15.2 画轴对称的图形 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

15.2 画轴对称的图形 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 知识地图 ① 作图依据 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线 ② 作点的对称点 过点作 l 的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OA′ = OA ③ 作图形的对称图形 一找特殊点 → 二作各对称点 → 三依次连线 ④ 补全轴对称图形 已知一半，作特殊点的对称点，连成另一半 ⑤ 关于 x 轴对称 点 (x, y) → (x, -y)：横坐标相同，纵坐标互为相反数 ⑥ 关于 y 轴对称 点 (x, y) → (-x, y)：纵坐标相同，横坐标互为相反数 ⑦ 坐标法作图 计算对称点坐标 → 描点 → 连线 ⑧ 求字母的值 用「横同纵反」或「纵同横反」列方程 ⑨ 重要提醒 对称轴不同，所得图形的位置、方向也不同；形状大小总相同 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 了解 理解由一个平面图形得到它关于直线 l 对称的图形的过程；理解作图的依据 掌握 会作一个点关于一条直线的对称点，会作一个图形关于一条直线的轴对称图形 理解 掌握点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能由坐标判断对称关系 应用 能在平面直角坐标系中作出图形的轴对称图形，会用坐标规律求字母的值 2. 本节重难点 重点：作一个图形关于一条直线的轴对称图形；点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律。 难点：「一找二画三连」作图法的规范操作；理解坐标规律与轴对称性质的一致性。 二、画轴对称图形的依据 由轴对称的性质可知：如果两个图形关于直线 l 对称，那么连接任意一对对称点的线段都被对称轴 l 垂直平分。 反过来，只要作出原图形上每个特殊点关于直线 l 的对称点，再依次连接，就能得到与它关于 l 对称的图形。 图 1 点 A 与 A′ 关于直线 l 对称：l ⊥ AA′，且 OA = OA′（O 为垂足） 要点1：作图的总依据是「对称轴垂直平分对称点连线」——这是 15.1 学过的性质。 要点2：画出的新图形与原图形的形状、大小完全相同，只是位置（方向）发生了变化。 三、作一个点关于直线的对称点 作法（如图 2，点 A 关于直线 l 的对称点为 A′）： （1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 O； （2）在垂线上截取 OA′ = OA，即延长 AO 到 A′，使 OA′ = OA； （3）点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点。 图 2 过点 A 作 l 的垂线，垂足 O，在垂线上截取 OA′ = OA，则 A′ 为所求对称点 注意：若点 A 在直线 l 上，则它关于 l 的对称点就是它本身（A′ 与 A 重合）。 四、作一个图形关于直线的轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成。对于规则的图形，只要画出其中一些特殊点（如线段端点、顶点）的对称点，再依次连接，就能得到它的轴对称图形。 1. 作图三步法：一找 · 二画 · 三连 步骤 做法 一找 在原图形上找出关键的特殊点（如三角形的三个顶点，线段的端点） 二画 逐个画出这些特殊点关于对称轴 l 的对称点 三连 按原图形的连接顺序，依次连接各对称点，得到轴对称图形 图 3 的左图是「作 △ABC 关于直线 l 的轴对称图形」，右图是「补全轴对称图形」，两者都要先作出关键点的对称点，再按原图形的连接顺序连线。 图 3 (1) 作 △ABC 关于直线 l 的轴对称图形：A′、B′、C′ 分别是 A、B、C 的对称点；(2) 已知右半（实线）和对称轴 l，作出各特殊点的对称点并连线，补出左半（虚线） 作法：（1）分别作出 A、B、C 关于 l 的对称点 A′、B′、C′；（2）连接 A′B′、B′C′、C′A′，则 △A′B′C′ 即为所求。 补全作法：在已知的一半上找出关键的特殊点，作出它们关于对称轴的对称点，再按原图形的连接方式连线，即可补出完整的轴对称图形。 提示：连接时要按原图形的顺序（如 A—B—C—A），不能随意连线，否则形状会改变。 提示：若原图形中有线段端点落在对称轴上，该端点与它的对称点重合，无需另找。 方法要点：作图与补全的关键都是「作对称点」——先找关键点，再作对称点、连线。 五、用轴对称解决问题 画轴对称图形时常常要判断两个图形是否成轴对称，或找出对称轴。成轴对称的两个图形，形状、大小完全相同，对应点的连线被对称轴垂直平分。 方法要点：判断两个图形是否成轴对称，就看能否沿某条直线折叠后完全重合；若能，这条直线就是它们的对称轴。 六、关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律 1. 关于 x 轴对称 在平面直角坐标系中，点 (x, y) 关于 x 轴对称的点的坐标是 (x, -y)。 即：横坐标相同，纵坐标互为相反数（简称「横同纵反」）。 2. 关于 y 轴对称 在平面直角坐标系中，点 (x, y) 关于 y 轴对称的点的坐标是 (-x, y)。 即：纵坐标相同，横坐标互为相反数（简称「纵同横反」）。 图 4 左：P(x, y) 关于 x 轴对称的点为 P′(x, -y)；右：P(x, y) 关于 y 轴对称的点为 P′(-x, y) 记忆口诀：「关于 x 轴，x 不变，y 变号；关于 y 轴，y 不变，x 变号」。 重要：（0, 0）关于 x 轴、y 轴对称的点都是 (0, 0)。 七、在坐标系中作轴对称图形 如果图形的位置用坐标给出，可以用「坐标法」作图，步骤： （1）计算：算出原图形中一些特殊点（如顶点）关于坐标轴对称的点的坐标； （2）描点：在坐标系中，根据算得的坐标描出各对称点； （3）连线：按原图形的连接顺序依次连接这各点。 例：如图 5，△ABC 的顶点 A(1, 2)、B(3, 1)、C(2, -1)，画出与 △ABC 关于 y 轴对称的图形。 图 5 △ABC 与 △A′B′C′ 关于 y 轴对称，A′(-1, 2)、B′(-3, 1)、C′(-2, -1) 解：因为关于 y 轴对称时横坐标互为相反数、纵坐标不变，所以 A(1, 2) → A′(-1, 2)，B(3, 1) → B′(-3, 1)，C(2, -1) → C′(-2, -1)。描出 A′、B′、C′ 并依次连接，得 △A′B′C′ 即为所求。 说明：坐标法把「作图」变成了「算坐标」，更精确、更简便；这是轴对称与坐标系结合的重要应用。 八、典型例题 【基础题】 例 1 点 M(-3, 5) 关于 x 轴对称的点的坐标是（　　）。 A. (-3, -5)　　B. (3, 5)　　C. (3, -5)　　D. (-3, 5) 解：选 A。 关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标取相反数，所以 M(-3, 5) → (-3, -5)。 例 2 点 A(2, -4) 关于 y 轴对称的点的坐标是（　　）。 A. (2, 4)　　B. (-2, -4)　　C. (-2, 4)　　D. (4, -2) 解：选 B。 关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标取相反数，所以 A(2, -4) → (-2, -4)。 例 3 已知点 P(a, 3) 与点 Q(-2, b) 关于 x 轴对称，则 a = ______，b = ______。 解：a = -2，b = -3。 理由：关于 x 轴对称的两点，横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以 a = -2，且 b = -3。 【提升题】 例 4 点 P(m - 1, 2) 与点 Q(3, n + 1) 关于 y 轴对称，求 m、n 的值。 解：因为两点关于 y 轴对称，所以纵坐标相同、横坐标互为相反数。 由纵坐标相同：2 = n + 1，解得 n = 1。 由横坐标互为相反数：m - 1 = -3，解得 m = -2。 答：m = -2，n = 1。 例 5 已知点 A(-4, 3)，写出点 A 关于 x 轴对称的点 A₁ 和关于 y 轴对称的点 A₂ 的坐标，并说明 A₁、A₂ 分别在哪个象限。 解：A 关于 x 轴对称的点 A₁ 为 (-4, -3)；关于 y 轴对称的点 A₂ 为 (4, 3)。 A₁(-4, -3) 的横坐标为负、纵坐标为负，在第三象限；A₂(4, 3) 的横坐标为正、纵坐标为正，在第一象限。 例 6 已知 △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3, 1)、B(-1, 4)、C(-2, -2)。画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A′B′C′，并写出 A′、B′、C′ 的坐标。 解：因为关于 x 轴对称时横坐标不变、纵坐标取相反数，所以 A(-3, 1) → A′(-3, -1)，B(-1, 4) → B′(-1, -4)，C(-2, -2) → C′(-2, 2)。 描出 A′(-3, -1)、B′(-1, -4)、C′(-2, 2)，依次连接，即得 △A′B′C′。 【拓展题】 例 7 若点 P(2a - 3, a + 2) 在第二象限，且它关于 x 轴的对称点在第四象限，求 a 的取值范围。 解：第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，所以 2a - 3 < 0，得 a < 1.5；a + 2 > 0，得 a > -2。 关于 x 轴对称的点坐标为 (2a - 3, -a - 2)，它在第四象限，说明横坐标为正、纵坐标为负，即 2a - 3 > 0 得 a > 1.5，与 a < 1.5 矛盾。 所以这样的点 P 不存在（无解）。 例 8 在平面直角坐标系中，已知 △ABC 关于 y 轴对称的三角形是 △A′B′C′。若 A(-2, 3)、B(-4, -1)，求 A′、B′ 的坐标，并说明 AB 与 A′B′ 的数量关系。 解：关于 y 轴对称时纵坐标不变、横坐标取相反数，所以 A(-2, 3) → A′(2, 3)，B(-4, -1) → B′(4, -1)。 因为轴对称的两个图形全等，所以对应线段相等，即 AB = A′B′。 答：A′(2, 3)，B′(4, -1)，且 AB = A′B′。 例 9 已知 △ABC 的三个顶点 A(-3, 2)、B(-1, 0)、C(3, 1)，作 △ABC 关于 y 轴对称的 △A′B′C′，并写出各对称点的坐标。 解：关于 y 轴对称时纵坐标不变、横坐标取相反数，所以 A(-3, 2) → A′(3, 2)，B(-1, 0) → B′(1, 0)，C(3, 1) → C′(-3, 1)。描出 A′、B′、C′ 并依次连接，即得 △A′B′C′。 例 10 已知点 A(3, -2) 与点 B(a, b) 关于 x 轴对称，点 B 与点 C 关于 y 轴对称。求点 C 的坐标。 解：A(3, -2) 关于 x 轴对称的点 B 为 (3, 2)（横坐标不变，纵坐标取相反数）。 B(3, 2) 关于 y 轴对称的点 C 为 (-3, 2)（纵坐标不变，横坐标取相反数）。 答：点 C 的坐标为 (-3, 2)。 例 11 已知点 P(x, y)。（1）写出点 P 关于 x 轴对称的点 P₁ 的坐标；（2）点 P₁ 与点 P 的横坐标、纵坐标分别有什么关系？（3）再把 P₁ 关于 x 轴作对称，得到点 P₂，求 P₂ 的坐标。 解：（1）P₁ 的坐标为 (x, -y)，横坐标不变、纵坐标取相反数。 （2）P₁ 与 P 的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 （3）把 P₁(x, -y) 再关于 x 轴对称，得 P₂(x, y)，即 P₂ 与 P 重合。 答：P₁(x, -y)；P₂(x, y)，两次关于同一条坐标轴对称会回到原来的点。 例 12 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为 A(-3, 1)、B(-1, 3)、C(-1, -1)。（1）作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A′B′C′；（2）求 △A′B′C′ 的面积。 解：（1）关于 y 轴对称，横坐标取相反数、纵坐标不变，得 A′(3, 1)、B′(1, 3)、C′(1, -1)，依次连接即得 △A′B′C′。 （2）△A′B′C′ 与 △ABC 全等，面积相等。△ABC 中 B、C 横坐标相同（都在直线 x = -1 上），BC = 3 - (-1) = 4，A 到直线 BC 的距离为 |-3 - (-1)| = 2，所以面积 = × 4 × 2 = 4。 答：△A′B′C′ 的面积为 4。（作图后也可直接看出 B′C′ = 4，高为 2。） 例 13 已知点 P(2x + 1, x - 3)。（1）若点 P 关于 x 轴的对称点在 y 轴上，求 x 的值；（2）若点 P 关于 y 轴的对称点在 x 轴上，求 x 的值。 解：（1）点 P 关于 x 轴对称的点为 (2x + 1, -x + 3)。它要在 y 轴上，需要横坐标为 0，即 2x + 1 = 0，解得 x = -。 （2）点 P 关于 y 轴对称的点为 (-2x - 1, x - 3)。它要在 x 轴上，需要纵坐标为 0，即 x - 3 = 0，解得 x = 3。 答：（1）x = -；（2）x = 3。 九、易错清单 序号 常见错误 正确理解 1 把「关于 x 轴对称」的坐标变化记反 关于 x 轴：横坐标不变，纵坐标变号（横同纵反） 2 把「关于 y 轴对称」的坐标变化记反 关于 y 轴：纵坐标不变，横坐标变号（纵同横反） 3 作图时只画部分特殊点的对称点 要画出所有关键特殊点（线段端点、顶点）的对称点 4 连线时顺序打乱，导致图形变形 必须按原图形的连接顺序依次连接各对称点 5 把对称点连成线段时忘了经过对称轴 对称点连线一定被对称轴垂直平分，连线要垂直于对称轴 6 求字母值时把「互为相反数」写成「相等」 横坐标互为相反数即 x + x′ = 0；纵坐标同理 7 以为关于 x 轴对称就是左右翻转 关于 x 轴是上下翻转，关于 y 轴才是左右翻转 8 漏掉落在对称轴上的特殊点 落在对称轴上的点，其对称点就是它本身，作图时应保留 十、方法总结与知识结构 1. 常用结论与思维方法 项目 内容 作图依据 对称轴垂直平分任意一对对称点所连的线段 作图三步法 一找特殊点 → 二作对称点 → 三依次连线 关于 x 轴对称 (x, y) → (x, -y)，横同纵反 关于 y 轴对称 (x, y) → (-x, y)，纵同横反 坐标法作图 计算对称点坐标 → 描点 → 连线 2. 知识结构 画轴对称图形　依据：对称轴垂直平分对称点连线 　步骤：一找 二画 三连 用坐标表示　关于 x 轴：(x,y)→(x,-y) 　关于 y 轴：(x,y)→(-x,y) 应用　补全图形 / 坐标法作图 / 求字母值 重要结论　轴对称的两个图形全等 一句话总结：画轴对称图形，靠的是「对称轴垂直平分对称点连线」；在坐标系中，关于 x 轴对称是「横同纵反」，关于 y 轴对称是「纵同横反」，算好坐标再描点连线即可。 十一、学以致用（即时自测） 1. 点 M(-3, 5) 关于 x 轴的对称点坐标是（　　），关于 y 轴的对称点坐标是（　　）。 2. 若点 A(a, 3) 与点 B(2, b) 关于 x 轴对称，则 a = ______，b = ______。 3. 已知点 P(2m - 1, 4) 关于 y 轴的对称点在 y 轴上，求 m 的值。 4. 点 N(a + 1, 2) 关于 y 轴的对称点是 N′(-3, b - 1)，则 a = ______，b = ______。 参考答案：1. (-3, -5)；(3, 5)。　2. a = 2，b = -3（横坐标相同，纵坐标互为相反数）。 3. 点 P 关于 y 轴的对称点是 (1 - 2m, 4)，它在 y 轴上说明横坐标为 0，即 1 - 2m = 0，解得 m = 。 4. 关于 y 轴对称，纵坐标相同、横坐标互为相反数，所以 a + 1 = 3，b - 1 = 2，解得 a = 2，b = 3。 作图规范小贴士：（1）作对称点时要标出垂足和直角符号；（2）对称点连线用虚线，所得图形用实线；（3）书写时注明「如图所示」或「如图 n」，并写出结论「∴ △A′B′C′ 即为所求」。 学科网（北京）股份有限公司 $