4.6 相似多边形 一课一练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似多边形核心概念，通过基础辨析、综合应用到探究拓展的三层设计，实现从概念理解到推理能力的递进，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似多边形定义、性质|选择题1-5结合矩形对开等生活情境，填空题9-12强化比例计算，夯实概念应用| |能力提升|相似判定、性质综合应用|解答题13通过正方形、矩形变换证明线段关系，融合全等与相似推理，提升逻辑思维| |综合探究|相似四边形判定拓展|实践探究题14辨析真假命题并证明四边形相似，渗透从特殊到一般的探究方法，发展创新意识|

4.6 相似多边形 一课一练 一、选择题 1．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 等于（　　）. A． B． C． D． 2．如图，矩形ABCD的对称轴交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB ：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　） A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2 4．如图所示，在矩形ABCD中，，在BC上取一点，沿AE将向上折叠，使点落在AD上的点处，若四边形与矩形ABCD相似，则DF的长为（　　）. A． B． C． D．1 5．如图所示，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片.若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a，b应满足的条件是（　　）. A． B． C． D． 6．如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（　　） A． B． C． D． 7．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（　　） A． B． C．2 D．3 二、填空题 9．如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为　 　． 10． 如图，在矩形中，，点，分别是，边的中点，连接，若矩形与矩形相似，则矩形的面积为　 　 ． 11．如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为　 　． 12．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是　 　元． 三、解答题 13．根据下列题目要求，解答下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE．求证AG= CE． （2）如图2，在矩形ABCD中，AB：BC=2：3，已知矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为AD：GF=，∠ABG=30°，连接AG、CE，延长EF交BC于M．探究线段AG与CE的数量关系． （3）如图3，已知矩形ABCD矩形GBEF，连接AG、CE、DF，发现线段AG、CE、DF存在这样的数量关系：AG2+CE2=DF2，请你对这个数量关系加以证明． 四、实践探究题 14．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确. 命题①：各条边成比例的两个凸四边形相似. 命题②：三个角分别相等的两个凸四边形相似. 命题③：两个大小不同的正方形相似. 命题①为　 　命题，命题②为　 　命题，命题③为　 　命题.(填“真”或“假”) （2）如图所示，在四边形ABCD和四边形中，.求证：四边形ABCD与四边形相似. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴ ， ∴ ． 故答案为：B. 【分析】根据题意可得，矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，结合相似图形的性质即可得到，则不难得到答案. 2．【答案】B 【知识点】矩形的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD， ∵EF为对称轴， ∴， ∵矩形AEFD与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 故答案为：B 【分析】先根据矩形的性质得到BC=AD，进而根据轴对称的性质得到，再根据相似图形的性质得到，从而即可得到，化简即可求解。 3．【答案】B 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形AEFB， 则 ， 设AE＝xcm，得到： ，解得：x＝4.5， 经检验x=4.5是原方程的解 则截取的矩形面积是：6×4.5＝27（cm2）． 故答案为：B． 【分析】根据题意求出 ，再求出，最后解方程求解即可。 4．【答案】C 【知识点】轴对称的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：设DF=x，由题意AF=AB=CD=1， ∴AD=x+1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴. 故答案为：C. 【分析】设DF=x，对折可得AF=AB=1，则AD=x+1，由相似多边形对应边成比例可得，代入后解方程即可求解. 5．【答案】C 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：由题意，对折两次后，长变为，宽不变仍为b， ∵小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， 又 a＞0，b＞0， ∴a=2b. 故答案为：C. 【分析】对折前后两个长方形相似，则对应边成比例，即，对折前长边为a，短边为b；对折后长边为b，短边为. 6．【答案】B 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】连接FD，DN，如图： ∵矩形矩形 ， ∴∠FDE=∠BDN， ∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°， ∴∠FCD=∠B， ∴△CFD∽△BND， ∴DN：DF=BD：CD， 故答案为：B. 【分析】先证出△CFD∽△BND，再利用相似三角形的性质可得DN：DF=BD：CD，从而可得答案. 7．【答案】D 【知识点】矩形的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：设 ， 则 ， 依题意得： ， 矩形 矩形 ， ， ， 整理得 ， 这个大矩形的面积为： 故答案为：D. 【分析】设BC=a，CD=b，AE=c，IE=d，则ab=m，cd=n，由题意可得BG=a-d，BE=c-b，由相似图形的性质可得 ，代入并整理可得ac+bd=2ab，则这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+(ac+bd)，据此解答. 8．【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；相似多边形；正多边形的性质 【解析】【解答】解：如图， ∵△ABG≌△BCH， ∴AG＝BH， ∵∠ABC=（6-2）×180°÷6=120°，∠CBH=90°， ∴∠ABG＝30°， ∴AB＝AG，BG＝2AG， 即BH＋HG＝2AG， ∴HG＝AG， ∵正六边形ABCDEF∽正六边形HMNPQG， ∴正六边形ABCDEF的周长：正六边形HMNPQG的周长＝AB∶HG=AG∶HG=HG∶HG=. 故答案为：B. 【分析】由全等三角形的对应边相等得AG＝BH，根据正六边形的内角和定理可求出∠ABC=120°，进而根据角的和差求出∠ABG=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AB＝AG，BG＝2AG，得到HG＝AG，根据所有的正六边形都相似可判断出正六边形ABCDEF∽正六边形HMNPQG，进而根据相似多边形的周长之比等于对应边之比即可得到结论． 9．【答案】 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：设原矩形的长为x，宽为y， ∵年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班， ∴小矩形的长为y，宽为x ∵ 每块小菜地都与原大矩形菜地相似 ， ∴ 解之：， ∴. 故答案为： 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，可表示出最小的矩形的长和宽，再根据每块小菜地都与原大矩形菜地相似 ，可得到对应边成比例，即可表示出x的值，然后求出y与x的比值即可. 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】设AE=m，则AD=2AE=2m， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴S矩形ABCD=AB×AD=4×， 故答案为：. 【分析】先利用相似多边形的性质求出AD的长，再利用矩形的面积公式求解即可. 11．【答案】6 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴即 解之：FG=6. 故答案为：6 【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出FG的长. 12．【答案】1080 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， ∴面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）． 故答案为：1080． 【分析】利用相似多边形的性质求出扩大后的广告牌的面积，再计算即可。 13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和BEFG都是正方形， ∴BA=BC，BG= BE， ∴∠ABG+∠GBC=∠GBC+∠CBE=90° ， ∴∠ABG=∠CBE， 在△ABG与△CBE中， ∴△ABG≌△CBE (SAS)， ∴AG= CE； （2）解：∵AB：BC=2：3， ∴设AB=2a，BC=3a， ∵矩形ABCD矩形GBEF，相似比为AD：GF=， ∴AD= BC=6a，BE=GF，， ∴BE=GF=AD=a，BG=a ∴， ∴ ∵∠ABG=30°，∠ABC=90° ， ∴∠GBC=60°， ∴∠CBE=90°- 60°=30° ， ∴∠ABG=∠CBE ∴△ABG∽△CBE， ∴ ∴AG=CE； （3）证明：将△ABG沿AD向右平移，使AB与DC重合，连接FN、CD分别交于点H、O， ∴AG=DN，∠BAG=∠CDN，BG∥CN， ∵四边形GBEF是矩形， ∴BG=EF，BG∥EF， ∴EF= CN，EF∥CN， ∴四边形ECNF为平行四边形， ∴CE= =NF，CE∥NF， ∴∠ECH=∠NHC， ∴矩形ABCD∽矩形GBEF， ∴ 又∵∠ABG=∠CBE，△ABG∽△CBE， ∴∠BAG=∠BCE， ∴∠CDN=∠BCE=∠NHC， 又∵∠HOC=∠DON， ∴∠DNF=∠DCB=90°， ∴△DNF是直角三角形， ∴DN2+NF2=DF2， ∴AG2+CE2=DF2 【知识点】正方形的性质；相似多边形；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得BA=BC，BG= BE，∠ABG=∠CBE，根据SAS证明△ABG≌△CBE，利用全等三角形的性质即可求解； （2）设AB=2a，BC=3a，由矩形的相似比为AD：GF=，BE=a，BG=a，再证△ABG∽△CBE，可得，继而得解； （3）将△ABG沿AD向右平移，使AB与DC重合，连接FN、CD分别交于点H、O，可证四边形ECNF为平行四边形，可得CE= =NF，CE∥NF，再证矩形ABCD∽矩形GBEF，从而可推出△DNF是直角三角形，利用勾股定理即可求解. 14．【答案】（1）假；假；真 （2）证明：连接BD，B'D' ∵ ∴， ∴，∠DBC=∠D'B'C'， 又 ∠ABC=∠A'B'C'， ∴， ∴， ∴∠A=∠A'，， ∴∠D=∠D'， 又 ∠ABC=∠A'B'C'，∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似. 【知识点】相似多边形；真命题与假命题 【解析】【解答】解：（1）两个角不同的菱形对应边成比例，但不相似，故命题①为假命题； 一个正方形和一个矩形对应角相等，但不相似，故命题②为假命题； 任意两个正方形对应边成比例，对应角相等，因此任意两个正方形都相似，故命题③为真命题； 故答案为：假；假；真； 【分析】（1）根据四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，假命题只需举反例即可；命题①举例菱形作为反例；命题②举一个矩形和正方形的反例即可；命题③直接根据定义可证得是真命题； （2）要证明两个四边形相似，题目已知三边对应成比例、两个角相等，因此只需要证明第四边也对应成比例、另外两个角相等；由此需要构造相似三角形，连接BD和B'D'，两边对应成比例且夹角相等，得，，由此进一步得到，从而得到第四条边也对应成比例，∠A=∠A'，两四边形有三个角对应相等，那么第四个角也对应相等，由此，两个四边形四个角分别相等、四条边成比例，因此四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似. 1 学科网（北京）股份有限公司 $