常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习 1-2 常用逻辑用语 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 充要条件 2023新Ⅰ卷、 以其它知识点为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。 全称量词与存在量词 2024新Ⅱ卷、 全称命题和存在命题的否定，命题真假判断。 知识梳理 五年真题剖析 1．(2024新Ⅱ卷T2)已知命题p：，；命题q：，，则(    ) A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于q，取，则有，故q是真命题，是假命题，综上，和q都是真命题.故选：B. 2．(2023新Ⅰ卷T7)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【分析】再结合等差数列的定义，前n项和与第n项的关系推理判断作答. 【解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则， 有，两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即，即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 重点题型分析 题型1 充分条件、必要条件的判断 【例1-1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.92【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】若，则，不能推出； 若，则，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 【例1-2】（26-27高三上·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.82【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【例1-3】（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤； 其中是的必要不充分条件其中与命题等价的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断两个集合的包含关系、并集的概念及运算、利用Venn图求集合【分析】根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系即可． 【详解】由得图， ①正确； ②不符合； ③正确； ④，与、是全集的真子集矛盾，不符合 ⑤是的必要不充分条件不符合；故有2个. 【例1-4】(多选)（2027高三·全国·专题练习）不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】BC【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的要求进行判断即可. 【详解】由，可得或，解得或， 则和是原不等式成立的充分不必要条件，故B,C正确； 而和不是原不等式的解集的一部分，充分性不成立，故A,D错误． 【例1-5】（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是________． 【答案】【难度】0.65【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 变式训练 1.（26-27高三上·安徽·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.95【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由是的真子集，故是的必要不充分条件. 2.（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 3.（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入，根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 4.(多选)（2025·安徽·一模）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误 由得，能推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 若不成立，故充分性不成立， 若不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； ，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 5.（23-24高三上·安徽合肥·阶段检测）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的______条件. 【答案】②，③【难度】0.65 【知识点】根据充要条件求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，且等号不同时成立，解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，且等号不同时成立，解得； 综上所述，实数的取值范围，符合题意. 故答案为：②，③. 题型2 充要条件的应用 【例2-1】（26-27高三上·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】充分条件 【详解】设，， 则由题意得，所以，解得． 【例2-2】（26-27高三上·内蒙古·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【详解】设， 是的必要不充分条件，是的真子集， 又， ， 则，解得． 【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】分类讨论解绝对值不等式、根据充分不必要条件求参数 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 【例2-4】(多选)（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系即可解出． 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分析选项，的取值不可以是1,2,的取值可以是3,4. 故选：CD 【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 变式训练 1.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系即可解出． 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以，即实数的取值范围为．故选：A． 2.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【解】由题意可得，所以且，解得，故选：C 3.集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】求出集合，将代入集合，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围. 【解】因为， 当时，由可得，此时， 因为“”是“”的充分条件，则或，解得.故选：D. 4.(多选)（24-25高三上·辽宁锦州·期中）若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据条件或，则可以是，或，分情况即可求得的值. 【详解】依题意是的真子集，则可以是，或. 当时，易得；当时，可得； 当时，可得. 故选：BCD. 5.（25-26高三上·广东梅州·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【答案】．【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 题型3 含量词命题的否定 【例3-1】（26-27高三上·河南·阶段检测）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.95【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】的否定为． 【例3-2】（25-26高三上·天津河东·期中）命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】C【难度】0.65【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定直接求解即可 【详解】命题“，”的否定形式是，或. 故选：C. 【例3-3】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】全称命题的否定 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以为“”. 故选：A. 【例3-4】(多选)（22-23高三上·广东深圳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定、判断命题的充分条件、必要条件 【分析】根据含量词的否定判断A；由等价于或判断B；由能推出，而当时也有判断C；由不等式的性质判断D． 【详解】A．根据命题的否定可知：“，”的否定是“，”，本选项不符合题意； B．等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，本选项符合题意； C．由能推出，而当时也有，所以“”是“”的充分不必要条件，本选项符合题意； D．根据不等式的性质可知：由且能推出，所以“且”是“”的充分条件，本选项不符合题意． 故选：BC． 【例3-5】(2024四川成都一模)命题“，”的否定为 ． 【答案】，【难度】0.85【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，.故答案为：， 变式训练 1.（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A【难度】0.95【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题的否定为，. 2.（26-27高三上·甘肃·阶段检测）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A【难度】0.85【知识点】特称命题的否定 【分析】根据存在量词命题的否定形式判断即可. 【详解】存在量词命题的否定为全称命题，则“，”的否定为“，”. 3.（2027高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D【难度】0.92【知识点】特称命题的否定 【分析】根据存在量词命题的否定形式判断即可. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得：，． 4.(多选)（24-25高三上·重庆·期中）已知p：“，是奇数”，q：“，是偶数”，则（   ） A．：，是偶数” B．：“，是偶数” C．：“，是奇数” D．：“，是奇数” 【答案】BD【难度】0.94【知识点】全称命题的否定、特称命题的否定 【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得. 【详解】由p：“，是奇数”，q：“，是偶数”， 则：，是偶数”， ：“，是奇数”， 故B、D正确；A、C错误. 故选：BD. 5.（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 【答案】【难度】0.9【知识点】全称命题的否定 【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得. 【详解】命题“”的否定为：“”． 题型4 含量词命题的真假判断 【例4-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知命题，，命题，，则(   ) A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断全称命题、特称命题及它们的否定的真假 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B. 【例4-2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断全称命题、特称命题及它们的否定的真假 【分析】利用作差法可判断命题，解方程可判断命题，即可得出合适的选项. 【详解】对于命题，，，则， 故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 【例4-3】（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D【难度】0.65【知识点】判断全称命题、特称命题的真假 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论后可判断D的正误. 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 【例4-4】(多选)下列命题是真命题的是( ) A．∃a∈R，使y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 【答案】AC【难度】0.85【知识点】判断全称命题、特称命题的真假 【分析】分别判断各选项. 【详解】当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题； 当x＝时，,所以，故D为假命题． 【例4-5】（2026高三·全国·专题练习）命题“方程有实根”的否定是_____，其为_____命题． 【答案】方程没有实根；真【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由命题否定的定义判断即可得第一空，有一元二次方程根的判别式可得第二空. 【详解】命题“方程有实根”的否定形式是：方程没有实根， 因为，故方程没有实根，其为真命题. 变式训练 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断全称命题的真假、判断特称命题的真假 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 2.（24-25高三下·广西·期中）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的真假 【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可. 【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题； 又注意到时，，则为真命题，是假命题； 所以和都是真命题． 故选：B. 3.（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D【难度】0.65【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】分别判断命题和命题的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出和的真假． 【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题； 对于q，，则，故q是假命题，是真命题. 综上，和都是真命题. 故选：D. 4.(多选)（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD【难度】0.85【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】运用含有量词的命题的概念，结合特值法可解. 【详解】“”不是存在量词命题，A错误. ，故B正确. 因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误. 内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确. 故选：BD. 5.（2026高三·全国·专题练习）已知命题，，命题的否定为命题，则是“________”；的真假为________（填“真”或“假”）． 【答案】， ；假【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题否定的定义得第一空，举反例判断即可得第二空. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，因此命题的否定为，； 举反例：当时，，不满足，因此为假命题． 题型5 由命题真假求参数(范围) 【例5-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【例5-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 【例5-3】（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，，因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 【例5-4】(多选)（23-24高三上·江苏扬州·期中）下列选项中，能说明“，都有”为假命题的x取值有（    ）. A． B． C．0 D．3 【答案】AB【难度】0.94【知识点】判断全称命题的真假 【分析】将选项中的取值逐一代入计算可得AB为假命题，符合题意. 【详解】易知，但，此时为假命题，即A正确； 同理，但，此时为假命题，即B正确； 而，但，此时为真命题，即C错误； 显然，可得D错误； 故选：AB 【例5-5】（2026高三·全国·专题练习）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】【难度】0.4【知识点】根据全称命题、特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 变式训练 1．(2025河南南阳模拟预测)已知，若“，”为假命题，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数取值范围 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是.故选：C 2.(2025高三下江苏苏州开学考试)若命题“”是假命题，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解】命题“”是假命题，则 是真命题， ∴，解得：或，即a的范围是故选：D. 3.（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D． 或 【答案】C【难度】0.4【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意逐一分析四个选项即可得到答案. 【详解】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错. D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数． 故选：C． 4.(多选)（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB【难度】0.65【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 5.（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 【答案】【难度】0.4【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意在时有解，故，，进一步即可求解. 【详解】因为命题“，使得”为真命题， 所以在时有解，所以，， 因为，所以，所以，所以， 所以， 故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习1-2常用逻辑用语讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新I卷、新Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 充要条件 以其它知识点为命题背景，考查充分条件与 2023新I卷、 必要条件，难度随载体而定。 全称量词与存在量词 2024新Ⅱ卷、 全称命题和存在命题的否定，命题真假判断。 知识梳理 若p→q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若p→q且qp,则p是q的充分不必要条件. 概念 若pq且q→p,则p是q的必要不充分条件. 若p÷q,则p是q的充要条件. 若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件. 若p是q的充分不必要条件一q是p的充分不必要条件； 充分条 若p是q的必要不充分条件一q是p的必要不充分条件； 等价转化法 件、必 若p是q的充要条件÷q是p的充要条件： 要条件 若D是q的既不充分也不必要条件一q是p的既不充分也不必要条件. 与充要 条件 若条件D以集合A的形式出现，条件q以集合B的形式出现，则 若ASB,则D是q的充分条件： 若BSA,则p是q的必要条件： 集合法判断 若AB，则D是q的充分不必要条件； 若BA ，则p是q的必要不充分条件； 若A=B,则p是q的充要条件； 用 若AB 且BA,则p是q的既不充分也不必要条件. 若p是q的充分不必要条件：p→q且qp(关键词：“是”，此为正常顺序) 注意两种结构 若p的充分不必要条件是q:q→p且pg(关键词：“的”，此为倒装顺序) 语 全称量词：，表示所有、一切、任意、全部、每一个等 概念 存在量词：3，表示存在一个、至少一个、有些、某些等 全称量 全称量词命 全称量词命题：p:Vx∈M,p(x),表示对M中任意一个x,都有D(x) 词与存 题、存在量词 全称量词命题的否定：p:3xo∈M,p(x0) 在量词 命题及其否定 存在量词命题：p:3x0∈M,p(x0),表示M中存在x0,使p(xo)成立 存在量词命题的否定：p:Vx∈M,p(x) 常用的正面叙 述词语和它的 正面等于(=) 大于>)小于(<)是都是任意，所有至多一个至少一个 否定词语 否定 不等于（≠）不大于（≤）不小于≥)不是不都是 某个，某些至少两个不存在 五年真题剖析 1.(2024新IⅡ卷T2)已知命题p:x∈R,1x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则() A.p和q都是真命题B.P和q都是真命题 C.p和一q都是真命题D.P和q都是真命题 【答案】B【分析】对于两个命题而言，可分别取x-1、x=1,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解 【解】对于p而言，取x=-1,则有k+1=0<1,故P是假命题，P是真命题， 对于q,取x=1,则有xX2=1=1=x,故q是真命题，9是假命题，综上，和q都是真命题.故选：B. 第1页共18页 2.(2023新I卷T7)记S,为数列{a,}的前n项和，设甲：{a}为等差数列：乙：{贸为等差数列，则) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【分析】再结合等差数列的定义，前n项和与第n项的关系推理判断作答 【解】方法1，甲：{a}为等差数列，设其首项为4，公差为d, 则4受-4”号a号受-号因此学为等差数列，则甲是乙的充分条件： 反之，乙：合为等差数列：即-号.S8a为常数，设为，即号，则8=n-tn+0, 2+1nn(2+1) 有S,=(n-1)a.-tn(n-1),n≥2，两式相减得：an=na+1-(n-1)an-2tn，即a+1-4=2t,对n=1也成立， 因此{}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确 方法2，甲：{a,}为等差数列，设数列a}的首项4，公差为d,即8=a+Da,则子=a+a4=号a+a号， d 因此)为等差数列，即甲是乙的充分条件： 反之，乙：月为等差数列，即号-D号-+-D,即S=心+n0u-0D,S1=(u-108+m-10-2)D, 当n≥2时，上两式相减得：Sn-S-1=S+2(n-1)D,当n=1时，上式成立， 于是an=4+2(n-1)D,又amH-am=41+2nD-[4+2(n-1)D]=2D为常数， 因此{a}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 重点题型分析 题型1充分条件、必要条件的判断 【例1-1】（26-27高三上山东德州-阶段检测)“"m>2”是“m3>9”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.92【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】若m>2,则m3>8,不能推出m3>9: 若m3>9,则m3>8,所以m>2: 所以“m>2"是“m3>9的必要不充分条件 【例1-2】(26-27高三上山西吕梁阶段检测)“x≤1"的一个充分不必要条件可以是() A.x≤2 B.x<0 C.0<X<2 D.x<3 【答案】B【难度】0.82【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分必要条件的定义可知，“x≤1"的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合xx≤1) 的真子集即可 【详解】因为集合xx≤1}是集合{xx≤2的真子集，所以x≤2是x≤1的必要不充分条件，A错误： 第2页共18页 因为集合{xx<0}是集合{xx≤1的真子集，所以x<0是x≤1的充分不必要条件，B正确： 因为集合{xx≤1)与集合{x0<x<2}之间不存在包含关系，所以0<x<2是x≤1的既不充分也不必要条 件，C错误： 因为集合{xx≤1}是集合{xx<3}的真子集，所以x<3是x≤1的必要不充分条件，D错误. 【例1-3】（26-27高三上广西南宁.阶段检测)若A、B是全集U的真子集，则下列五个命题：①A∩B=A: ②AUB=A;③An(CB)=D;④AnB=U;⑤x∈B; 其中是x∈A的必要不充分条件其中与命题A二B等价的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断两个集合的包含关系、并集的概念及运 算、利用Venn图求集合【分析】根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系即可. 【详解】由A∈B得Venn图， ①AnB=A台ACB:正确： ②AUB=A台BCA;不符合： ③An(CwB)=O台ASB;正确： ④AnB=U,与A、B是全集U的真子集矛盾，不符合； ⑤xEB是x∈A的必要不充分条件台AB;不符合：故有2个， 【例1-4】（多选）(2027高三全国.专题练习)不等式(2x-1)(1-x)<0成立的充分不必要条件是() A.x>1或x< B.X>1 c.-1<x< D.x<-1或x> 【答案】BC【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的要求进行判断即可 【详解】(z-1-0<0,可日之8写经8解得x>1或1<x<号 则x>1和-1<x<是原不等式成立的充分不必要条件，故B,C正确： 而x<和x<-1不是原不等式的解集的一部分，充分性不成立，故A,D错误。 【例1-5】(25-26高三.全国.一轮复习)设a,b,c∈R,命题a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是 【答案】a=b=c【难度】0.65【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系 【详解】由a2+b2+c2=ab+ac+bc,得a2+b2+c2-ab-ac-bc=0, 两边同乘2，得2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0, 第3页共18页 拆分并组合得(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2=0, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0. 因实数的平方非负，故(a-b)2=0,(a-c)=0,(b-c)2=0,解得a=b=c 故答案为：a=b=c. 温方法提炼思维升华 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p→q,q户p是否成立进行判断. (2)集合法：根据卫，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断， (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止· 变式训练 1.(26-27高三上安徽·开学考试)“x∈Q"是“x∈N*"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.95【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解 【详解】由N*是Q的真子集，故x∈Q是x∈N*的必要不充分条件 2.(2026高三.全国.专题练习)“x>1"是1<1"成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】当x>1时，由不等式的性质可得<1，即“x>1”→<1”： 当<1时，不妨取x=-1,则“x>1""<1” 所以“x>1"是<1”成立的充分不必要条件 3.（2026湖北武汉模拟预测)现有一个迷宫如图所示，小球2从B,C,D三个口中的一个口滚动进入后，该 口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从B口滚动进入”是“小球从D口滚动出来”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 第4页共18页 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知，若小球Q从B口滚动进入，根据通道走向，小球最终只能从D口滚动出来， 所以“小球Q从B口滚动进入”能推出“小球Q从D口滚动出来”，充分性成立： 若小球Q从D口滚动出来，小球可能是从B口滚动进入，也可能是从C口滚动进入（由图可知从C口进入最终也 会从D口出来)， 所以“小球Q从D口滚动出来”不能推出“小球Q从B口滚动进入”，必要性不成立. 综上所述，“小球Q从B口滚动进入”是“小球Q从D口滚动出来"的充分不必要条件. 4.(多选)(2025安徽.一模)若a,b∈R,则“a3<b3"的充分不必要条件是() A.a<b B.Vb-a>1 C.a2<b2 0.0<日 a 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】a3<b3台a<b,故“a<b"是“a3<b3"的充要条件，故A错误 由vb-a>1得b>a+1>a,能推出a<b,反之不成立， 所以“b-a>1"是“a3<b3"的充分不必要条件，故B正确： 若a=1,b=-2,a2<b2,a3<b3不成立，故充分性不成立， 若a=-2,b=-1,a3<b3,a2<b2不成立，故必要性不成立， 所以“a2<b2"是“a3<b3"的既不充分也不必要条件，故C错误； 0<<台0<a<b,所以0<<是“a3<b3的充分不必要条件，故D正确. b a 故选：BD. 5.(23-24高三上·安徽合肥阶段检测)给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择 补充到下面横线上 己知集合P={x|-1≤x≤5}，S={x|2-m≤x≤3+2m},存在实数m使得“x∈P”是“x∈S"的 条件. 