精品解析：四川省绵阳中学实验学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

绵阳中学实验学校2025级高二上学期第一次月考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 3. 直线和的位置关系是（   ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 【答案】C 【解析】 【详解】由题意两直线的斜率分别为和，且都过点， 因为且， 所以两直线相交但不垂直. 4. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 5. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 7. 如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算求得和，结合数量积运算求解即可. 【详解】设，，． 由，得，由为的中点， 得， 所以 ， 故选：B. 8. 已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，，利用向量的数量积运算可得，代入所求式子结合二次函数求最值. 【详解】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，， 所以，可得， 所以， 当时，的最小值. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长，​ 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线方程为，它的一个方向向量为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率， 因为直线方向向量为，所以斜率为， 所以． 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建系，设出点E坐标和向量的坐标，进而求出点F的坐标，利用两点间的距离公式可得的长度，进而求出的最小值. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，， 设，， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，又因为平面，所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用垂直关系，结合二面角的定义，找到为所求二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1、易知两两互相垂直，以为坐标原点，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，  则， 则. 由（1）可知，平面，故是平面的法向量. 设平面的法向量为， 则有，即，令，则，故， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 解法2、， 作，连接， 由（1）知：平面，平面,故, 平面，故平面， 平面，故， 故为所求二面角的平面角， 由于平面，平面,故, ,故， , 在中，, 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设若四点共面，求实数的值 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直关系的坐标表示求出 ，进而求出的坐标，再利用坐标求出模. （2）由四点共面，得向量共面，建立等式求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得， 则，而， 因此，所以. 【小问2详解】 若四点共面，则向量共面，设， 即， 因此，解得， 所以的值是. 17. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【小问1详解】 ， 由已知可得，， 因此，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 18. 已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线的方程． （2）当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）作于，由，可求得，即得解； （2）设直线的方程为，则，又，结合均值不等式即得解. 【详解】（1）由题意，作于，故 ，由可得 故 直线的方程为，即 （2）由题意，设直线的方程为 则 由于直线过，故 由于，故， 当且仅当，即时等号成立 即 故 此时直线的方程为：，即 19. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. （2）①借助空间向量，利用与平面的法向量垂直，求的值； ②利用空间向量求直线与平面所成角的正弦的取值范围. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 令，可得， 又，所以点到平面的距离为， 所以，点到平面的距离为. 【小问2详解】 ①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得，所以. ②因为，，点为棱上的动点， 可设点的坐标为. 又，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又，设直线与平面所成角为， 则. 当时，； 当时，，当，取得最大值. 综上. 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学实验学校2025级高二上学期第一次月考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线和的位置关系是（   ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 4. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线方程为，它的一个方向向量为，则的值为_________． 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设若四点共面，求实数的值 17. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 18. 已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线的方程． （2）当的面积最小时，求直线的方程． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $