精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中榆树湾校区、商都分校阶段性联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

集宁一中初中部初三年级2026-2027学年 数学学科教学检测性练习（一） 考查范围：第二十五章至第二十六章 本试卷满分100分，考试时间为90分钟 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（每个小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题共76分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11. 为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 12. 如图，在中，，，，M 、N分别是 、 边上的动点，且，则线段 的最小值为___________ ． 三、解答题 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 用描点法画函数的图象，并完成下列问题： （1）求曲线与x轴、y轴交点坐标； （2）根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 15. 物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间．一个物体从100米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？（结果精确到秒，参考数据：，，，） 16. 如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？ 17. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 18. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁一中初中部初三年级2026-2027学年 数学学科教学检测性练习（一） 考查范围：第二十五章至第二十六章 本试卷满分100分，考试时间为90分钟 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（每个小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 6. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 7. 已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 （非选择题共76分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 11. 为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【解析】 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 12. 如图，在中，，，，M 、N分别是 、 边上的动点，且，则线段 的最小值为___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，解直角三角形，先根据角所对的直角边等于斜边的一半得到，过点M作于点D，设，则，则得到，，然后利用勾股定理得到的长，再根据抛物线的顶点坐标得到结论即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 过点M作于点D， 设，则， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 14. 用描点法画函数的图象，并完成下列问题： （1）求曲线与x轴、y轴交点坐标； （2）根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】（1）与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 （2）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 15. 物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间．一个物体从100米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？（结果精确到秒，参考数据：，，，） 【答案】秒 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质． 先将代入到公式，再根据二次根式的性质求解出，即可解答． 【详解】解：将代入到公式中：， 即， 解得：， ， ， ， 答：一个物体从100米高的塔顶自由下落，落到地面需秒． 16. 如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？ 【答案】与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 【解析】 【分析】设与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，根据矩形的面积公式即可列方程进行求解． 【详解】解：设与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为， 根据题意列方程得， 解得或， 当时，； 当时，； 答：与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 17. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为，的取值范围是． （2）函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【小问1详解】 解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． 【小问2详解】 根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 18. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $