陕西省西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题

高2028届高二第一学期月考一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.2-5例+-的共扼复数为(1 A.3-2i B.3+2i C.5-2i D.5+24 2.已知命题p:x-5x+4≤0，q:x≥a,若P是9的充分不必要条件，则a的取值范删是() A.(-o,) B.(-o,] C.0,+o) D.[l,+o) 3.若命题p:eR2+:名之0是假命题，则实数k的取值范围是（) A.（-3,0] B.（-o,0U(3,+∞）C.（-3,0) D.（←o,0lUB,+o) 4.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若A+B=2C,a=√5，c=5, 则S。sc等于() A.3+5 B. 3+V5 2 4 C.3 D.√5 2 5.已知斤，尽分别是椭圆c号+片-e>2习的左、右焦点，P是C上的动点，则PP的 最小值为() A.a B.a2-4 C.4 D.-4 6.三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,且AB=AC=PC=1,则当三棱锥P-ABC的体积最大时， 直线PA与BC所成角的余弦值为(、 A B.月 c月 D. 7.F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A,与抛物线的准线相交 于B,若FB=4FA,则FA.FB=() A.1 B C.2 D 试卷第1页（共4页） 8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当xE[0,时， f(x)=a+b(a>0且a≠1)，若f(0)+f(3)=-l,则f(1og218)=() B. c名 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对酌情给分，有错项的得0分. 9.一组数据从小到大为5,6,7,8，y,11,若这组数据的平均数是8，则() A.y=10 B.极差为6 C.40%分位数为7 D.方差为5 10.设平面向量a,6,c均为非零向量，则下列命题正确的是() A.若ac=ic,则a=b B.若a16,则a-6= C.若a+-,则a16 D.若a.c=b.±0，则a/16 1山.已知双曲线c:苦茶-16>0)的左、右焦点分别为R,,过作C的一条衔近线的重 线1，垂足为H,且1与双曲线右支相交于点P,若cos∠FPR-},则() A.OH=2 B.PF =5 C.双曲线C的离心率是5 D.△PF5内切圆的半径为7- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f)=sin(ox+p)(@>0,1p水)的部分图象如图所示， 则( 13.已知点A(2,0),圆C:x2+y2+4x-4=0.过点A作直线1，若圆C上恰有三个点到直线l距 离为√，则该直线斜率为 14.已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自 由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.(本题满分13分)在△MBC中，角AB,C所对的边分别是a.b,c,且 2csin B cos A+asin A=2bsin C. (1)证明：b▣c: 2若D为C边上的点，BD=2CD=2AD=5b,求6的值， 3 16。(本题满分15分)已知椭圆E:三+长=o>6>0的离心率为5 椭圆E上的点到 2 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程： (2)A,B分别是椭圆E的左、右顶点，经过点M(1,0)且斜率存在且不为零的直线与椭圆E 交于不同的两点P,O,求直线AP,BQ的斜率之比. 17.(本题满分15分)校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从 中抽取2人. (I)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球 成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ()甲、乙两人全部发球成功的概率： ()甲、乙至少有一人发球成功的概率， 试卷第3页（共4页） 18.(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PMD⊥底面ABCD,底面ABCD为正 方形，侧面PD为等腰三角形，M为PD的中点，且PA=D=2∠AD= 3 (I)求证：AM⊥平面PCD: (2)设平面PMD与平面PBC的交线为l. (i)求直线I与直线8C所成角的正弦值： (i)若Q为直线I上的动点，且满足PO=1BC(1>0),是否存在点Q使直线PC与平面QAB 所成的角为？若存在，请求出满足条件的A值；若不存在，请说明理由。 19.(本题满分17分).已知抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+0+4)2=】 上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)从抛物线C上任取一点xo,yo),过点Q作C的切线1，证明：1的方程为xox=y+yo (3)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，且A,B是切点，求△PAB面积的最大值 试卷第4页（共4页） 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.2-V5团+(1-i)的共轭复数为() A.3-2iB.3+2iC.5-2iD.5+2i 【答案】B【详解】因为2-5+1-=V2+(5+1-2i+P=3-2i,所以共轭复数为3+2i 2.已知命题p:x2-5x+4≤0,9：x≥a.若P是9的充分不必要条件，则a的取值范围是() A.(-o,1)B.(-o,]C.(L,+oo)D.[l,+o) 【答案】B【详解】由x2-5x+4=(x-1)(x-4)≤0，解得1≤x≤4，即命题p对应的集合为[1,4]， 又命题9对应的集合为[a,+o),且P是9的充分不必要条件，即AB,所以a≤1. 3.若命愿p:x∈R,2r2+:-3≥0是假命题，则实数k的取值范围是() 8 A.（-3,0] B.（-0,0)U3,+o) C.（-3,0) D.（-∞，0]U[3,+∞ 【答案】A【详解】由愿可得命题Vx∈R,2+:。<0是真命愿，当k=0时，<0相成立，符合题 2k<0 意：当k≠0时，则有 4=2+3k<0'解得-3<k<0,综上：实数k的取值范围是(-3,0]，故A正确 4.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,若A+B=2C,a=√2，c=V3,则SC 等于() A.3+V3 B.3+5C.5D.N5 2 4 2 【答案】B【详解】因为A+B=2C,又A+B+C=元，所以C=?.由正弦定理 3 2 细小+9个-正+ms=(b+p)ms=as泊‘=y‘3>yg7 4 .esin B-x2x5x6+5_3+5故选B 2 4 4 E已知F,E分别是椭圆C:二+片Ia>2的左、右焦点，P是C上的动点，则PFPE的最小值 为(). A.a2B.a2-4C.4D.Va2-4 【答案】C【详解】由题可知：b=2,由椭圆性质可得：PF+PF=2a,a2=4+c2, 设PF=1,则PF=2a-1,且a-c≤t≤a+c,所以PFPF=t(2a-)=-2+2at=-(t-a)+a2, 函数y=-(t-a)+a2为二次函数，开口向下，对称轴为t=a,当t=a+c或t=a-c时，PFPF取得 最小值，最小值为-c2+a2=4. 6.三棱锥P-ABC中，AB L AC,且AB=AC=PC=1,则当三棱锥P-ABC的体积最大时，直线PA 与BC所成角的余弦值为() 日AB上AC,AB=AC=,得△ABC的面积S=。AB:AC=)为定值， 2 c3Sch,其中h为点P到平面ABC的距离，已知PC=l,故h≤PC=l,当且仅当PCL平面 ABC时，h取最大值1，此时三棱锥体积最大，以A为原点，AB方向为x轴正方向，AC方向为y轴正 方向，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),由 PC⊥平面ABC且PC=1,得P(0,1,),则PA=(0,-1,-1),BC=(-1,1,0),设异面直线PA与BC所成角为0， 0e(0.1 PA.BC=-1.IP.IBCc0s0=IP4-BC=-1=1 1Pa-BC2x22,所以直线PA 与BC所成角的余弦值为2 1 7.F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A,与抛物线的准线相交于B,若 FB=4FA,则FA·FB=() 3 A.1B. 9 2 C.2D.4 1 【答案】D【详解】由题意，设A的横坐标为m,则由抛物线的定义，可得m+2 1.所以 2_3.则m= 4 14 F同-F国到=3.所以F风，历=Ficos0(-}故本题答案选D. 8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[0，]时，f(x)=a+b (a>0且a≠1)，若f(0)+f(3)=-1,则f(1og218)=() A.、9 【答案】C【详解】由f(x+1)为奇函数得f(-x+)=-f(x+),令x=0,则f)=-f),解得f()=0, 由f(x+2)为偶函数得f(-x+2)=f(x+2),在f(-x+1)=-f(x+1)中将x替换为x-1,得 f(-x+2)=-f(x),进而有fx+2)=-fx),则f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=(-f(x)=f(x), 所以f(x)的最小正周期为4，由f(I)=0得a+b=0→b=-a,f(0)=a°+b=1+b=1-a, f3)=f1+2)=-f)=0,由题意得f0)+f3)=-1,即1-a)+0=-1,解得a=2,进而b=-2,所以 当xea时.因=2r-2,ls:18=bg,06x8-g16+be8-4+osg所8 9 fe,1周=4+e=0e景.其中1号2，所以0<e君1，所以 g-2-2--2=- 8 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5分，部分选对酌情给分，有错项的得0分. 9.一组数据从小到大为5,6,7,8，y,11,若这组数据的平均数是8，则() A.y=10B.极差为6C.40%分位数为7D.方差为5 【答案】BC【详解】由题得5+6+7+8+y+11=6×8=48,所以y=11,所以A错误： 根据定义极差为11-5=6，所以B正确：因为6×0.4=2.4,40%分位数为7，所以C正确；根据方差公式， 方差为。*[6-8+(6-8+(-8+(8-8+1-8+1-8]=5.所以D错误 故选：BC 10.设平面向量ā，b,c均为非零向量，则下列命题正确的是() A.若ac=b.c,则a=bB.若a16,则a.6= C.若a+b=a-,则a⊥6D.若ac=6c=0,则a16 【答案】CD【详解】对于选项A,当c与a,b都垂直时，a·c=b·c成立，但a=b不一定成立，故A错 误：对于选项B,由a1/6得<a,i>=0或元，此时a.b=cos<a,b>=±db,故B错误： 对于选项C,对a+b=a-b两边平方得+b2+2a-b=+i2-2a.6,即2a.b=-2ab,故a.6=0, 即a⊥b,故C正确：对于选项D,因为a,c=b.c=0,所以a⊥c且bLc,因为a,b,c均为非零的平面 向量，所以ā/1b,故D正确.故选：CD 山.已知双南线C:号茶=b>0)的左、右焦点分别为，月，过作C的一条新近线的重线，重足 为H,且I与双曲线右支相交于点P,若cos☑EP吗，则( A.OH =2 B.PF =5 C.双曲线C的离心率是5 D.aPFB内切圆的半径为7-国 be 【答案】ABD【详解】如图，选项A,因为渐近线为y=bx,F(-c,0),所以F川= a =b (b i+a 又OF=c,所以OH=a=2,正确选项B,因为∠HEO=元-∠HOF,所以tan∠HF0= an∠HOEb' 所以m∠R0-是是又oohPF-子所以s如∠FR-手n分 PF 2c PF3 4 2, cc 5sin∠PF sin∠HFO'5c 解得PE5,确选项C,因为P吹PRE2a三4，所以PRE9又+5-2s∠P匹号 2.9.5 所以c=3,所以离心率为S=3 错误选项D,由题意得 5.mFinPxx, 得到△FPF周长L=5+9+213=14+213.因为内切圆半径r= 2S压=2×18=7-下，正确 L14+2W132 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f)=sn(@r+p)(@>0p水孕的部分图象如图所示，则 【答案】)【详解】由图可得： （别受 所以7==石解得：@=2由图可得：当x号时，f得)-0，即：得)m2×号+p-0,所以 号+p=+e)又受所以-()m名+孕-分答案为 2x 13.已知点A(2,0),圆C:x2+y2+4x-4=0过点A作直线1，若圆C上恰有三个点到直线1距离为√2， 则该直线斜率为 【答案】±7当直线1斜率为0时，圆C上有四个点到直线1距离为2，不合题意，设直线1：x=+2, 7 则由题意C到1的距离等于2N2-2-V2,即2-3=2，解得1=士N7,故斜率直线斜率为}-±5 V1+2 7 14.已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方 体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为 【答案】8【详解】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体 的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，设圆锥的底面半径为”， 号线长为，则圆锥侧面积为分2r1-3x1=18,解行1=6如图。在圆维轴被面 P中，c∠PB=份-行分则∠PB-子所以<040=后所以圆维 6 内切球半径0O,=A0tan∠0,40=3tan?=V5,即正方体外接球半径为√5.设正 6 方体的棱长为a,则a2+ad+d2=(25,解得a=2,所以正方体的体积为V=a2=8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.(本题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 2csin BcosA +asin A =2bsin C. (1)证明：b=c: ②若D为BC边上的点，BD=2CD=2,AD=5b,求b的值. 3 15、(1)证明：因为2 csin Bcos A+asin A=2 bsin C,所以由正弦定理得2 bccos A+a2=2bc, 又因为2hc.+c2-d+d心=2c化简得：2+c2=2hc,所以6-c}=0即b=c,故得证 2bc (2)如图，在△ABD中，由余弦定理得AD2=b2+4-4 bcos B,在△ACD中，由余弦定理得 AD2=B2+1-2bc0sB,所以2b0sB=3,又因为4D2=7B,所以6=3. 9 16.(本题满分15分) 已知椭圆E:号+Xa>b>0)的离心第为V ,椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4， (1)求椭圆E的方程： (2)A,B分别是椭圆E的左、右顶点，经过点M(1,0)且斜率存在且不为零的直线与椭圆E交于不同的两 点P,Q,求直线AP,BQ的斜率之比. 【详解】(1)由题意知，2a=4,a=2,又因为e=9= ,所以c=5, a 2 因为分=-心=，所以精圆E的方程为子+少产=： (2)由题知，A(-2,0),B(2,0),设过M(1,0)的直线斜率为k,则直线方程为y=k(x-1), 设直线与椭圆交于P(x,),Q(x2,y2),则y=k(x-1),2=k(x2-1), 联立直线与椭圆方程，消元得：茸+(-=1， 整理得：（1+42)2-8k2x+4(-)小-0，根据韦达定理：名+名1十4=1+4状 .8k2 4(k2-1） 所以直线4P的斜率为w=2-(任)，直线B0的斜率为0=兰2- x+2x+2 x2-2x2-2 所以业=5-15-2) 0G+23-,因为2x-54+5)+8=2.4 2-5.8 1+4k2 31+4k2+8=0, 所以2xx2-5(x+x2)+8=3(x-1)(x2-2)-(x+2)(x2-1)所以3(x-1)(x2-2)=(x+2)(x2-1), 即=-s-2)1 k(x+2)(x2-1)3 17.(本题满分15分)校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为 0.8,两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率： ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 【答案】(1)(A,B),(A,C),(B,C),(A,a,(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),0.3 (2)①0.56②0.94【详解】(1)设3名男队员为A,B,C,2名女队员为a,b,采用不放回简单随机抽样抽取 2人，所有可能的基本事件为：（A,B),(A,C),(B,C),(A,a),(A,b),(B,a,(B,b),(C,a,(C,b),(a,b),共10 个，其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：（A,B),(A,C),(B,C),共3个， 敬抽取到的2人全是男队员的概率为：P003 (2)设“甲发球成功”为事件M,“乙发球成功”为事件N,由题意知M与N相互独立，且 P(M)=0.7,P(N)=0.8.①甲、乙两人全部发球成功的事件M,N同时发生，由独立事件乘法公式得： P(MW)=P(M)P(N)=0.7×0.8=0.56.②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：P(MN)=P(M)P(N)=(1-0.7)(1-0.8)=0.06,故至少一人发球成功的概率为： P=1-P(MN)=1-0.06=0.94. 18.(本题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，侧面PAD为等腰三角形， M为PD的中点，且PA=AD=2,∠PAD=2如 3 (I)求证：AM⊥平面PCD: (2)设平面PAD与平面PBC的交线为I. ()求直线l与直线PC所成角的正弦值： (ii)若Q为直线I上的动点，且满足Pg=BC(a>O),是否存在点Q使直线PC与平面QAB所成的角为 号？若存在，请求出满足条件的入值：若不存在，请说明理由。 【答案】(I)在四棱锥P-ABCD中，由正方形ABCD,得CD⊥AD, 由平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 得CD⊥平面PAD,而AMc平面PAD,则AM⊥CD,由M为PD的中点，PA=AD, 得AM⊥PD,又PDOCD=D,PD,CDc平面PCD,所以AM⊥平面PCD (2)(i)由BCI/AD,ADC平面PAD,BCa平面PAD,得BCII平面PAD, 又平面PAD与平面PBC的交线为I,BCc平面PBC,则I/IBC, 则直线I与直线PC所成的角是∠PCB或其补角， 在平面PAD内过点P作PE⊥AD交DA的延长线于点E,连接BE,CE, 由平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,得PE⊥平面ABCD, 而BE,CEc平面ABCD,则PE⊥BE,PE⊥CE,而PA=AD=2,∠PAD=2 则AE=1,PE=√5，BE=V5,PB=2√2，PC=VPE2+DE2+CD2=4, M 在aPCB中，由余弦定理得cos∠PCB=2+4-22_3 2×2×4 4 si血∠PCB=万，所以直线I与直线PC所成角的正弦值万 (ii)作Az/IPE,由(i)得Az⊥平面ABCD,直线AB,AD,Az两两垂直， 以点A为原点，直线AB,AD,Az分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,-1,V3),P9=BC=(0,21,0), 00,21-1,3),AB=(2,0,0),A0=(0,21-1,V5),设平面0AB的法向量n=xy,2,则 a0.i=2a-y+52=0令y=5,得i=03,1-2),而Pc=23,,由直线pC与平面 AB.n=2x=0 21B所成的角为了得血管Heox(PC.非CA-,25+)5 1Cm43+0-2示=2，解得1=1，所以存在点Q使 直线PC与平面QAB所成的角为？，此时元=1 19.(本题满分17分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+y+4)2=1上点的距 离的最小值为4. (1)求p: (2)从抛物线C上任取一点Q(xo,yo),过点Q作C的切线1，证明：1的方程为xox=py+四yo (3)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值. 【答案】(1)p=2:(2)略(3)20W5 【详解】(1)[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知， 设圆M上的点N(xo,),则x+（y。+4)=1. 所以x=1-（+4)(-5≤≤-3).从而有 w+-=-+4+（号--0+8%-15+号.因为-5%s-3,所以当 %=-3时，I5NL=?+3p+9=4.又p>0,解之得D=2,因此P=2, (2)先证明Q在切线1上，再联立方程证明△=0即可 (3)设点A(x,)、B(x2,y2)、P(x,yo),直线PA的方程为xx-2y-2y=0,同理可知，直线PB的 方程为x2x-2y2-2y=0,由于点P为这两条直线的公共点，则{ xx-2y-2y%=0 x2-2y2-2%=0 所以，点A、B的坐标满足方程xx-2y-2y。=0,所以，直线AB的方程为xx-2y-2y。=0, xx-2y-2y%=0 联立 x ,可得x2-2xx+4y。=0,韦达定理可得x+2=2x,xx2=4y%, y= 4 所以4-：（色vG+广-4-G+4云-4切，点P到直线4B的距离为d- 6-4 x号+4 .-写-联-W5--. :x6-4=1-(6+4)2-4y。=-6-12y6-15=-(%+6)°+21，由已知可得-5≤≤-3，所以，当 ,=-5时，△PAB的面积取最大值×202=20W5