精品解析：吉林省吉林市第一中学2026-2027学年高二年级上学期第一次月考数学试题（奥赛班）

吉林一中2026-2027学年度高二年级上学期第一次月考数学试题（奥赛班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 120° C. 150° D. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，椭圆的方程为且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 6. 已知点在圆上运动，则的最大值是 A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A. 184 B. 174 C. 188 D. 160 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（不与顶点重合），若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点，分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 存在过点的直线与双曲线相交于两点，且点为的中点 C. 的内切圆与轴切于点，则 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为D，E，则两垂足距离最短为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，则________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________. 四、解答题（共77分） 15. 已知是等差数列，是的前项和，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 16. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 17. 已知函数为常数，函数. （1）若为奇函数，求的值. （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （3）在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点. （1）求E的方程； （2）若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点. （i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2026-2027学年度高二年级上学期第一次月考数学试题（奥赛班） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 120° C. 150° D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得：， 故直线斜率， ，. 故选：C. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 3. 已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，椭圆的方程为且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义求出的值，根据离心率定义求出结果. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 故选：A. 4. 数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 5. 已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 6. 已知点在圆上运动，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则表示点与点连线的斜率，当与圆相切时，取得最值，由此求出最大值. 【详解】设，则表示点与点连线的斜率. 把圆的方程化为标准方程得， 故圆心坐标为，半径， 可知当直线与圆相切时，取得最值. 由，解得，则的最大值是， 故选：A. 【点睛】本题主要考查分式型目标函数的最值，考查由直线与圆位置关系求参数，属于基础题型. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A. 184 B. 174 C. 188 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】 根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得. 【详解】 所以， 所以 . 所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点（不与顶点重合），若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足为，表示出，由，可得，即可表示出，再在中利用勾股定理得到、的关系，从而转化为离心率的方程，解得即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 【答案】BC 【解析】 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点，分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 存在过点的直线与双曲线相交于两点，且点为的中点 C. 的内切圆与轴切于点，则 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为D，E，则两垂足距离最短为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出双曲线的标准方程，再围绕双曲线的几何性质和相关定理，逐一分析四个选项： 选项A：先利用双曲线定义得到 ，再结合余弦定理求出 的值，最后用三角形面积公式 计算面积； 选项B：先用点差法求出直线斜率，再写出直线方程并联立双曲线方程，最后通过判别式 判断直线与双曲线无交点； 选项C：先利用切线长相等的性质，再结合双曲线定义 ，最后推导出 ； 选项D：先写出点到渐近线的距离公式，再结合双曲线方程化简，得到距离乘积为定值，最后利用余弦定理和不等式求出最短距离. 【详解】由，即，所以双曲线的方程为， 所以，所以焦点为，. 对于A：当时， 由，所以， 所以，故A正确； 对于B：设，， 则，所以 又为线段的中点，所以，， 所以，故，的直线方程为， 直线与曲线方程联立，则， 因为，此方程无解，所以不存在符合条件的直线，故B错误； 对于C：设的内切圆为圆，与，相切于 则，，. 又因为，所以， 所以，即，故C正确； 对于D：设，不妨设点在渐近线上， 则，，且， 由余弦定理，， ， 因为，所以（当时取等号），即.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，则________． 【答案】25 【解析】 【详解】. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理求出，，利用平面向量数量积公式及数量积坐标表示分别求，得到，而，代入即可求出答案. 【详解】抛物线的焦点为， 易知直线斜率不为，设直线的方程为， 联立，则， 所以，， 所以， 因为，，所以， 又因为，所以， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知是等差数列，是的前项和，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及数列的函数性质求解即可. 【小问1详解】 设公差为 ，则 ，解得， 故 . 【小问2详解】 ，， 当  时，  取得最大值 . 16. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】 【分析】（1）直线可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点； （2）说明直线被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线垂直，求出斜率即可得到直线的方程；． （3）问题可转化为以为圆心，为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意. 【详解】详解：（1）， 由 得 ， 即直线过定点. （）方法一：由题意可知：圆心， ， 又当所截弦长最短时， ， 所求的直线方程为. 方法二：∵圆心到直线的距离， ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时， 取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时， 取到最小值． 此时， 取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时， ，解得， ∴点横坐标的取值范围为． 点睛：本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 17. 已知函数为常数，函数. （1）若为奇函数，求的值. （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （3）在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数可得，由此即可得解； （2）令，根据增函数的定义可得恒成立，进而可得出答案； （3）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，即， 所以，所以，所以， 经检验不符题意， 所以； 【小问2详解】 令， 则 ， 因为函数在上单调递增， 所以恒成立， 因为，所以， 所以恒成立，即， 因为，所以， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）知， 令，函数在上单调递减， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的值域为， 又因为函数在区间上的值域为 ， 所以， 即， 所以， 令， 则关于的方程在上有两根不同的实数根， 等价于关于的方程在上有两根不同的实数根， 令，则函数在上有两个不同零点， 当时，为一次函数，不可能有两个零点，舍去； 当时，函数的对称轴为， 则，无解； 当时，函数的对称轴为， ，解得且， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，是解决本题的关键. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点. （1）求E的方程； （2）若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点. （i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）是定值，定值为；（ii） 【解析】 【分析】（1）有题知，把点代入椭圆方程中并结合椭圆中基本量的关系形成方程组，然后解方程求出基本量即可得到E的方程； （2）（i）这直线的方程为，，，联立曲线E的方程，得到，，同时得到，然后计算即可得出是定值； （ii）设直线MN的方程为，联立曲线E的方程，得到，，设，由，，三点共线，得，由S，N，三点共线，得，然后可求直线OS的斜率，得到直线OS的方程，最后求得交点T，再得出故当，T，三点共线时，取得最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，，，所以E的方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线MN的斜率不为0， 如图，设直线MN的方程为，，， 由，得， 所以，，所以. 易得，，所以，， 所以， ,即为定值. （ii）设，，直线MN的方程为， 由得， 而，且，. 又，，设，由，，三点共线，得； 由S，N，三点共线，得， 所以 . 故直线OS的斜率，则直线OS的方程为， 由，解得，因此点在定直线上. 点O关于直线的对称点， 所以， 当且仅当，T，三点共线时等号成立，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $