第2讲 常用逻辑用语讲义（3考点+5题型）-2027届高三数学一轮复习

第2讲 常用逻辑用语 目录 Part1考点突破 考点1：充分条件、必要条件、充要条件 考点2：全称量词与存在量词 考点3：含有一个量词的命题的否定 Part2 题型探究 题型1：判断充分条件、必要条件 题型2：根据充要条件、必要条件求参 题型3：全称量词命题、存在量词命题的否定 题型4：判断全称量词命题、存在量词命题的真假 题型5：由全称量词命题、存在量词命题的真假求参 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：充分条件、必要条件、充要条件】 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 【例1】（2026春•上海校级期中）设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【解析】解：当 是钝角时，，必要性满足， 是平面向量的一组基底，则， 时，，充分性满足， 故选：C． 【考点2：全称量词与存在量词】 1、全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． 2、存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 【例2】（2025秋•射阳县校级期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x，y∈R，x2+y2＜0 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x∈Z，x2＞0 【答案】D 【分析】结合存在量词命题及真假关系检验各选项即可求解． 【解析】解：选项AC为全称量词命题，错误； 选项B为假命题，错误； 选项D为存在量词命题且为真命题． 故选：D． 【考点3：含有一个量词的命题的否定】 1、全称量词命题的否定为，． 2、存在量词命题的否定为． 【例3】（2026•香坊区校级三模）命题“∀x＞1，x2﹣1＞0”的否定形式是（　　） A．∀x＞1，x2﹣1≤0 B．∀x≤1，x2﹣1≤0 C．∃x＞1，x2﹣1≤0 D．∃x≤1，x2﹣1≤0 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可． 【解析】解：“∀x＞1，x2﹣1＞0”的否定形式是“∃x＞1，x2﹣1≤0”， 故选：C． Part 2 题型探究 【题型1：判断充分条件、必要条件】 【例1】（2026•模拟）已知函数f（x）＝x3+ax2+2x，则“”是“f（x）在R上单调递增”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性的关系，结合充分性、必要性的定义进行求解即可． 【解析】解：f′（x）＝3x2+2ax+2． 当f（x）在R上单调递增时，则有f′（x）≥0在R上恒成立， 于是有Δ＝（2a）2﹣4×3×2≤0，解得， 显然当时，不一定能推出， 同样当时，也不一定能推出， 所以“”是“f（x）在R上单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式1】（2026•东城区二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“a+b＞c+d”是“a2+b2＞c2+d2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可求解． 【解析】解：当a＝2，b＝1，c＝2.5，d＝0.1时，满足a+b＞c+d，而a2+b2＜c2+d2，充分性不成立； 当a＝3，b＝1，c＝d＝2时，满足a2+b2＞c2+d2，而a+b＝c+d，必要性不成立． 故选：D． 【变式2】（2025秋•周至县期末）tan（α+β）＝0是tanα+tanβ＝0成立的_____条件．（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】结合充分必要条件的定义即可求解． 【解析】解：若tanα+tanβ＝0，tanα＝﹣tanβ＝tan（﹣β），可知α＝kπ﹣β， ∴α+β＝kπ，则tan（α+β）＝0，充分性成立； 设，此时tan（α+β）＝0，但不存在，必要性不成立． 故选：B． 【题型2：根据充要条件、必要条件求参】 【例2】（2026春•保亭县校级月考）已知p：f（x）＝x﹣alnx在[2，+∞）上单调递增，q：a＜m．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 【答案】B 【分析】对于命题p，将问题转化为在[2，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合充分不必要条件的定义即可求解m． 【解析】解：p：f（x）在[2，+∞）上单调递增， 则在[2，+∞）上恒成立． 即a≤x在[2，+∞）上恒成立， 所以a≤2， 又p是q的充分不必要条件， 所以{a|a≤2}⫋{a|a＜m}，即m＞2． 故选：B． 【变式1】（2025秋•陕西期中）“方程x2﹣2mx+m＝0至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则a的取值范围是　{a|a＞1}．　 ． 【答案】{a|a＞1}． 【分析】结合二次方程根的存在条件先求出m的范围，然后结合必要不充分条件与集合包含关系的转化即可求解． 【解析】解：方程x2﹣2mx+m＝0至多有一个实数解⇔Δ＝4m2﹣4m≤0⇔0≤m≤1， 由题意可得，1，解得a＞1． 故答案为：{a|a＞1}． 【变式2】（2025秋•嘉定区校级月考）已知α：2x+log2x≤2，β：x≤m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，化简条件α得到x∈（0，1]，然后将充分条件转化为集合的包含关系进行求解，可得本题答案． 【解析】解：设f（x）＝2x+log2x，可知f（x）在（0，+∞）内单调递增， 根据f（1）＝21+log21＝2，解不等式2x+log2x≤2，可得0＜x≤1， 因为α是β的充分条件， 所以{x|0＜x≤1}⊆{x|x≤m}，解得m≥1，D项符合题意． 故选：D． 【题型3：全称量词命题、存在量词命题的否定】 【例3】（2026•汕头二模）已知命题p：∀α∈R，，则下列结论正确的是（　　） A．p为真命题，且命题p的否定为：∀α∈R， B．p为真命题，且命题p的否定为：∃α∈R， C．p为假命题，且命题p的否定为：∀α∈R， D．p为假命题，且命题p的否定为：∃α∈R， 【答案】B 【分析】先判断命题p的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题p的否定，最后根据判断结果选择正确选项． 【解析】解：sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），所以命题p为真命题． 它的否定为：． 故选：B． 【变式1】（2025秋•海口月考）命题“，2x+xcosx＞3sinx”的否定是（　　） A．，2x+xcosx＞3sinx B．，2x+xcosx≤3sinx C．，2x+xcosx＞3sinx D．，2x+xcosx≤3sinx 【答案】B 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【解析】解：由命题否定的定义可知，命题“，2x+xcosx＞3sinx”的否定是：“，2x+xcosx≤3sinx”． 故选：B． 【变式2】（2025秋•湖南期末）已知命题p：∃n∈N，2n＞2026，则￢p为（　　） A．∀n∈N，2n≤2026 B．∀n∈N，2n＞2026 C．∃n∈N，2n≤2026 D．∃n∈N，2n＞2026 【答案】A 【分析】由存在量词命题的否定定义可判断． 【解析】解：由命题p：∃n∈N，2n＞2026，可得，￢p为∀n∈N，2n≤2026． 故选：A． 【题型4：判断全称量词命题、存在量词命题的真假】 【例4】（2026•西安校级模拟）已知命题p：∀x∈R，x≠0，则，命题q：∃x0∈R，，则（　　） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 【答案】C 【分析】结合命题的真假关系即可求解． 【解析】解：对于命题p，当x＝1时，，为假命题； 对于命题q，由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，q为真命题． 故选：C． 【变式1】（2026•贵阳模拟）已知命题p：∀x＞0，log2x＞0；命题q：∃x＜0，|x+1|＞1，则（　　） A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【答案】B 【分析】结合全称量词及存在量词命题的真假关系即可求解． 【解析】解：当时，log2x＝﹣1＜0，p为假命题，￢p是真命题， 当x＝﹣3时，|x+1|＝2＞1，q是真命题，￢q是假命题． 故选：B． 【变式2】（2025秋•宁波期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx；命题，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【答案】B 【分析】结合三角函数线检验p的真假，结合指数与一次函数图象检验选项B，然后结合复合命题真假即可求． 【解析】解：结合三角函数线可知，当正弦函数性质可知，当x∈（0，]时，y＝sinx的图象恒在y＝x下方，即sinx＜x， 当x时．sinx≤1＜x， 故x＞sinx恒成立，命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx为真命题； 当x＞0时，y＝ex的图象恒在y＝x上方， 命题为假命题， 故￢q为真命题，￢p为假命题． 故选：B． 【题型5：由全称量词命题、存在量词命题的真假求参】 【例5】（2025秋•德宏州期末）若命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题，则（　　） A．m≤2 B． C．m＞2 D． 【答案】D 【分析】先根据全称命题的否定是特称命题求出特称命题，然后化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，确定最值，进而求得结果． 【解析】解：因为命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题， 可知∃x∈[2，3]，x2﹣mx+1＜0是真命题， 则，令， 得，因为x∈[2，3]，所以x2﹣1＞0， 所以t′（x）＞0，所以t（x）在[2，3]上单调递增，， 则． 故选：D． 【变式1】（2025秋•渭南期末）已知命题“∀x∈R，x2+ax0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 【答案】B 【分析】结合全称量词命题真假关系即可求解． 【解析】解：命题“∀x∈R，x2+ax0”是假命题， 则命题“∃x∈R，x2+ax0”是真命题， 所以Δ＝a2﹣1≥0，解得a≥1或a≤﹣1． 故选：B． 【变式2】（2026•张掖模拟）命题p：“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，4] B．[2，4） C．（1，2） D．[0，2] 【答案】D 【分析】题意说明￢p：“∀x∈R，ax2+2ax+2≥0恒成立”是真命题，然后对a分类讨论可得． 【解析】解：p：“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2＜0成立”为假命题， 则￢p：“∀x∈R，ax2+2ax+2≥0恒成立”是真命题， a＝0时，2≥0恒成立，满足题意， a≠0时，则，解得0＜a≤2， a的范围是[0，2]． 故选：D． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2025秋•商丘期末）设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1“是“数列{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q＝2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立． 若an＝﹣1•（）n﹣1为递增数列，但q1不成立，即必要性不成立， 故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D． （多选）2．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，”是真命题 B．命题“∃x∈R，使得x2+1＝0”是假命题 C．A⊆B是A∩B＝A的充要条件 D．是集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素的充要条件 【答案】BC 【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假，集合的交集运算及元素与集合关系检验各选项即可判断． 【解答】解：当x时，A显然错误； 因为x2+1＞0恒成立，即∀x∈R，使得x2+1≠0，B正确； A⊆B⇔A∩B＝A，C正确； 当a时，A＝{x|x2+x+1＝0}＝{﹣2}，充分性成立， 当a＝0时，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，必要性不成立，D错误． 故选：BC． （多选）3．（2025秋•九龙坡区校级期中）若“∃x∈R，（a+1）x2+2ax+1＜0”是假命题，则a的值可能是（　　） A． B． C． D．﹣1 【答案】AC 【分析】首先根据“∃x∈R，（a+1）x2+2ax+1＜0”为假命题，将问题转化为“∀x∈R，（a+1）x2+2ax+1≥0”恒成立问题，然后通过对a分类讨论求解． 【解答】解：“∃x∈R，（a+1）x2+2ax+1＜0”为假命题，则“∀x∈R，（a+1）x2+2ax+1≥0”为真命题， 当a+1＝0，即a＝﹣1时，﹣2x+1≥0不恒成立，不符合题意； 当a+1≠0时，则，解得a， 故a的值可能为，． 故选：AC． 4．（2026•广州模拟）设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是　　 ． 【答案】 【分析】求出不等式对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：∵x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）， ∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0， 则3a＜x＜a，（a＜0）， 由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3， ∵￢p是￢q的必要非充分条件， ∴q是p的必要非充分条件， 即，即a＜0， 故答案为： 5．（2025秋•苏州期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】由题意可得是真命题，进而结合正弦函数、正切函数的单调性求解即可． 【解答】解：若“”是假命题， 由题意，是真命题， 因为函数y＝sinx，y＝tanx在上单调递增， 所以函数y＝sinx+tanx在上单调递增， 则，即， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 6．（2025秋•龙马潭区期中）已知p：A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}（m＞0）． （1）是否存在实数m，使p是q的充分条件，若存在，求出m的范围； （2）是否存在实数m，使p是q的必要条件，若存在，求出m的范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）A＝[﹣2，10]．若p是q的充分条件，则，m＞0，解得m范围． （2）若p是q的必要条件，则，m＞0，解得m范围． 【解答】解：（1）A＝[﹣2，10]． 若p是q的充分条件，则，m＞0，解得：m≥9． ∴m的取值范围是[9，+∞）． （2）若p是q的必要条件，则，m＞0，解得0＜m≤3． ∴m的取值范围是（0，3]． 7．已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程1表示双曲线． （1）若a＝1，且p∧q为真，求实数m的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，利用一元二次不等式的解法可得m的取值范围；命题q：方程1表示双曲线，利用双曲线的标准方程可得（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得m． （1）根据a＝1，及其p∧q为真，即可得出其范围． （2）由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，进而得出a的范围． 【解答】解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m＜5． （1）若a＝1，则p：1＜m＜4． 由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4． ∴实数m的取值范围是（3，4）． （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件． ∴，等号不能同时成立． 解得3． ∴实数a的取值范围是． 8．（2025秋•播州区校级期中）（1）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围； （2）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由4x+p＜0，解得，由x2﹣x﹣2＞0解得x＞2或x＜﹣1．即可得出． （2）利用（1）即可判断出． 【解答】解：（1）由4x+p＜0，解得，由x2﹣x﹣2＞0解得x＞2或x＜﹣1． 当1，即p≥4时，“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件． （2）由（1）可知：不存在p使得“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的必要条件． 9．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}． （1）若集合B＝{x|﹣5＜x＜1}，求此时实数m的值； （2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由集合B可得方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根为﹣5，1，再由根与系数的关系列式求解m值； （2）由p是q的充分条件，知A⊆B，求解一元二次不等式化简A与B，然后对m分类求解得答案． 【解答】解：（1）∵B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}＝{x|﹣5＜x＜1}， ∴方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根为﹣5，1． 由韦达定理知x1+x2＝﹣5+1＝﹣4m，则m＝1． 此时满足B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}＝{x|x2+4x﹣5＜0}＝{x|（x+5）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣5＜x＜1}； （2）由p是q的充分条件，知A⊆B， 又A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|（x﹣m）（x+5m）＜0}， ①m＞0时，﹣5m＜m，B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B， 有，满足m＞0； ②m＜0时，m＜﹣5m，B＝{x|m＜x＜﹣5m}，由A⊆B， 有，满足m＜0； ③m＝0时，B＝∅，不满足A⊆B． 综上所述，实数m的取值范围是m≤﹣1或m≥4． 【提升通关练】 10．已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】分别取两不同数域Ω，设三个不同事件A，B，C，由积事件、相互独立事件的概率及充分必要条件的判定分析． 【解答】解：取数域Ω＝{a，b，c，d}，其中a，b，c为等可能的样本点，设A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}． 则P（A）＝P（B）＝P（C），P（AB）＝P（BC）＝P（AC），故A，B，C两两独立， 但，故此时，P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）不成立； 取数域Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，其中1，2，3，4，5，6，7，8为等可能的样本点， 设A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{4，6，7，8}． 则P（A）＝P（B）＝P（C），P（ABC）， ，故A，C不独立，也即A，B，C两两独立不成立． ∴“A，B，C两两独立”是“P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 11．“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】A 【分析】根据题意，利用导数研究函数y＝ex+a﹣x+1的单调性，从而算出函数的最小值，由此得到“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”成立的充要条件，再充分必要条件的性质算出答案． 【解答】解：若曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方，则函数y＝ex+a﹣x+1的最小值大于0， 求导数，得y′＝ex+a﹣1，可知当x＝﹣a时，y′＝0， 因为x＜﹣a时，y′＜0，x＞﹣a时，y′＞0， 所以函数y＝ex+a﹣x+1在（﹣∞，﹣a）上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数． 故当x＝﹣a时，函数y＝ex+a﹣x+1的最小值为2+a， 可知：若曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方，则2+a＞0，解得a＞﹣2． 故“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（﹣2，+∞）的一个真子集， 对照各选项，可知A正确． 故选：A． （多选）12．（2026秋•清江浦区校级月考）已知f（x）＝ax2+bx+c且关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（　　） A．b＞0 B．f（﹣99）＜f（101） C．命题“∃x∈R，bx2+cx﹣a＜0，”为假命题 D．若ax2+bx+c+1＞0的解集为M，则（﹣1，2）⊆M 【答案】ACD 【分析】由已知结合二次不等式与二次方程，二次函数转化关系即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝ax2+bx+c，且关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，2）， 所以a＜0，且ax2+bx+c＝0的根为﹣1和2， 所以，得b＝﹣a，c＝﹣2a， 对于A，因为a＜0，所以b＝﹣a＞0，故A正确； 对于B，f（x）＝ax2﹣ax﹣2a开口向下，对称轴为x， 因为|﹣99|＜|101|， 所以f（﹣99）＞f（101），故B错误； 对于C，bx2+cx﹣a＜0即为﹣ax2﹣2ax﹣a＜0， 即x2+2x+1＜0，无解，故命题“∃x∈R，bx2+cx﹣a＜0”为假命题，故C正确； 对于D，因为y＝ax2+bx+c+1＞0，可得ax2+bx+c＞﹣1， 由f（x）＞0可得，ax2+bx+c＞0，则（﹣1，2）⊆M，故D正确． 故选：ACD． 13．（2026•深圳模拟）已知集合A＝{y|y＝x2x+1，x∈[，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【分析】直接利用充分条件和必要条件，恒成立问题，不等式的解法的应用求出参数m的值． 【解答】解：对于集合A＝{y|y＝x2x+1，x∈[，2]}， 故y，由于x∈[，2]，所以． 由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以m2≥（1﹣x）max恒成立； 即， 整理得m的取值范围为m． 故答案为：． 14．（2026•重庆校级模拟）设a，b∈R，若对∀x≥0，0≤x4﹣4x3+ax2﹣bx+1≤（x﹣1）（x3﹣1），则ab＝　24　 ． 【答案】24． 【分析】代入x＝1，得到a＝b+2，再利用二次函数的性质即可求解结论． 【解答】解：∀x≥0，0≤x4﹣4x3+ax2﹣bx+1≤（x﹣1）（x3﹣1）， 代入x＝1，可得0≤1﹣4+a﹣b+1≤0，即a﹣b﹣2＝0⇒a＝b+2， 展开（x﹣1）（x3﹣1），可得x4﹣x3﹣x+1， 即x4﹣4x3+ax2﹣bx+1≤x4﹣x3﹣x+1， 化简可得﹣3x3+ax2﹣（b﹣1）x≤0， 因为x≥0， 当x＞0时，化简可得3x2﹣ax+（b﹣1）≥0， 代入a＝b+2，可得3x2﹣（b+2）x+（b﹣1）≥0， 即（x﹣1）[3x﹣（b﹣1）]≥0， 设函数f（x）＝3x2﹣（b+2）x+（b﹣1）， 因为f（x）是开口向上的二次函数，且f（1）＝0，又要满足当x＞0时f（x）≥0， 所以x＝1必须是函数的重根，即另一个根，解得b＝4， a＝b+2，解得a＝6， 当x＝0时，代入可得0≤0，恒成立， 所以ab＝4×6＝24． 故答案为：24． 15．已知函数f（x）＝x•（2x﹣2﹣x），存在，使不等式f（ax+1）≤f（2﹣x）成立，则实数a的取值范围是　﹣5≤a≤1　 ． 【答案】﹣5≤a≤1 【分析】判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数；问题等价于不等式|ax+1|≤|2﹣x|在[，1]上成立，由此求得实数a的取值范围． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x•（2x﹣2﹣x）， 则f（﹣x）＝（﹣x）（2﹣x﹣2x）＝x•（2x﹣2﹣x）＝f（x）， ∴函数f（x）为偶函数； 又由f′（x）＝（2x﹣2﹣x）+x（2x+2﹣x）ln2， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若存在，使不等式f（ax+1）≤f（2﹣x）成立， 等价于不等式|ax+1|≤|2﹣x|在[，1]上成立， 即不等式|ax+1|≤2﹣x在[，1]上成立； ∴x∈[，1]时，不等式x﹣2≤ax+1≤2﹣x成立， 等价于“关于x的不等式1a1在[，1]上有实数解” 只需“x∈[，1]时，a”， ∴﹣5≤a≤1． 故答案为：﹣5≤a≤1． 16．给出下列结论： ①y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]； ②幂函数图象一定不过第四象限； ③函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）； ④若loga1，则a的取值范围是（，1）； ⑤若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0． 其中正确的序号是　②④⑤　 ． 【答案】②④⑤ 【分析】直接求出二次函数的值域判断①；由幂函数的性质判断②；利用代值验证法判断③；分类求解对数不等式判断④；构造函数f（x）＝2﹣x﹣lnx，由此函数为（0，+∞）上的减函数，结合2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0）求得x+y＜0判断⑤． 【解答】解：①∵x∈[﹣1，2]，y＝x2+1，∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝5，则y的值域是[1，5]，①错误； ②幂函数图象一定不过第四象限，②正确； ③∵当x＝1时，f（1）＝﹣1，∴函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故③错误； ④由loga1，当a＞1时，可得a，此时a∈∅；当0＜a＜1时，解得a，此时．则a的取值范围是（，1），故④正确； ⑤令f（x）＝2﹣x﹣lnx，此函数为（0，+∞）上的减函数， 由2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），得2﹣x﹣lnx＞2y﹣ln（﹣y），则x＜﹣y，即x+y＜0，故⑤正确． 故答案为：②④⑤． 17．（2025秋•沭阳县期末）已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z} （1）判断8，9，10是否属于集合A； （2）已知集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将x＝8，9，10分别代入关系式x＝m2﹣n2，若满足关系式，则属于A，若不满足关系式，则不属于A，即可得答案， （2）根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数x∈A可得答案． （3）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数；当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数．由此能求出所有满足集合A的偶数． 【解答】解：（1）∵8＝32﹣1，9＝52﹣42，∴8∈A，9∈A， 假设10＝m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）＝10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0， ∵10＝1×10＝2×5， ∴或， 显然均无整数解， ∴10∉A， ∴8∈A，9∈A，10∉A， （2）∵集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1＝（k+1）2﹣k2， ∴2k+1∈A， ∴即一切奇数都属于A， 又∵8∈A， ∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”， （3）集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z}， m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数， （m﹣n）（m+n）为4的倍数， ②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数， ∴（m﹣n）（m+n）为奇数， 综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z． 18．（2025秋•郫都区校级期中）设函数y＝mx2﹣mx﹣1． （1）若命题p：∃x∈R，y≥0是假命题，求m的取值范围； （2）若命题q：∀x∈[1，3]，y＞（m+1）x2+3是真命题，求m的取值范围； （3）若命题p、q至多有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（﹣4，0]； （2）（﹣∞，﹣5）； （3）[﹣5，+∞）． 【分析】（1）求出命题p的否定，然后利用恒成立思想求解即可； （2）利用恒成立以及二次函数，对勾函数的性质求解即可； （3）求出p，q都为真命题时a的范围，然后利用补集思想即可求解． 【解答】解：（1）若命题：∃x∈R，y≥0是假命题，则∀x∈R，y＜0是真命题， 即y＝mx2﹣mx﹣1＜0在R上恒成立， 当m＝0时，﹣1＜0，符合题意； 当m≠0时，需满足，解得﹣4＜m＜0； 综上所述，m的取值范围为（﹣4，0]； （2）若对于x∈[1，3]，y＞（m+1）x2+3恒成立， 即x2+mx+4＜0在x∈[1，3]上恒成立， 则在x∈[1，3]上恒成立，故只需，x∈[1，3]即可， 由于函数在[1，2）上递减，在[2，3]上递增， 故函数在[1，2）上递增，[2，3]上递减， f（1）＝﹣5，，则f（1）＜f（3）， 所以f（x）min＝f（1）＝﹣5， 故m＜﹣5，即实数m的范围为（﹣∞，﹣5）； （3）由（1）可知p为真命题时，m＞0或m≤﹣4， 由（2）可知，q为真命题时，m＜﹣5， 若p与q都为真命题时，m＜﹣5， 所以若p与q至多一个为真命题时，实数m的范围为[﹣5，+∞）． 【培优通关练】 19．已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断． 【解答】解：对于公比不为1的等比数列{an}， 若S2，S6，S3成等差数列，则2S6＝S2+S3，即， 整理得q2（2q4﹣q﹣1）＝0，结合q≠0得2q4﹣q﹣1＝0， 若存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列，则2amn＝am+an， 不妨设m＞n，则2qmn﹣n＝qm﹣n+1，即2qmn﹣1﹣qm﹣n﹣1＝0， 所以2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0， 当n（m﹣1）＝4，m﹣n＝1时，m＝3，n＝2， 所以S2，S6，S3成等差数列时，存在不相等的正整数m＝3，n＝2，使得am，amn，an成等差数列， 但am，amn，an成等差数列时，2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0成立，但2q4﹣q﹣1＝0不一定成立， 故“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的充分不必要条件． 故选：A． （多选）20．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x≥e，lnx≥1”的否定是“∃x0＜e，lnx0＜0” B．已知函数为在R上单调递增，则a的范围是[﹣1，0] C．函数，正数a，b满足f（2a）+f（b﹣2）＝0，则的最小值为8 D．设函数，则使得f（x）＞f（2x+1）成立的x的范围为 【答案】BD 【分析】由命题的否定的定义可判断A错误，利用分段函数单调性定义可判断B正确，利用函数奇偶性以及基本不等式计算可知C错误，由函数解析式判断出函数奇偶性以及单调性解不等式可得D正确． 【解答】解：对于A，由全称命题的否定可得：命题的否定是“∃x0≥e，lnx0＜1”，可知A错误； 对于B，易知函数y＝ex+ln（x+1），x≥0为单调递增函数， 若f（x）在R上单调递增，只需满足，解得﹣1≤a≤0，可知B正确； 对于C，易知函数的定义域为R， 满足， 即可得f（x）为奇函数， 又易知， 因为函数是单调递减函数，再由复合函数单调性可知f（x）为单调递减函数； 所以由f（2a）+f（b﹣2）＝0可知2a+b﹣2＝0，即2a+b＝2， 所以正数a，b满足，可得， 所以，即的最小值为4， 当且仅当2a＝b，即时等号成立，即C错误； 对于D，易知函数的定义域为R，且满足， 即f（x）为偶函数，且函数在[0，+∞）上也是单调递增， 由对勾函数及复合函数的性质可知在[0，+∞）上单调递增，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增； 再由偶函数性质可知使得f（x）＞f（2x+1）成立需满足|x|＞|2x+1|， 即3x2+4x+1＜0，解得 即x的范围为，所以D正确． 故选：BD． （多选）21．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　） A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1 C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R， 【答案】ABD 【分析】举例说明A正确；设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，可得|x﹣y|＜1，说明B正确；设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1）），利用a+b对[x+y]与[x]+[y]的关系的影响判断C错误；设[x]＝x﹣a，研究a对[x]+[x]与[2x]的关系，通过计算证明D正确． 【解答】解：对于A，当x＝1.7时，3x＝5.1，则[3x]＝5，3[x]＝3，则[3x]＝3[x]+2，故A正确； 对于B，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，故B正确； 对于C，设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1）， 则[x+y]＝[[x]+a+[y]+b]＝[[x]+[y]+a+b]＝[x]+[y]+[a+b]， 当a+b∈[0，1）时，[a+b]＝0，则[x+y]＝[x]+[y]； 当a+b∈[1，2）时，[a+b]＝1，则[x+y]＝[x]+[y]+1≥[x]+[y]， 故C错误； 对于D，设[x]＝x﹣a，[x]+[x]＝[x]+[[x]+a]＝2[x]+[a]， 当a∈[0，）时，a∈[，1），则[x]+[x]＝2[x]，[2x]＝[2[x]+2a]， ∵a∈[0，），∴2a∈[0，1），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＝[x]+[x]， 当a∈[，1）时，a∈[1，），则[x]+[x]＝2[x]+1，[2x]＝[2[x]+2a]， ∵a∈[，1），∴2a∈[1，2），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+1＝[x]+[x]． 故D正确． 故选：ABD． （多选）22．取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费、出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（　　） A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D．∀x∈R，[x]+[x]＝[2x] 【答案】BCD 【分析】A举反例判断；B根据特称命题定义证明存在性；C根据全称命题定义及不等式性质证明；D根据全称命题定义分类证明． 【解答】解：对于A，因为x＝0.5时，[2x]＝1，2[x]＝0，所以，[2x]＝2[x]不成立，所以∀x∈R，[2x]＝2[x]为假命题； 对于B，因为当x＝0时，[2x]＝2[x]成立，所以∃x∈R，[2x]＝2[x]为真命题； 对于C，因为x﹣[x]＜1，[y]﹣y≤0，所以（x﹣[x]）+（[y]﹣y）＜1，又因为[x]＝[y]，所以x﹣y＜1，所以∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1为真命题； 对于D，令x＝[x]+α，其中0≤α＜1，则当0≤α时，左边＝[x]+[x]＝[x]+[[x]+α]＝[x]+[x]＝2[x]，右边＝[2x]＝[2[x]+2α]＝[2[x]]＝2[x]，等式成立， 当α＜1时，左边＝[x]+[x]＝[x]+[x+α]＝[x]+[x]+1＝2[x]+1，右边＝[2x]＝[2[x]+2α]＝2[x]+[2α]＝2[x]+1，等式成立， 所以∀x∈R，[x]+[x]＝[2x]为真命题． 