【答案】②，③【难度】0.65 【知识点】根据充要条件求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“x∈P"是“x∈S"的充要条件，则2-m=-1,3+2m=5,此方程无解，故不存在实数m,则 不符合题意： ②“x∈P"是“x∈S"的充分不必要条件时， 侣+2三5且等号不同时成立，解得m≥3，符合影意： ③xeP"是"x∈S的必要不充分条件时，当S=,2-m>3+2m,得m<- 第5页共18页 当s幸0，需满足2-m≤3+2m,后，m6等号不同时破立，解得-风≤1 综上所述，实数m的取值范围m≤1，符合题意. 故答案为：②，③ 题型2充要条件的应用 【例2-1】（26-27高三上浙江·开学考试)若“a<x<a+1"是“-1<x<2”成立的充分条件，则实数a的取 值范围为() A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-2,1] D.(-2,1) 【答案】A【难度】0.85【知识点】充分条件 【详解】设A={xa<x<a+1},B={x|-1<x<2 则由题意得AcB。所(12解得ae[-1山 【例2-2】（26-27高三上·内蒙古阶段检测)已知p:1<x<3,q:2m<x<2m+1,若p是q的必要不充分 条件，则实数m的取值范围是() A.（-o,) B.[1,+o) c.(,1) 0.] 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【详解】设p:A={x1<x<3},q:B={x2m<x<2m+1, ~p是q的必要不充分条件，∴B是A的真子集， 又2m<2m+1,∴.B≠0， 测(2m3解得me 【例2-3】(2026高三.全国.专题练习)条件p:x-1川>x-1,条件q:x<Q,若p是q的充分不必要条件，则 a的取值范围() A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1 【答案】A【难度】0.65【知识点】分类讨论解绝对值不等式、根据充分不必要条件求参数 【详解】由|x-1>x-1,当x-1≥0，x-1=x-1,此时不等式无解， 当x-1<0,此时1x-1=1-x,所以1-x>x-1,解得x<1,即p:x<1, 已知q:x<a,且p是q的充分不必要条件， 所以集合{xx<1是集合{xx<a}的真子集， 所以a>1. 【例2-4】（多选）(25-26高三上.内蒙古赤峰阶段检测)若“x≥a”是“x>2”的充分不必要条件，则α的取值可 以是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】CD【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 第6页共18页 【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系即可解出. 【详解】因为“x≥a”是“x>2"的充分不必要条件， 所以[a,+o)是(2，+oo)的真子集， 分析选项，a的取值不可以是1,2，a的取值可以是3,4. 故选：CD 【例2-5】(2026高三全国专题练习)已知集合A={xx=t2-t+1,tE[民，2}，B=xx+m2≥1.若 “x∈A"是“x∈B"的充分条件，则实数m的取值范围是 【答案】(m,-到u尽+）【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，分别求得集合A={品≤x≤2和B=x≥1-m,再由“xEA是"x∈B"的充分条 件，得到A二B,列出不等式，即可求解 【详解】由函数x=2-t+1=(c-)}+石 因为te尼斗可得品≤x≤2所以A={品≤x≤2， 由不等式x+m2≥1，可得x≥1-m2,所以集合B={xx≥1-m2}. 又因为“x∈A"是“x∈B"的充分条件，可得ACB, 则满足1-m≤名即m2≥名解得m≥或m≤-子 3 所以实数m的取值范围是(-∞，-到UB.+∞） 鲁方法提炼思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等 式（或不等式组）求解. (2)要注意区间端点值的检验 变式训练 1.若“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为() A.（-o,1) B.（-o,1] C.(1,+n) D.[1,+o) 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系即可解出. 【分析】由题意可得{xx>1}xr>心，再根据集合的包含关系求参即可. 【解】因为x>a”是“x>1”的必要不充分条件， 所有{xk>1}={xx>a,所以a<1,即实数a的取值范围为(-n,1).故选：A. 第7页共18页 2.若不等式-a<x<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是() A.0<a≤1 B.0<a<1 C.a≥1 D.a>1 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解 【解】由题意可得{x0<x<1}二{xa<x<a,所以-a≤0且a≥l,解得a≥l,故选：C 3集合A=宁<0，B={x-bk欧，若a=1是”AnB≠O的充分条件，则b的取值范围是() A.-2≤b<0 B.0<b≤2 C.-3<b<-1 D.-2<b<2 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】求出集合A,将a=1代入集合B, 求出集合B,根据A∩B≠O可得出关于实数b的不等式，即可求得实数b的取值范围. 【解】因为A= =1<0={1<x<1 x+1 当a=1时，由x-b<1可得b-1<x<b+1,此时B={xb-1<x<b+1}, 因为“a=1"是“A∩B≠0"的充分条件，则-1≤b-1<1或-1<b+1≤1，解得-2<b<2.故选：D 4.(多选)（24-25高三上辽宁锦州期中)若p:mx+1=0是q:x2+x-6=0的充分不必要条件，则实数m 的值可以为() A.2 B.-月 C. D.0 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据条件q:x=2或x=-3,则{xmx+1=0}可以是0，{-3}或2)，分情况即可求得m的值 【详解】依题意xmx+1=0是{-3,2的真子集，则{xmx+1=0}可以是0，{-3或2)： 当xmx+1=0}=时，易得m=0:当{cmx+1=0}=(-3时，可得m= 当xmx+1=0}=(2时，可得m=-三 故选：BCD 5.（25-26高三上广东梅州·阶段检测)已知川x-a≤2"是“x2-7x-8≤0的充分不必要条件，则实数a的 取值范围为 【答案】[1,6].【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可。 【详解】由题可得：A={xx-ad≤2}={x-2+a≤x≤2+a,B={xx2-7x-8≤0]={x-1≤x≤ 8}, 因为“x-a≤2”是“x2-7x-8≤0"的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集： 所以经+8三8，解得：1≤a≤6， 第8页共18页 检验：a=1时，A={x-1≤x≤3，满足条件： a=6时，A={x4≤x≤8}，满足条件： 所以综上，实数a的取值范围为：[1,6： 故答案为：[1,6] 题型3含量词命题的否定 【例3-1】(26-27高三上河南-阶段检测)命题“x>0,x3-x+2026>0"的否定为() A.x>0,x3-X+2026≤0 B.x≤0，x3-x+2026≤0 C.3x>0,x3-x+2026≤0 D.3x≤0，x3-x+2026≤0 【答案】C【难度】0.95【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】x>0,x3-x+2026>0的否定为]x>0,x3-x+2026≤0. 【例3-2】（25-26高三上天津河东·期中)命题“x∈R,-1≤p(x)<1"的否定形式是() A.x∈R,-1≤p(x)<1 B.彐XER,-1≤0(X)<1 C.x∈R,p(x)<-1或p(x)≥1 D.3x∈R,p(x)<-1或p(x)≥1 【答案】C【难度】0.65【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定直接求解即可 【详解】命题“妇x∈R,-1≤p(x)<1"的否定形式是xER,p(x)<-1或p(x)≥1. 故选：C 【例3-3】（2025河北保定.一模)已知命题p:m∈N,Vm>lgn,则-p为() A.n∈W,Vn≤lgn B.n∈N*,Vn>lgn C.m∈N,Vn≤lgn D.n庄W,vn≤lgn 【答案】A【难度】0.65【知识点】全称命题的否定 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以p为"n∈N,Vn≤gn”. 故选：A 【例3-4】（多选）（22-23高三上广东深圳·阶段检测)下列命题正确的是() A.“xER,x2>0"的否定是"x∈R,x2<0 B.“Q>是<2"的充分不必要条件 C.“a=0”是"ab=0"的充分不必要条件 D.“x≥1且y≥1"是“x2+y2≥2"的必要不充分条件 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定、判断命题的充分条件、必要条件 【分析】根据含量词的否定判断A:<2等价于a<0或a>判断B;由a=0能推出ab=0,而当a≠0，b=0时 a 第9页共18页 也有ab=0判断C:由不等式的性质判断D. 【详解】A.根据命题的否定可知：“VxER,x2>0"的否定是“xER,x2≤0'，本选项不符合题意； B.<2等价于a<0或a>,所以“"Q>”是<2的充分不必要条件，本选项符合题意： C.由a=0能推出ab=0,而当a≠0，b=0时也有ab=0,所以“a=0'是“ab=0'"的充分不必要条件，本选项符合 题意： D.根据不等式的性质可知：由x≥1且y≥1能推出x2+y2≥2，所以“x≥1且y≥1"是“x2+y2≥2"的充分条件，本 选项不符合题意 故选：BC 【例3-5】(2024四川成都一模)命题“x>0,tanx>x"的否定为 【答案】>0，tm≤【难度】0.85【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解。 【详解】命题“Vx>0,tanx>x"为全称量词命题， 其否定为：x>0,tanx≤.故答案为：3x>0,tan≤ 变式训练 1.(26-27高三上·重庆南岸阶段检测)已知命题p:Vx∈R,x2-x+1>0,则命题p的否定p为() A.x∈R,x2-x+1≤0 B.x∈R,x2-x+1≤0 C.x∈R,x2-x+1>0 D.x∈R,x2-x+1>0 【答案】A【难度】0.95【知识点】全称命题的否定 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题p的否定p为]x∈R,x2-x+1≤0 2.(26-27高三上·甘肃·阶段检测)命题匀x>0,2x<1"的否定为() A.x>0,2x≥1 B.3X≤0,2x<1 C.x≤0,2x<1 D.3x>0,2x≥1 【答案】A【难度】0.85【知识点】特称命题的否定 【分析】根据存在量词命题的否定形式判断即可. 【详解】存在量词命题的否定为全称命题，则“x>0,2x<1"的否定为“x>0,2≥1” 3.(2027高三·全国.专题练习)已知命题p:3x∈(-∞，0)，2x<3x,则p为（) A,3x∈[0，+∞)，2x<3x B.3x∈(-∞，0)，2x≥3 C.x∈[0，+o),2x<3x D.Hx∈(-0∞，0)，2x≥3 【答案】D【难度】0.92【知识点】特称命题的否定 【分析】根据存在量词命题的否定形式判断即可， 第10页共18页 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得p:Vx∈(-o∞，0)，2x≥3x 4.(多选)(24-25高三上.重庆期中)己知p:“Vx∈N,2x+1是奇数"，q:x∈N,3x+1是偶数"，则() A.p:xEN,2x+1是偶数" B.p:x∈N,2x+1是偶数" C.q:“x∈W,3x+1是奇数” D,q:“Vx∈N,3x+1是奇数” 【答案】BD【难度】0.94【知识点】全称命题的否定、特称命题的否定 【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得. 【详解】由p:“Vx∈N,2x+1是奇数”，q:“臼xEN,3x+1是偶数”， 则p:3xEN,2x+1是偶数”，q:“VxEN,3x+1是奇数”， 故B、D正确；A、C错误. 故选：BD 5.（26-27高三上河北衡水开学考试)命题va>b>c>0,a3+b3+c3>3abc"的否定是 【答案】a>b>c>0,a3+b3+c3≤3abc【难度】0.9【知识点】全称命题的否定 【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得 【详解】命题“Va>b>c>0,a3+b3+c3>3abc"的否定为："a>b>c>0,a3+b3+c3≤3abc". 题型4含量词命题的真假判断 【例4-1】(2025河北秦皇岛模拟预测)已知命题p:x∈R,1-x≤1，命题q:3x>0,x2=x,则() A.P和q都是真命题B.P和9都是真命题C.P和9都是真命题D.P和9都是真命题 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断全称命题、特称命题及它们的否定的真假 【分析】判断出P、q的真假，即可得出结论 【详解】对于命题P,不妨取x=3,则1-3>1，则命题P为假命题， 对于命题9，由x2=x可得x=0或x=1,则命题q为真命题，因此，卫和q都是真命题.故选：B. 【例4-2】(25-26高三下·河南周口阶段检测)已知命题p:x∈R,x2>x-1;命题q:3x<0,x3=-x.则 () A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和g都是真命题 D.p和g都是真命题 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断全称命题、特称命题及它们的否定的真假 【分析】利用作差法可判断命题p,解方程x3=-x可判断命题q,即可得出合适的选项. 【详解】对于命腿p,x∈R,-(c-)=2-x+1=(x-)}+>0,则2>x-1, 故命题p为真命题： 对于命题q,由x3=-x可得x3+x=x(x2+1)=0,解得x=0,命题q为假命题，故命题9为真命题 【例4-3】(25-26高三上山东青岛·期末)下列命题正确的是() 第11页共18页 A.所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0B.任意一个偶数都不是素数 c.至少有一个整数n,使得n2+n是奇数 D.任意一个整数n,n2+1都不是4的倍数 【答案】D【难度】0.65【知识点】判断全称命题、特称命题的真假 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论 后可判断D的正误。 【详解】对于A,15可以被5整除的整数，但末尾数字是5，故A错误： 对于B,2为偶数且为素数，故B错误： 对于C,因为n,n+1必有一个偶数，故n(n+1)=n2+n必为偶数，故C错误： 对于D,若n=2k,k∈Z,则n2+1=4k2+1,故n2+1不是4的倍数， 若n=2k-1,k∈Z,则n2+1=4k2-4k+2,因4k2-4k为4的倍数， 故n2+1不是4的倍数， 故任意一个整数n,n2+1都不是4的倍数，故D正确。 故选：D. 【例4-4】（多选）下列命题是真命题的是() A.3a∈R,使y=2x十c2x在R上为偶函数 B.Vx∈R,y=sinx十cosx十V2的值恒为正数 C.3x∈R,2x<x2 D.Vx∈(0，+)，(3>l0gx 【答案】AC【难度】O.85【知识点】判断全称命题、特称命题的真假 【分析】分别判断各选项. 【详解】当a=1时，y=2+2x为偶函数，故A为真命题； y=sinx+cosx+2=12sin(x+4)十V2,当sim(&+)=-1时，y=0,故B为假命题； 当x∈(2,4)时，2<x2,故C为真命题： 当x=时，(ie(@1.log1,所以(<og克故D为餐命题。 【例4-5】（2026高三·全国.专题练习)命题“方程x2+x+1=0有实根”的否定是，其为命题. 【答案】方程x2+x+1=0没有实根：真【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由命题否定的定义判断即可得第一空，有一元二次方程根的判别式可得第二空， 【详解】命题“方程x2+x+1=0有实根”的否定形式是：方程x2+x+1=0没有实根， 因为△=1-4×1=-3<0，故方程x2+x+1=0没有实根，其为真命题 变式训练 1.(2025陕西西安模拟预测)已知命题p:VxER,x+1>1:命题q:]x>0,x3=x,则以下为真命题的是 () A.p和q B.p和q C.p和q D.p和q 第12页共18页 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断全称命题的真假、判断特称命题的真假 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题q为真命题，结合选项，即 可求解 【详解】由不等式x+1|>1,可得x+1<-1或x+1>1,解得x<-2或x>0, 所以命题即为假命题，则p为真命题， 又由x3=x,解得x=0或x=1或x=一1，所以命题q为真命题，则q为假命题， 故选：B 2.(24-25高三下广西·期中)己知命题p:x∈R,x2+2x+1>0:命题q:x0∈R,x6+3xo+1≤0，则() A.p和q都是真命题 B.p和g都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的真假 【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可. 【详解】注意到当x=-1时，x2+2x+1=0,则p是假命题，p是真命题： 又注意到x=-1时，x行+3x0+1=-1,则q为真命题，q是假命题： 所以p和q都是真命题. 故选：B 3.(2025四川模拟预测)已知命题p:x∈R,sinx<x,命题q4:x>0,x3+x=0,则() A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 【答案】D【难度】0.65【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】分别判断命题p和命题q的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出p和q的真假. 【详解】对于p,取x=-1,则有si(-1)>-1,故p是假命题，p是真命题： 对于q,x3+x=x(x2+1)=0,则x=0,故q是假命题，q是真命题. 综上，中和q都是真命题， 故选：D 4.(多选)(24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是() A.Hx∈R,x2-3x+5>0 B.x∈R,x2-3x+V2>0 C.至少存在两个质数的平方是偶数 D,存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD【难度】0.85【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】运用含有量词的命题的概念，结合特值法可解 【详解】“Vx∈R,x2-3x+5>0"不是存在量词命题，A错误. 第13页共18页 x=3,32-3×3+√2=√2>0，故B正确. 因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误. 内角为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确. 故选：BD 5.(2026高三全国.专题练习)已知命题p:"☑x∈R,x>,命题p的否定为命题q,则q是””：q 的真假为 (填“真"或“假”). 【答案】x∈R,x≤1；假【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题否定的定义得第一空，举反例判断即可得第二空 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，因此命题p的否定q为Vx∈R,x≤ 举反例：当x=2时，2>子不满足x≤因此q为假命题。 题型5由命题真假求参数（范围） 【例5-1】(25-26高三上·北京阶段检测)己知命题“x∈R,x2+ax+>0”是假命题，则实数α的取值范 围是() A.(-∞，-1)U(1,+0) B.(-∞，-1]U[1,+o) C.(-1,1) D.[-1,1 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为xER,x2+ax+≤0是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解。 【详解】由命题vx∈R,x+ax+>0是假命题，可得命题3x∈Rx2+ax+:≤0是真命题， 4 则满足△=a2-4×1×}≥0，解得a≤-1或a≥1， 所以实数a的取值范围为(-∞，一1]U[1,+o). 故选：B 【例5-2】（24-25高三下·上海阶段检测)己知A,B为非空实数集，2为平面直角坐标系中的一些点构成的 集合，集合C={y对任意x∈A,有（化，y)E2,集合D={x对任意y∈B,有(x,y)E2对于下列两个命题： ①若CSB,则D2A;②若C2B,则D≤A其中判断正确的是() A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由己知，设A={1,2},B=3}, 若2={(1,3)，(2,4)}，此时C=(没有y满足对任意x∈A,有(x,y)∈2)，而CcB, 若D={1仅x=1满足(1,3)∈2)，但A={1,2,所以D不包含A,故命题①错误： 设A={1},B={2,2={(1,2),(2,2)},此时C={2}满足C2B, 第14页共18页 若D=1,2(x=1和x=2均满足(x,2)∈2)，但A=1},所以D不包含于A, 故命题②错误 故选：B. 【例53】(24-25高三上甘肃兰州开学考试)命题9x[-1,2],+x-a≥0为真命题的一个必要 不充分条件是() A.a≤0 B.a≤1 C.a≤2 D.a≤3 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】参变分离可得a≤2+x-多令f)=x2+x-子，x∈-1,2]，结合二次函数的性质求出a的取 值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】若3xe[-1,2习，2+x-a≥0，则a≤+x- 令f)=x2+x-是x[-1,2.因为)=+x-=+1)2-2 所以f)在[-1,2上单调递增，所以f)的最大值是f(2)= 故a≤多则a≤的一个必要不充分条件是a≤3，故D正确： a≤0、a≤1、a≤2均为命腰3xe【-1,2习，x2+x-}a之0"为真命题的一个充分不必要条件，故A、B C错误。 故选：D. 【例5-4】（多选）（23-24高三上·江苏扬州·期中)下列选项中，能说明“x∈(-∞，2)，都有x2<4”为假命题 的x取值有(). A.-4 B.-2 c.0 D.3 【答案】AB【难度】0.94【知识点】判断全称命题的真假 【分析】将选项中的取值逐一代入计算可得AB为假命题，符合题意。 【详解】易知-4∈(-o∞，2)，但(-4)=16>4，此时为假命题，即A正确： 同理-2E(-∞，2)，但(-2)2=4，此时为假命题，即B正确： 而0∈(-∞，2)，但02=0<4，此时为真命题，即C错误： 显然3度(-o∞，2)，可得D错误： 故选：AB 【例5-5】(2026高三全国.专题练习)若实数λ使得命题：“c∈R,使得a,b∈R,均有1a2+b2-2ab+2b+ c≠0”是假命题，则的取值范围是 【答案】(-∞，1]【难度】0.4【知识点】根据全称命题、特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于b的方程，利用判别式得到关于α 的不等式，最后分1-1≥0和1-1<0两种情况分析，确定1的取值范围. 第15页共18页 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“Vc∈R,a,b∈R,使得a2+b2-2ab+2b+c=0"是真命题. 所以对任意实数c,方程b2-2(a-1)b+1a2+c=0都有实数解(a,b). 故而△b=4(a-1)2-4a2-4c≥0对任意固定的实数c都有解. 即关于a的不等式(1-)a2-2a+1-c≥0对任意固定的实数c都有解. 对不等式(1-)a2-2a+1-c≥0分情况讨论： ①.若1-1≥0，即1≤1.当1=1时，不等式为-2a+1-c≥0，对任意c显然有解 当1<1时，关于a的二次函数f(a)=(1-)a2-2a+1-c开口向上 其值域包含正数，故对任意c,总存在a使得f(a≥0.所以入≤1符合题意. ②.若1-1<0，即1>1.关于a的二次函数g(a=(1-)a2-2a+1-c开口向下， 其最大值为gax=9(侣)=-c. 要使不等式g(α)≥0对任意c都有解，则需要其最大值对任意c都非负， 即已-c≥0对任意c恒成立，这显然是不可能的故1>1不符合题意. 因此，1的取值范围是(-∞，1]. 故答案为：(-∞，1] 变式训练 1.(2025河南南阳模拟预测)已知a∈R,若“3x∈R,a=2+1"为假命题，则a的取值范围是() A.（-0,1) B.(1,+0) C.(-o,1] D.[1,+0) 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数取值范围 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解， 【解】命题“xeR，a=2+1"是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：x∈R,a≠2x+1,而函数y=2+1的值域为(1，+w), 由“3x∈R,a=2*+1"为假命题，得“x∈R,a≠2x+1”为真命题，则a≤1， 所以a的取值范围是(-n,1故选：C 2.(2025高三下江苏苏州开学考试)若命题“Vx∈R,x2-2m+6a>0"是假命题，则a的取值范围是() A.(0,6)B.(-0,0)U(6,+0）C.[0,6]D.(-∞，0]U[6,+∞) 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得α的取值范围》 【解】命题“x∈R,x2-2+6a>0"是假命题，则3x∈R,x2-2ax+6a≤0是真命题， ∴.△=4a2-24a≥0，解得：a≥6或a≤0，即a的范围是(-o,0U6,+o)·故选：D. 3.(2024全国模拟预测)己知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.定义P为全体 第16页共18页 素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是() A.ano∈Nn[2,+oo),p1∈P,Vp2∈P,p1+p2≠2no B.{p1+p2lp1∈P,p2∈P}2{2ln∈Nn[2,+o)} C.{xlp1∈P,p2∈P,x=p1+p2且，￠Ny=g D.m∈N,2m≤2或Pn{2m-plp∈P}≠g 【答案】C【难度】0.4【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意逐一分析A,B,C,D四个选项即可得到答案. 【详解】A的意思是不存在偶数2o不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为2+3=5是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错 D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数. 故选：C 4.(多选)(2026河南南阳模拟预测)下列结论正确的有() A.x∈R,x2+4>2X B."3x∈R,x-1+1<0"是假命题 C.“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D.“Hx∈R,x+4x4≥0"的否定是“Vx庄R,x+4x4<0” 【答案】AB【难度】0.5【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断全称命题的真假、判断命题是否为 特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项， 【详解】选项A:将不等式变形：x2-2x+4>0,配方得：(x-1)2+3>0, 对所有实数恒成立，因此选项A正确： 选项B:由绝对值的非负性，x-1≥0， 因此x-1+1>0,不可能小于0，因此选项B正确： 选项C:“有理数的平方是有理数"等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误： 选项D:全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变x的取值范围，因此选项D错误 故选：AB 5.（25-26高三上陕西咸阳阶段检测)若命题“x∈[1,2]，使得x2-a≥0"为真命题时，实数a的取值集合为 A,则CRA= 【答案】(4，+∞)【难度】0.4【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 第17页共18页 【分析】由题意a≤x2在xe[1,2]时有解，故a≤(x2)mx'x∈[1,2]，进一步即可求解. 【详解】因为命题“3x∈[1,2]，使得x2-a≥0"为真命题， 所以a≤x2在x∈[1,2]时有解，所以a≤(x2)max'x∈[1,2]， 因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a≤4，所以A=(-oo,4, 所以CRA=(4,+∞)， 故答案为：(4，+oo). 第18页共18页 2027届高考数学一轮复习 1-2 常用逻辑用语 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 充要条件 2023新Ⅰ卷、 以其它知识点为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。 全称量词与存在量词 2024新Ⅱ卷、 全称命题和存在命题的否定，命题真假判断。 知识梳理 五年真题剖析 1．(2024新Ⅱ卷T2)已知命题p：，；命题q：，，则(    ) A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．(2023新Ⅰ卷T7)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 重点题型分析 题型1 充分条件、必要条件的判断 【例1-1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（26-27高三上·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤； 其中是的必要不充分条件其中与命题等价的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例1-4】(多选)（2027高三·全国·专题练习）不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D．或 【例1-5】（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是________． 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 变式训练 1.（26-27高三上·安徽·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(多选)（2025·安徽·一模）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高三上·安徽合肥·阶段检测）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的______条件. 