精品解析：四川省广汉中学2026-2027学年高二上学期10月月考试数学试卷

广汉中学高2025级高二（上）10月练习 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 5. 下列说法正确的是（    ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 已知点关于轴的对称点为 C. 若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若向量，，满足，则 C. 空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 16. 在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； （2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；附： （3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广汉中学高2025级高二（上）10月练习 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，进而得在复平面对应的点为，即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 2. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即. 故选：A. 4. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 已知点关于轴的对称点为 C. 若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】对于A利用百分位数的定义即可判断，对于B求出点关于轴对称即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D根据频率分布直方图即可判断. 【详解】对于A，先将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，因为， 则第60百分位数为第3位数据和第4位数据的平均数，即第60百分位数为，故A错误； 对于B，点关于轴的对称点为,故B错误； 对于C，由方差计算公式可得，故C正确； 对于D，由题意，该组数据的频率分布直方图是左偏态分布，数据大多集中在数值较大的区间，少数数值较小的数据会导致平均数小于中位数，故D错误. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 7. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 8. 已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设长度，求出，利用求出的取值范围. 【详解】 如图以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，, 则，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 即， 当时，， 所以的取值范围是， 故选：C. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若向量，，满足，则 C. 空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量运算判断A；利用相等向量的意义判断B；利用空间的一个基底的意义判断C；利用空间共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，，，四点可能在一条直线上，B错误； 对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误； 对于D，若，则， 化简得，因此，，，四点共面，D正确. 故选：AD 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 【答案】## 【解析】 【详解】设直线与平面的夹角为， 则， 因为，所以. 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为，事件甲只加入其中一个社团可表示为，由条件结合概率加法公式求结论. 【详解】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，， 事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为， 且事件，互斥， 所以， 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 即： ，由得： （2），的周长为 由余弦定理可得： 的面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型. 16. 在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 【答案】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面． （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证, （2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； （2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；附： （3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率． 【答案】（1），第85百分位数为 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积为1即可求得的值，并由频率分布直方图求百分位数的计算方法计算第85百分位数. （2）由总体平均数与总体方差的计算方法，即，即可求解. （3）由题意得，的两组观众频率之比为：，则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人，列出所有选取的可能，即可确定符合题意的概率. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，所以第85百分位数在区间内， 设第85百分位数为，则，解得， 所以第85百分位数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名观众编号为1、2、3、4，记的一名观众编号为5， 则选出两名观众的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名观众的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名观众的年龄均在的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①若甲得5分，则甲A，B两题回答正确，则有，若甲得3分，则甲A题回答错误，B题回答正确，联立即可求得. ②由题意列出甲、乙回答问题后可能的得分情况，设甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，记比赛后总得分不低于8分为事件E，则有，检验独立性后进行计算即可. （2）由题意得，，经过计算后将之做差可得，因为，，，所以，当且仅当时取等号，即，即可得出. 【小问1详解】 ①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以 ， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． 【小问2详解】 若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $