12.4.3 角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

## 核心知识点梳理 1. **角平分线性质定理**：角平分线上的点到角两边的距离相等。这里的距离指垂线段长度，不是点到边上任意一点的线段长。如图，若OP平分\(\angle AOB\)，\(PM\perp OA\)，\(PN\perp OB\)，垂足为\(M、N\)，则\(PM=PN\)。利用该定理可以直接证明垂线段相等，不用证明三角形全等，简化证明步骤。 2. **角平分线判定定理（逆定理）**：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。性质和判定构成一组互逆定理。性质：点在角平分线上 ⇒ 垂线段相等；判定：角内部一点到两边垂线段相等 ⇒ 点在角平分线上。注意条件 “角的内部”，角外部也存在到两边距离相等的点，但不在角平分线上。 3. **三角形角平分线交点性质**：三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心在三角形内部，内心到三角形三边的距离都相等，这是内心和外心最核心的区别。外心是三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等；内心到三边距离相等，做题极易混淆。 4. **尺规作角平分线**：以角顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点连线一半长度为半径画弧，两弧交于角内部一点；连接顶点与该交点，得到角平分线。作图原理是 SSS 证明两个三角形全等，得到对应角相等。 5. **几何证明书写要点**：使用角平分线性质时，一定要写明垂直条件，标注垂足，不写垂直直接写线段相等属于跳步扣分。遇到内心题型，直接使用内心到三边距离相等结论。综合题常结合全等、线段垂直平分线一起考查，区分两类定理的条件。 6. **易错提醒**：①性质定理要求 “距离”，必须是垂线段，普通线段不成立；②判定定理必须强调点在角内部；③区分内心、外心：内心（角平分线交点，到三边距离相等）；外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等）；④不要混淆角平分线与线段垂直平分线的互逆定理，条件结论不能写反。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. OC平分\(\angle AOB\)，点P在OC上，\(PM\perp OA\)，\(PN\perp OB\)，垂足分别是\(M、N\)，则（） A.\(PM=PN\) B.\(PM=OM\) C.\(PN=ON\) D.\(OM=ON\) 2. 在角的内部，一点到角两边距离相等，则这个点一定在（） A. 角的顶点 B. 角的平分线上 C. 角的一边上 D. 角外一点 3. 三角形三条角平分线的交点叫做内心，内心的性质是（） A. 到三个顶点距离相等 B. 到三边距离相等 C. 一定在三角形外部 D. 是三边中线交点 4. 下列条件，不能使用角平分线性质定理得到线段相等的是（） A. AD平分\(\angle BAC\)，\(DE\perp AB，DF\perp AC\) B. OC平分\(\angle AOB\)，P在OC上，\(PM\perp OA，PN\perp OB\) C. AD平分\(\angle BAC\)，D在BC上，连接\(BD、CD\) D. OP平分\(\angle MON\)，\(PA\perp OM，PB\perp ON\) 5. 关于尺规作角平分线，作图依据是（） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 角平分线上的点到角两边的________相等。 7. 在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上。 8. 三角形三条角平分线交于一点，称为三角形的________，到三边距离相等。 9. 若点P在\(\angle AOB\)平分线上，P到OA距离为 3，则P到OB距离为________。 10. 内心在三角形________（填内部或外部）。 ## 三、解答题（共 60 分） 11. 判断正误并说明理由（16 分） （1）角平分线上的点到角两边线段长度相等； （2）点P在\(\angle AOB\)内部，P到\(OA、OB\)垂线段相等，则OP平分\(\angle AOB\)。 12. 证明题（16 分） 已知：如图，AD平分\(\angle BAC\)，\(DB\perp AB\)，\(DC\perp AC\)。求证：\(DB=DC\)。 13.（14 分）已知：在\(\triangle ABC\)中，点O是\(\triangle ABC\)内心，\(OD\perp BC\)，\(OE\perp AC\)，\(OF\perp AB\)，垂足分别为\(D、E、F\)，\(OD=3\)，求\(OE、OF\)的长度。 14.（14 分）已知：BD平分\(\angle ABC\)，\(AD=DC\)，\(DE\perp BC\)，\(DF\perp AB\)。求证：\(DE=DF\)。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.A。解析：角平分线性质，角平分线上的点到角两边垂线段相等。 2.B。解析：角平分线判定定理。 3.B。解析：内心是角平分线交点，到三边距离相等；外心到顶点距离相等。 4.C。解析：缺少垂直条件，不是垂线段，不能直接用角平分线性质。 5.B。解析：尺规作图构造两组半径相等，公共边，SSS 全等。 填空题： 6. 距离（垂线段长度）。 7. 平分线。 8. 内心。 9. 3。 10. 内部。 解答题： 11. 解：（1）错误。必须是垂线段的距离，不是任意线段。（2）正确。角内部一点到角两边垂线段相等，由角平分线判定定理，OP 平分\(\angle AOB\)。 12. 证明：\(\because AD\)平分\(\angle BAC\)，\(DB\perp AB，DC\perp AC\)（已知），\(\therefore DB=DC\)（角平分线上的点到角两边距离相等）。 13. 解：\(\because O\)是\(\triangle ABC\)内心，内心到三角形三边距离相等。\(\because OD\perp BC，OE\perp AC，OF\perp AB，OD=3\)，\(\therefore OE=OF=3\)。 14. 证明：\(\because BD\)平分\(\angle ABC\)，\(DE\perp BC，DF\perp AB\)，\(\therefore DE=DF\)（角平分线上的点到角两边距离相等）。 （全文 1232 字） 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.4.3 角平分线 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？ A B C 情境导入 新知探究 同学们在草稿纸上利用量角器画出∠AOB的角平分线OP，在角平分线OP上取P1、P2，分别过P1、P2作OA、OB两边的垂线，利用直尺测量P1N1、P1M1、P2N2、P2M2之间的数量关系 新知探究 已知：P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E。 比较PD和PE的大小， 解：∵AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP=∠BAP ∵PD⊥AB、PE⊥AC，∴∠PEA=∠PDA 在△APE和△APD中 ∴△APE≌△APD（ASA） ∴PE=PD 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 典例分析 例1 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3,AB=10，则△ABD的面积是（ ） A．15 B. 30 C. 20 D. 10 提示：过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=ED，根据三角形的面积计算即可 变式训练 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，△ABC=6，则△ACD的面积为（ ） A．8 B. 6 C. 5 D. 4 提示：作CF⊥AD，垂足为F，根据角平分线的性质，得到CE=CF，根据三角形的面积公式进行计算即可 1. 【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________． 向“ 动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连结PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(　　) A．18 B．7.2 C．6 D．4.5 1星题 夯实四基 BM D 举一反三 向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E. (1)若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________； (2)若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________． 3 15 举一反三 2．如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.求证：OP垂直平分AB. 证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP. ∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°. 在△AOP和△BOP中， ∵∠AOP＝∠BOP，∠PAO＝∠PBO，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴OA＝OB，PA＝PB， ∴OP垂直平分AB. 举一反三 新知探究 尺规作图作角平分线 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2. 分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线。 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B. 5 C. 8 D. 10 变式训练 “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 新知探究 原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。 一个点在角的角平分线上 这个点到角两边的距离相等 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的角平分线上 对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，DB=DF，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFE=180° ∴∠B=∠CFD，∵∠C=90° ，DE⊥AB ∴∠C=∠BED=90° 在△BDE和△FDC中，, △BDE≌△FDC(AAS) ∴CD=DE,∵∠C=90°，DE⊥AB ∴AD平分∠BAC 变式训练 已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° ∵D是BC中点，∴BD=CD，∵BE=CF ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴DE=DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三个内角的角平分线，观察三条角平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三内角的角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 3．[知识初练]如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2.当PN＝________时，点P在∠BAC的平分线上． 2 举一反三 4．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是_________． 65° 举一反三 5．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°. 125 举一反三 6．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，AE＝AD.求证：点F在∠A的平分线上． 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠CEB＝∠BDC＝∠ADB＝90°. 在△AEC和△ADB中， ∴△AEC≌△ADB，∴AC＝AB，∴BE＝DC. 举一反三 在△BEF和△CDF中， ∴△BEF≌△CDF，∴EF＝DF， ∴点F在∠A的平分线上． 举一反三 7.(立德树人·关注生活)如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座充电桩，若要使充电桩到三条公路的距离相等，则满足此要求的充电桩的位置有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 2星题 提升四能 举一反三 课堂小结 角平分线的性质 角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 对称性：角平分线是角的对称轴，角两边关于角平分线对称。 角平分线的判定 若一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上。 谢谢观看 THANKS $