故选：BCD． 23．已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足a，则称函数f（x）具有性质P（a）． （Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由； ①f（x）＝2x； ②f（x）＝log2x，x∈（0，1）． （Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（1），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 　必要而不充分条件　 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） （Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值． 【答案】（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）；②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）． （Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件条件．理由见解析． （Ⅲ）t． 【分析】（Ⅰ）①根据2x＞0举例说明当x1＞0时，不存在0，从而函数f（x）＝2x不具有性质P（0）； ②取∈（0，1），得到0，从而f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）； （Ⅱ）分f（x）存在零点，证明2∉[0，1]，2∈D，f（x）具有性质P（1）时，f（x2）＝0，由此推导出“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件； （Ⅲ）令函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域A＝[2a﹣2，2a]．若函数f（x）有性质P（a），则对∀x1∈[0，2]，∃x2∈[0，2]，使得f（x2）＝2a﹣x1成立，所以F＝A，分情况讨论t的取值范围，能求出实数t的值． 【解答】解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下： 对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R， ∴不存在x2∈R满足0， ∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）． ②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下： 对于∀x1∈（0，1），取x2，则x2∈（0，1）， ∵0， ∴函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）． （Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件．理由如下： （i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0， ∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1，则x2∈[]，且1， ∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]． （ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1）， 取x1＝2，则存在x2∈D，使得1， ∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2， 综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件， 故答案为：必要而不充分条件． （Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]， ∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A． （i）当t＝0时，f（x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]， 由F＝A，得a＝3． （ii）当t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数， ∴其值域F＝[4，4t+6]， 由F＝A，得t＝0，舍去． （iii）当时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（）＝4，最小值为4， ∴f（x）的值域为F＝[4，4]． 由F＝A，得t，舍去． 当t时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（）＝4，最小值为f（2）＝4t+6， ∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4]， 由F＝A，得t（舍去t）． 24．设函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|+3（a∈R）． （1）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围； （2）若对∀x∈R，不等式f（x）≥2x恒成立，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分x≥a和x＜a对函数分段，然后由f（x）在R上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数a的取值范围； （2）写出分段函数g（x），不等式f（x）≥2x对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式得答案． 【解答】解：（1）f（x）， 若f（x）在R上单调递增， 则有 ，解得：a； （2）设g（x）＝f（x）﹣2x， 则g（x）， 即不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立， a＜1时，当x＜a时，g（x）单调递减，其值域为：（a2﹣2a+3，+∞）， ∵a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2≥2，∴g（x）≥0恒成立， 当x≥a时，∵a＜1，∴a， ∴g（x）min＝g（ ）＝a+30， 得﹣3≤a≤5 ∵a＜1，∴﹣3≤a＜1， a＝1时，g（x）≥2，成立， a＞1时，x＜a时，g（x）递增，其值域是：（﹣∞，a2﹣2a+3），显然不成立， 综上：﹣3≤a≤1． 25．已知两函数f（x）＝8x2+16x﹣m，g（x）＝2x3+5x2+4x，（m∈R）若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，只需在∈[﹣3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最小值，列不等式求解即可． 【解答】解：若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，只需在∈[﹣3，3]上f（x）min＞g（x）min即可． f（x）＝8x2+16x﹣m＝8（x+1）2﹣m﹣8，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣m﹣8 g（x）＝2x3+5x2+4x，g′（x）＝6x2+10x+4＝（x+1）（6x+4）， 在x∈（﹣3，﹣1）∪（，3]，g′（x）＞0，（﹣3，﹣1）与（，3]是g（x）单调递增区间．在x∈（﹣1，），g′（x）＜0，（﹣1，，]是g（x）单调递减区间． g（x）的极小值为g（） ，又g（﹣3）＝﹣21，所以g（x）min＝﹣21 所以﹣m﹣8＞﹣21，解得m的范围为m＜13． 26．（2025•安徽开学）已知函数f（x）＝xn． （1）命题p：∀x∈[1，3]，f（x）≥0．写出命题p的否定；若m＝4，且命题p是假命题，求实数n的取值范围； （2）若m＝n＝1，求函数g（x）＝f（e2x）﹣2f（ex）的值域． 【答案】（1）（﹣∞，﹣4）； （2）[﹣3，+∞）． 【分析】（1）根据命题p和命题p的否定真假相反，将问题转化为∃x∈[1，3]，成立，即的最小值小于0即可求得； （2）代入求得函数，再根据换元思想化为二次函数求得值域，要注意新元的范围． 【解答】解：（1）因为命题p：∀x∈[1，3]，f（x）≥0． 所以命题p的否定：∃x∈[1，3]，f（x）＜0． 若m＝4，且命题p是假命题，则命题p的否定为真命题， 即∃x∈[1，3]，成立． 当x∈[1，3]时，，当且仅当x＝2时，等号成立， 若命题p的否定为真命题，则4+n＜0，解得n＜﹣4， 即实数n的取值范围为（﹣∞，﹣4）． （2）若m＝n＝1，则， 则 ． 令，则t≥2，，则h（t）＝t2﹣2t﹣3， 所以函数g（x）的值域与函数h（t）＝t2﹣2t﹣3，t∈[2，+∞）的值域相同， 因为h（t）＝t2﹣2t﹣3在[2，+∞）上单调递增，所以h（t）≥h（2）＝﹣3， 其值域为[﹣3，+∞），故函数g（x）的值域为[﹣3，+∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 常用逻辑用语 目录 Part1考点突破 考点1：充分条件、必要条件、充要条件 考点2：全称量词与存在量词 考点3：含有一个量词的命题的否定 Part2 题型探究 题型1：判断充分条件、必要条件 题型2：根据充要条件、必要条件求参 题型3：全称量词命题、存在量词命题的否定 题型4：判断全称量词命题、存在量词命题的真假 题型5：由全称量词命题、存在量词命题的真假求参 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：充分条件、必要条件、充要条件】 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 【例1】（2026春•上海校级期中）设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点2：全称量词与存在量词】 1、全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． 2、存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 【例2】（2025秋•射阳县校级期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x，y∈R，x2+y2＜0 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x∈Z，x2＞0 【考点3：含有一个量词的命题的否定】 1、全称量词命题的否定为，． 2、存在量词命题的否定为． 【例3】（2026•香坊区校级三模）命题“∀x＞1，x2﹣1＞0”的否定形式是（　　） A．∀x＞1，x2﹣1≤0 B．∀x≤1，x2﹣1≤0 C．∃x＞1，x2﹣1≤0 D．∃x≤1，x2﹣1≤0 Part 2 题型探究 【题型1：判断充分条件、必要条件】 【例1】（2026•模拟）已知函数f（x）＝x3+ax2+2x，则“”是“f（x）在R上单调递增”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026•东城区二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“a+b＞c+d”是“a2+b2＞c2+d2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025秋•周至县期末）tan（α+β）＝0是tanα+tanβ＝0成立的_____条件．（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【题型2：根据充要条件、必要条件求参】 【例2】（2026春•保亭县校级月考）已知p：f（x）＝x﹣alnx在[2，+∞）上单调递增，q：a＜m．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 【变式1】（2025秋•陕西期中）“方程x2﹣2mx+m＝0至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则a的取值范围是　　　．　 ． 【变式2】（2025秋•嘉定区校级月考）已知α：2x+log2x≤2，β：x≤m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【题型3：全称量词命题、存在量词命题的否定】 【例3】（2026•汕头二模）已知命题p：∀α∈R，，则下列结论正确的是（　　） A．p为真命题，且命题p的否定为：∀α∈R， B．p为真命题，且命题p的否定为：∃α∈R， C．p为假命题，且命题p的否定为：∀α∈R， D．p为假命题，且命题p的否定为：∃α∈R， 【变式1】（2025秋•海口月考）命题“，2x+xcosx＞3sinx”的否定是（　　） A．，2x+xcosx＞3sinx B．，2x+xcosx≤3sinx C．，2x+xcosx＞3sinx D．，2x+xcosx≤3sinx 【变式2】（2025秋•湖南期末）已知命题p：∃n∈N，2n＞2026，则￢p为（　　） A．∀n∈N，2n≤2026 B．∀n∈N，2n＞2026 C．∃n∈N，2n≤2026 D．∃n∈N，2n＞2026 【题型4：判断全称量词命题、存在量词命题的真假】 【例4】（2026•西安校级模拟）已知命题p：∀x∈R，x≠0，则，命题q：∃x0∈R，，则（　　） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 【变式1】（2026•贵阳模拟）已知命题p：∀x＞0，log2x＞0；命题q：∃x＜0，|x+1|＞1，则（　　） A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【变式2】（2025秋•宁波期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx；命题，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【题型5：由全称量词命题、存在量词命题的真假求参】 【例5】（2025秋•德宏州期末）若命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题，则（　　） A．m≤2 B． C．m＞2 D． 【变式1】（2025秋•渭南期末）已知命题“∀x∈R，x2+ax0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 【变式2】（2026•张掖模拟）命题p：“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，4] B．[2，4） C．（1，2） D．[0，2] Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2025秋•商丘期末）设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1“是“数列{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）2．