题型2 充要条件的应用 【例2-1】（26-27高三上·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高三上·内蒙古·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例2-4】(多选)（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 变式训练 1.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 2.若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.(多选)（24-25高三上·辽宁锦州·期中）若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高三上·广东梅州·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 题型3 含量词命题的否定 【例3-1】（26-27高三上·河南·阶段检测）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高三上·天津河东·期中）命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【例3-3】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【例3-4】(多选)（22-23高三上·广东深圳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 【例3-5】(2024四川成都一模)命题“，”的否定为 ． 变式训练 1.（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 2.（26-27高三上·甘肃·阶段检测）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（2027高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 4.(多选)（24-25高三上·重庆·期中）已知p：“，是奇数”，q：“，是偶数”，则（   ） A．：，是偶数” B．：“，是偶数” C．：“，是奇数” D．：“，是奇数” 5.（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 题型4 含量词命题的真假判断 【例4-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知命题，，命题，，则(   ) A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例4-2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例4-3】（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【例4-4】(多选)下列命题是真命题的是( ) A．∃a∈R，使y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)， 【例4-5】（2026高三·全国·专题练习）命题“方程有实根”的否定是_____，其为_____命题． 变式训练 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.（24-25高三下·广西·期中）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3.（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4.(多选)（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 5.（2026高三·全国·专题练习）已知命题，，命题的否定为命题，则是“________”；的真假为________（填“真”或“假”）． 题型5 由命题真假求参数(范围) 【例5-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【例5-3】（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例5-4】(多选)（23-24高三上·江苏扬州·期中）下列选项中，能说明“，都有”为假命题的x取值有（    ）. A． B． C．0 D．3 【例5-5】（2026高三·全国·专题练习）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 变式训练 1．(2025河南南阳模拟预测)已知，若“，”为假命题，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.(2025高三下江苏苏州开学考试)若命题“”是假命题，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D． 或 4.(多选)（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 5.（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习1-2常用逻辑用语讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新I卷、新Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 充要条件 以其它知识点为命题背景，考查充分条件与 2023新I卷、 必要条件，难度随载体而定。 全称量词与存在量词 2024新Ⅱ卷、 全称命题和存在命题的否定，命题真假判断。 知识梳理 若p→q,则p是q的充分条件，g是p的必要条件. 若p→q且qp,则p是q的充分不必要条件. 概念 若pg且q→p,则p是q的必要不充分条件. 若p÷q,则p是q的充要条件. 若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件. 若p是q的充分不必要条件一q是p的充分不必要条件： 充分条 若p是q的必要不充分条件一g是p的必要不充分条件； 等价转化法 件、必 若p是q的充要条件÷q是p的充要条件： 要条件 若D是q的既不充分也不必要条件一q是p的既不充分也不必要条件. 与充要 条件 若条件D以集合A的形式出现，条件q以集合B的形式出现，则 若ASB,则D是q的充分条件： 若BSA,则p是q的必要条件： 集合法判断 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若BA,则p是q的必要不充分条件： 若A-B,则D是q的充要条件； 用 若AB 且BA,则D是q的既不充分也不必要条件. 若p是q的充分不必要条件：p→q且qp(关键词：“是”，此为正常顺序) 注意两种结构 若p的充分不必要条件是q:q→p且pg(关键词：“的”，此为倒装顺序) 语 全称量词：，表示所有、一切、任意、全部、每一个等 概念 存在量词：3，表示存在一个、至少一个、有些、某些等 全称量 全称量词命 全称量词命题：p:Vx∈M,p(x),表示对M中任意一个x,都有D(x) 词与存 题、存在量词 全称量词命题的否定：p:3x0∈M,p(xo) 在量词 命题及其否定 存在量词命题：p:3x0∈M,p(x0),表示M中存在xo,使p(xo)成立 存在量词命题的否定：p:Yx∈M,p(x) 常用的正面叙 述词语和它的 正面等于=)大于(>)小于(<)是都是任意，所有至多一个至少一个 否定词语 否定不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是 不都是某个，某些至少两个不存在 五年真题剖析 1.(2024新Ⅱ卷T2)已知命题p:x∈R,1x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则() A.卫和q都是真命题 B.P和q都是真命题C.p和9都是真命题D.P和q都是真命题 2.(2023新I卷T7)记S为数列{a}的前n项和，设甲：{a,}为等差数列；乙：{为等差数列，则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 。B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 第1页共8页 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 重点题型分析 题型1充分条件、必要条件的判断 【例1-1】（26-27高三上山东德州阶段检测)“m>2”是“m3>9的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例1-2】(26-27高三上·山西吕梁阶段检测)“x≤1"的一个充分不必要条件可以是（) A.x≤2 B.X<0 C.0<X<2 D.X<3 【例1-3】(26-27高三上广西南宁·阶段检测)若A、B是全集U的真子集，则下列五个命题：①A∩B=A: ②AUB=A;③An(CuB)=D;④AnB=U;⑤x∈B: 其中是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A∈B等价的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例1-4】（多选）(2027高三·全国.专题练习)不等式(2x-1)(1-x)<0成立的充分不必要条件是() A.x>1或x< B.x>1 C.-1<x< D.x<-1或x>月 【例1-5】(25-26高三·全国.一轮复习)设a,b,c∈R,命题a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是 鲁方法提炼思维升华 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p→q,q户p是否成立进行判断. (2)集合法：根据卫，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 变式训练 1.（26-27高三上·安徽·开学考试)“x∈Q"是“x∈N*"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026高三.全国专题练习)“x>1"是1<1"成立的（) 第2页共8页 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026湖北武汉模拟预测)现有一个迷宫如图所示，小球Ω从B,C,D三个口中的一个口滚动进入后，该 口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从B口滚动进入”是“小球从D口滚动出来"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)(2025安徽一模)若a,b∈R,则“a3<b3"的充分不必要条件是（) A.a<b B.Vb-a>1 C.a2<b2 D.0<<日 5.(23-24高三上安徽合肥阶段检测)给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择 补充到下面横线上 己知集合P={x|-1≤x≤5}，S={x2-m≤x≤3+2m},存在实数m使得“x∈P"是“x∈S"的条件. 题型2充要条件的应用 【例2-1】（26-27高三上浙江开学考试)若“a<x<a+1"是"-1<x<2”成立的充分条件，则实数a的取 值范围为() A.[-1,1] B.（-1,1) C.[-2,1] D.(-2,1) 【例2-2】(26-27高三上·内蒙古阶段检测)已知p:1<x<3,q:2m<x<2m+1,若p是q的必要不充分 条件，则实数m的取值范围是() A.（m,) B.[1,+∞) c.传) 0.] 【例2-3】(2026高三全国.专题练习)条件p:x-1>x-1,条件q:x<Q,若p是q的充分不必要条件，则 a的取值范围() A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1 第3页共8页 【例2-4】（多选）(25-26高三上内蒙古赤峰阶段检测)若“x≥a”是“x>2"的充分不必要条件，则a的取值可 以是() A.1 B.2 C.3 D.4 【例25】(2026高三全国专题练习)已知集合A={xx=t-t+1,t[匠，2}，B={x+m2≥1.若 “xeA"是“xeB”的充分条件，则实数m的取值范围是一· 鲁方法提炼思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等 式（或不等式组）求解. (2)要注意区间端点值的检验. 变式训练 1.若“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为() A.（-0,1) B.（-n,1] C.(1,+0) D.[1,+o0) 2.若不等式-a<x<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是() A.0<a≤1 B.0<a<1 C.a≥1 D.a>1 3朱合4-{小，B=-b水a以，若“a=1是AnB≠0的充分条件，则b的取值范国是(） A.-2≤b<0 B.0<b≤2 C.-3<b<-1 D.-2<b<2 4.(多选)(24-25高三上辽宁锦州期中)若p:mx+1=0是q:x2+x-6=0的充分不必要条件，则实数m 的值可以为() A.2 C. D.0 5.（25-26高三上广东梅州阶段检测)已知x-≤2”是“x2-7x-8≤0的充分不必要条件，则实数a的 取值范围为 题型3含量词命题的否定 【例3-1】(26-27高三上河南阶段检测)命题“x>0,x3-x+2026>0”的否定为（) 第4页共8页 A.Hx>0,x3-x+2026≤0 B.Hx≤0，x3-x+2026≤0 C.x>0,x3-x+2026≤0 D.]x≤0，x3-x+2026≤0 【例3-2】（25-26高三上·天津河东期中)命题“门x∈R,-1≤p(x)<1"的否定形式是() A.x∈R,-1≤p(x)<1 B.x庄R,-1≤p(x)<1 C.Hx∈R,p(x)<-1或p(x)≥1 D.3x∈R,p(x)<-1或p(x)≥1 【例3-3】(2025河北保定.一模)已知命题p:n∈N,V元>gn,则p为() A.n∈N,Vm≤lgn B.n∈N*,√m>lgn C.m∈W,vn<lgn D.mtN,Vn≤lgn 【例3-4】（多选）（22-23高三上广东深圳阶段检测)下列命题正确的是() A.“Vx∈R,X2>0”的否定是“3x∈R,x2<0” B.“a>"是止<2"的充分不必要条件 C.“a=0"是“ab=0"的充分不必要条件 D.“x≥1且y≥1"是“x2+y2≥2"的必要不充分条件 【例3-5】(2024四川成都一模)命题“x>0,tanx>x"的否定为 变式训练 1.(26-27高三上·重庆南岸阶段检测)已知命题p:x∈R,x2-x+1>0,则命题p的否定p为() A.3x∈R,x2-x+1≤0 B.x∈R,x2-x+1≤0 C.3x∈R,x2-x+1>0 D.VX∈R,x2-x+1>0 2.(26-27高三上.甘肃阶段检测)命题妇x>0,2x<1"的否定为() A.x>0,2x≥1 B.3x≤0,2x<1 C.x≤0,2x<1 D.3X>0,2x≥1 3.(2027高三·全国.专题练习)已知命题p:x∈(-∞，0)，2x<3x,则p为() A.3x∈[0，+o),2x<3x B.x∈(-0∞，0)，2x≥3x C.Vx∈[0，+∞)，2x<3x D.x∈(-o,0),2x≥3x 4.(多选)(24-25高三上重庆期中)己知p:“Vx∈N,2x+1是奇数”，q:x∈N,3x+1是偶数”，则() A.p:xEN,2x+1是偶数" B.p:x∈N,2x+1是偶数" 第5页共8页 C.q:“x∈N,3x+1是奇数" D.q:“x∈N,3x+1是奇数” 5.(26-27高三上河北衡水开学考试)命题"va>b>c>0,a3+b3+c3>3abc"的否定是 题型4含量词命题的真假判断 【例4-1】(2025河北秦皇岛模拟预测)已知命题p:x∈R,1-x≤1，命题q:x>0,x2=x,则() A.P和q都是真命题B.P和q都是真命题C.P和q都是真命题D.和q都是真命题 【例4-2】(25-26高三下·河南周口阶段检测)己知命题p:x∈R,x2>x-1;命题q:3x<0,x3=-x则 () A.p和q都是真命题 B.p和g都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 【例4-3】(25-26高三上山东青岛·期末)下列命题正确的是() A.所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0B.任意一个偶数都不是素数 C.至少有一个整数n,使得n2+n是奇数 D.任意一个整数n,n2+1都不是4的倍数 【例4-4】（多选）下列命题是真命题的是() A.彐a∈R,使y=2x+a2x在R上为偶函数 B.x∈R,y=sinx十cosx十V2的值恒为正数 C.3x∈R,2x<x2 D.Vx∈(0，+∞)，()x>log1x 【例4-5】(2026高三·全国.专题练习)命题“方程x2+x+1=0有实根”的否定是，其为命题. 变式训练 1.(2025陕西西安模拟预测)已知命题p:x∈R,lx+1>1;命题q:x>0,x3=x,则以下为真命题的是 () A.p和q B.p和q C.p和q D.p和q 2.(24-25高三下.广西期中)己知命题p:x∈R,x2+2x+1>0;命题q:3x0∈R,x行+3x0+1≤0，则() A,p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 第6页共8页 3.(2025四川模拟预测)己知命题p:x∈R,sinx<x,命题q:3x>0,x3+x=0,则() A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 4.(多选)（24-25高三上黑龙江伊春·开学考试)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是() A.x∈R,x2-3x+5>0 B.3x∈R,x2-3x+V2>0 C.至少存在两个质数的平方是偶数 D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 5.(2026高三全国专题练习)已知命题p:"3x∈R,x>”,命题p的否定为命题q,则q是“ ”；q 的真假为 (填“真”或“假”). 题型5由命题真假求参数（范围） 【例5-1】(25-26高三上北京阶段检测)已知命题xER,x2+ax+>0”是假命题，则实数α的取值范 围是() A.(-∞，-1)U(1,+o) B.(-0∞，-1]U[1,+o) c.(-1,1) D.[-1,1] 【例5-2】(24-25高三下·上海阶段检测)己知A,B为非空实数集，Ω为平面直角坐标系中的一些点构成的 集合，集合C={y对任意x∈A,有(x,y)∈2，集合D={x对任意y∈B,有(x,y)∈2.对于下列两个命题： ①若CCB,则D2A;②若C2B,则D∈A其中判断正确的是() A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 【例53】(24-25高三上：甘肃兰州，开学考试)命题3x[-1,2].x2+x--a≥0为真命恶的-个必要 不充分条件是() A.a≤0 B.a≤1 c.a≤2 D.a≤3 【例5-4】（多选）（23-24高三上江苏扬州期中)下列选项中，能说明“Vx∈(-∞，2)，都有x2<4"为假命题 的x取值有(). A.-4 B.-2 c.0 D.3 【例5-5】(2026高三·全国.专题练习)若实数λ使得命题："c∈R,使得a,b∈R,均有1a2+b2-2ab+2b+ c≠0”是假命题，则的取值范围是 第7页共8页 变式训练 1.(2025河南南阳模拟预测)已知a∈R,若“3xeR,a=2x+1"为假命题，则a的取值范围是() A.（-o,1) B.(1,+∞) C.(-o,1] D.[1,+0) 2.(2025高三下江苏苏州开学考试)若命题“x∈R,x2-2+6a>0"是假命题，则a的取值范围是() A.(0,6)B.(-∞，0)U(6,+∞)C.[0,6]D.(-0,0U[6,+∞) 3.(2024全国模拟预测)已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.定义P为全体 素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是() A.日no∈Nn[2,+o),p1∈P,p2∈P,p1+p2≠2no B.{p1+p2lp1∈P,p2∈Py2{2nln∈Nn[2,+∞)} C.{xlp1∈P,p2∈P,x=p1+p2且EN=g D.m∈N,2m≤2或Pn{2m-plp∈P}≠g 4.(多选)(2026河南南阳·模拟预测)下列结论正确的有（) A.x∈R,x2+4>2x B.“妇x∈R,|x-1+1<0"是假命题 C.“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D.“Vx∈R,x+4x4≥0"的否定是“x庄R,x+4x4<0" 5.(25-26高三上陕西咸阳·阶段检测)若命题“x∈[1,2]，使得x2-a≥0”为真命题时，实数a的取值集合为 A,则CRA= 第8页共8页