12.4.3 角平分线（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第12章 全等三角形 12.4.3 角平分线 22100 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 复习导入 22100 新知探究 同学们在草稿纸上利用量角器画出∠AOB的角平分线OP，在角平分线OP上取P1、P2，分别过P1、P2作OA、OB两边的垂线，利用直尺测量P1N1、P1M1、P2N2、P2M2之间的数量关系 22100 新知探究 已知：P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E。 比较PD和PE的大小， 解：∵AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP=∠BAP ∵PD⊥AB、PE⊥AC，∴∠PEA=∠PDA 在△APE和△APD中 ∴△APE≌△APD（ASA） ∴PE=PD 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 22100 如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？ 如何表达，并简述你的证明过程. 对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 角平分线的性质定理 1 22100 下面我们来证明刚才得到的结论. 已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE. 证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点， ∴ ∠DOP =∠BOP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ ∠ODP =∠OEP = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP， ∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE. D P A C B E O 22100 典例分析 例1 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3,AB=10，则△ABD的面积是（ ） A．15 B. 30 C. 20 D. 10 提示：过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=ED，根据三角形的面积计算即可 22100 变式训练 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，△ABC=6，则△ACD的面积为（ ） A．8 B. 6 C. 5 D. 4 提示：作CF⊥AD，垂足为F，根据角平分线的性质，得到CE=CF，根据三角形的面积公式进行计算即可 22100 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言描述： ∵ OC 平分∠AOB， 且 PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD = PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 22100 知识点1 角平分线的性质 1. 如图，已知，， ，垂足分别为点 ，，则 ____. （第1题） 返回 22100 10 2．如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.求证：OP垂直平分AB. 证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP. ∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°. 在△AOP和△BOP中， ∵∠AOP＝∠BOP，∠PAO＝∠PBO，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴OA＝OB，PA＝PB， ∴OP垂直平分AB. 22100 新知探究 尺规作图作角平分线 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2. 分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线。 22100 3.如图，在中， ，平分，交于点 ， 于点.若，，则 的长为___. 3 （第3题） 返回 22100 13 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线性质定理的逆定理 2 22100 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B. 5 C. 8 D. 10 22100 变式训练 “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 22100 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. B A D O P E 22100 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP（公共边）， PD = PE（已知）， 证明： 作射线 OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ). (全等三角形的对应角相等). ∴ ∠DOP =∠EOP B A D O P E ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 22100 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，DB=DF，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFE=180° ∴∠B=∠CFD，∵∠C=90° ，DE⊥AB ∴∠C=∠BED=90° 在△BDE和△FDC中，, △BDE≌△FDC(AAS) ∴CD=DE,∵∠C=90°，DE⊥AB ∴AD平分∠BAC 22100 变式训练 已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° ∵D是BC中点，∴BD=CD，∵BE=CF ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴DE=DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线 22100 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. D P A C B E O 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 22100 4.如图，在中，平分交于点，于点 .若 ，，则 ___. 1 （第4题） 返回 22100 22 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三个内角的角平分线，观察三条角平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三内角的角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 22100 5．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°. 125 22100 知识点2 角平分线的判定 6. 如图，于点，于点，.当 ___时，点在 的平分线上. 2 （第6题） 返回 22100 25 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 26 课堂小结 角平分线的性质 角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 对称性：角平分线是角的对称轴，角两边关于角平分线对称。 角平分线的判定 若一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上。 22100 谢谢大家聆听 22100 $