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x∈R，”是真命题 B．命题“∃x∈R，使得x2+1＝0”是假命题 C．A⊆B是A∩B＝A的充要条件 D．是集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素的充要条件 （多选）3．（2025秋•九龙坡区校级期中）若“∃x∈R，（a+1）x2+2ax+1＜0”是假命题，则a的值可能是（　　） A． B． C． D．﹣1 4．（2026•广州模拟）设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是　　　　 ． 5．（2025秋•苏州期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　 ． 6．（2025秋•龙马潭区期中）已知p：A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}（m＞0）． （1）是否存在实数m，使p是q的充分条件，若存在，求出m的范围； （2）是否存在实数m，使p是q的必要条件，若存在，求出m的范围． 7．已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程1表示双曲线． （1）若a＝1，且p∧q为真，求实数m的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．（2025秋•播州区校级期中）（1）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围； （2）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围． 9．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}． （1）若集合B＝{x|﹣5＜x＜1}，求此时实数m的值； （2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【提升通关练】 10．已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．“曲线y＝ex+a恒在直线y＝x﹣1上方”的一个充分不必要条件是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2 （多选）12．（2026秋•清江浦区校级月考）已知f（x）＝ax2+bx+c且关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（　　） A．b＞0 B．f（﹣99）＜f（101） C．命题“∃x∈R，bx2+cx﹣a＜0，”为假命题 D．若ax2+bx+c+1＞0的解集为M，则（﹣1，2）⊆M 13．（2026•深圳模拟）已知集合A＝{y|y＝x2x+1，x∈[，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为 　　　　 ． 14．（2026•重庆校级模拟）设a，b∈R，若对∀x≥0，0≤x4﹣4x3+ax2﹣bx+1≤（x﹣1）（x3﹣1），则ab＝　　　 ． 15．已知函数f（x）＝x•（2x﹣2﹣x），存在，使不等式f（ax+1）≤f（2﹣x）成立，则实数a的取值范围是　　　　 ． 16．给出下列结论： ①y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]； ②幂函数图象一定不过第四象限； ③函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）； ④若loga1，则a的取值范围是（，1）； ⑤若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0． 其中正确的序号是　　　　 ． 17．（2025秋•沭阳县期末）已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z} （1）判断8，9，10是否属于集合A； （2）已知集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 18．（2025秋•郫都区校级期中）设函数y＝mx2﹣mx﹣1． （1）若命题p：∃x∈R，y≥0是假命题，求m的取值范围； （2）若命题q：∀x∈[1，3]，y＞（m+1）x2+3是真命题，求m的取值范围； （3）若命题p、q至多有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【培优通关练】 19．已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）20．下列说法正确的是（　　） A．命题“∀x≥e，lnx≥1”的否定是“∃x0＜e，lnx0＜0” B．已知函数为在R上单调递增，则a的范围是[﹣1，0] C．函数，正数a，b满足f（2a）+f（b﹣2）＝0，则的最小值为8 D．设函数，则使得f（x）＞f（2x+1）成立的x的范围为 （多选）21．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　） A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1 C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R， （多选）22．取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费、出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（　　） A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D．∀x∈R，[x]+[x]＝[2x] 23．已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足a，则称函数f（x）具有性质P（a）． （Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由； ①f（x）＝2x； ②f（x）＝log2x，x∈（0，1）． （Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（1），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 　　　 条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） （Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值． 24．设函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|+3（a∈R）． （1）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围； （2）若对∀x∈R，不等式f（x）≥2x恒成立，求a的取值范围． 25．已知两函数f（x）＝8x2+16x﹣m，g（x）＝2x3+5x2+4x，（m∈R）若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，求m的取值范围． 26．（2025•安徽开学）已知函数f（x）＝xn． （1）命题p：∀x∈[1，3]，f（x）≥0．写出命题p的否定；若m＝4，且命题p是假命题，求实数n的取值范围； （2）若m＝n＝1，求函数g（x）＝f（e2x）﹣2f（ex）的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $