精品解析：吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二年级12月份月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，且直线一个方向向量为，则直线的方程是（ ） A B. C. D. 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）. A. 15 B. 31 C. 63 D. 64 6. 已知双曲线（）两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 11. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共4小题，共20分） 12. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 13. 两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为_______. 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 16. 已知数列等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级12月份月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合斜截式可得出直线的方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故该直线的方程为. 故选：B. 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率计算公式，结合渐近线方程，可得答案. 【详解】由，则离心率，解得， 即渐近线方程为，代入可得，整理可得. 故选：D. 3. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 4. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 5. 已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）. A. 15 B. 31 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题得. 所以. 故选：B 6. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合轴且过右焦点，可得.再根据的面积与双曲线方程即可解得. 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8. 定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由直线过定点求出的值，再根据等和数列性质求解即可. 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答. 【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确； 当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确； 当时，直线，而直线，显然，即，C正确； 当时，有，解得，即直线， 因此直线之间的距离，D正确. 故选：CD 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 11. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误. 【详解】由题意知，所以． 因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确． 当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确． 由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得， 所以椭圆的短轴长为，故A正确． 易得，所以，故C错误． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共4小题，共20分） 12. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 【答案】 【解析】 【分析】通过空间向量的加法和减法得到，从而表示出 【详解】因为 即 故答案为： 13. 两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且， 则，解得， 所以，故. 故答案为： 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求. 【详解】由题意知圆故半径为1， 设则当且仅当即时，等号成立， 即当时，取得最小值，且 所以又 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 【答案】（1）， （2）或或.或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，求出，并求出点到直线的距离，计算三角形面积解方程即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得， 故， 故椭圆的标准方程为， 离心率为； 【小问2详解】 由题意，直线斜率不存在时，不能构成， 故设直线方程为， 联立得，， 设， ，解得或， 则， 所以 ， 设到直线的距离为，则， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或或.或. 16. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和. 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意易证四边形为平行四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量运算公式即可求解； （3）利用线面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示： 因为分别为的中点，所以，且. 又因为是的中点，所以，. 所以，，则四边形为平行四边形，即. 因为平面，平面，，所以平面. 小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系. ，，则，，，，，，，，. 设平面的法向量，则，即， 设，则. 又，则点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. 【小问2详解】 由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. 【小问3详解】 因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； （ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解. 法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 法二：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故， 由（i）可知，，故， 所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离， 思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线：与直线：之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为. 思路2 因为直线的方程为， 所以， 依题意，，，，故， 所以， 因为在椭圆上，故，即， 所以， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即的面积的最大值为. 思路3 因为直线的方程为， 所以， 因为在椭圆上，故， 设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $