2，所以，， 因为底面，平面，所以， 又因为是的中点，所以在中， 则为等腰三角形，故； 在中，； 设点C到平面的距离为h， 由，，得， 即为等腰三角形，底边上的高为， 所以； 因为，所以， 由，得，得. 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $