23.3.1锐角三角函数第1课时课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版（新教材）数学九年级上册 23.3.1.1 锐角三角函数 第23章 解直角三角形 22100 直角三角形两个锐角互余 直角三角形的性质 直角三角形的勾股定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形30⁰角所对直角边等于斜边的一半 复习导入 22100 A C B 试一试 直接三角形的认识 直角三角形 ABC 可以简记为Rt△ABC. 直角 C 所对的边 AB 称为斜边，用 c 表示. 斜边 c 两条直角边为∠A 的对边和邻边，分别用 a、b 表示. ∠A 的邻边 b ∠A的对边a 思考：一般情况下，Rt△ABC 中， 当锐角∠A 取一固定值时，∠A 的对 边与邻边的比值会是一个固定值吗？ 22100 观察图中的 Rt△AB1C1、Rt△AB2C2 和 Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt_______和 Rt△_______， 所以 =_______=________. B1 C1 C2 C3 B2 B3 A AB2C2 AB3C3 可见，在 Rt△ABC 中，对于锐角 A 的每一个确定的值， 其对边与邻边的比值都是唯一确定的. 22100 问题　(1)含30°角的直角三角形，有什么性质？ (2)上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？ (3)含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？ (4)一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个确定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？ 提示　(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. (2)无关. (3)，无关. (4)在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值时，其对边与斜边的比值是一个固定值. 22100 知识梳理 1.锐角三角函数的定义：如图， ∠A的正弦：sin A＝. ∠A的余弦：cos A＝. ∠A的正切：tan A＝. 锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数. 22100 B1 C1 C2 C3 B2 B3 A 同理，其对边与斜边和邻边与斜边的比值也唯一确定. 22100 试一试 锐角三角函数 锐角三角函数 定义 表示 图示 正弦 余弦 正切 A C B 斜边 c ∠A 的邻边 b ∠A 的对 边a 在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比值称为锐角 A 的正弦 在直角三角形中，锐角A 的邻边与斜边的比值称为锐角 A 的余弦 在直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比值称为锐角 A 的正切 22100 知识梳理 2.三角函数的书写应注意： (1)用一个大写字母或希腊字母表示角时，习惯省去角的符号“∠”不写，如∠A的正弦表示为sin A；∠α的正弦表示为sin α. (2)用三个字母或数字表示角时，要写“∠”，如∠BAC的正弦表示为sin∠BAC；∠1的正弦表示为sin∠1. (3)一个确定度数的三角函数，“∠”不写，如30°的正弦表示为sin 30°. 22100 例1　(课本P124例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8.试求出∠A的三个三角函数值. 解　AB＝＝17， sin A＝，cos A＝，tan A＝. 22100 解　在Rt△ABC中，BC＝4，AB＝10， ∴AC＝＝2， ∴sin A＝，cos A＝，tan A＝， sin B＝，cos B＝，tan B＝. 跟踪训练1　如图，分别写出两个直角三角形中∠A和∠B的各个三角函数. 22100 猜想：sinA、cosA、tanA 的取值范围是多少？ 因为直角三角形的三边长都是正数，所以任意锐角的正弦值、余弦值和正切值都是正实数. 又因为直角三角形中两直角边长小于斜边长， 所以 0 < sinA < 1 ，0 < cosA < 1，tan A > 0. 22100 分别求出图①、图②中∠A 的三个三角函数值. 解：如图①，在Rt△ABC 中，由勾股定理得 22100 解　在Rt△ABC中，AC＝5，AB＝9， ∴BC＝＝2， ∴sin A＝，cos A＝，tan A＝， sin B＝，cos B＝，tan B＝. 跟踪训练1　如图，分别写出两个直角三角形中∠A和∠B的各个三角函数. 22100 知识梳理 (1)正弦与余弦三角函数值的取值范围： ∵直角三角形中，斜边大于直角边，∴0<sin A<1，0<cos A<1. (2)同角三角函数关系： sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. (3)互余两角的三角函数值： 若α，β都是锐角，且α＋β＝90°，那么sin α＝cos β，cos α＝sin β. 22100 例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tan A＝，求AC，AB及cos B的值. 解　∵∠C＝90°，BC＝4，tan A＝，∴，∴AC＝6， ∴AB＝＝2，∴cos B＝. 22100 解：如图②，在Rt△ABC 中，由勾股定理得 22100 试一试 同角三角函数之间的关系 数学语言 推导过程 图示 平方 关系 商数 关系 22100 跟踪训练2　(1)比较大小：sin 40°　　sin 50°(填“>”“<”或“＝”).  < 解析　∵40°<50°，∴sin 40°<sin 50°. 22100 (2)已知∠A＋∠B＝90°，若sin A＝0.618，则cos B＝　　　　.  0.618 解析　∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A与∠B互余， 又∵sin A＝0.618，∴cos B＝0.618. 22100 在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，且 sinB = ，求 cosB、tanB 的值. 解法一： 22100 在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，且 sinB = ，求 cosB、tanB 的值. 解法二：如图，由 设 AC = 3k（k > 0），则 BC = 5k. 由勾股定理易得 AB = 4k， 22100 (3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，sin A＝，求BC的长. 解　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ∵sin A＝， ∴设BC＝5k，则AB＝13k， ∵AC2＋BC2＝AB2，∴122＋25k2＝169k2， ∴k＝1，∴BC＝5. 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 24 课堂小结 22100 谢谢大家聆听 22100 $