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小升初奥数培优讲义
小升初奥数培优讲义08:百分数应用题——增长率与税费问题
【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
考点梳理
(一)基础概念
1. 增长率(增加百分之几):表示增加的部分占原来基准数量的百分之几。
原来的数量叫做基准量(单位 “1”),增长之后的数量叫现期量。
例如:产量从 100 吨增长到 120 吨,增加了 20 吨,增长率就是增加的 20 吨除以原来的 100 吨。
2. 减少率(降低百分之几、负增长):减少的部分占原来基准数量的百分之几。
3. 税费相关概念
(1) 收入总额:发生纳税行为之前的全部收入,是计算税额的基数。
(2) 应纳税部分(计税收入):按照国家规定,需要交税的那一部分收入,部分题目总收入全部作为应纳税部分。
(3) 税率:应缴纳税款占应纳税部分的百分比。
(4) 应纳税额(税款):实际需要上交的钱。
(5) 税后收入:扣除税款之后,个人实际拿到手的收入。
常见税费类型:营业税、增值税、个人所得税、购置税等。
(二)核心必背公式
增长率、减少率公式
1. 增加量 = 原来数量 × 增长率
2. 现期量(增长后)= 原来数量 ×(1 + 增长率)
3. 增长率 = 增加量 ÷ 原来数量 ×100%
4. 减少量 = 原来数量 × 减少率
5. 现期量(减少后)= 原来数量 ×(1 − 减少率)
6. 减少率 = 减少量 ÷ 原来数量 ×100%
连续增长:连续两次增长,每一次的单位 “1” 是上一期结束之后的数量,不能直接把两个百分数相加。
税费计算公式
1. 应纳税额 = 应纳税部分 × 税率
2. 税后收入 = 应纳税部分 − 应纳税额
3. 应纳税部分 = 应纳税额 ÷ 税率
4. 税率 = 应纳税额 ÷ 应纳税部分 ×100%
(三)解题核心思路与易错点
1. 找准单位 “1”
增长率问题:单位 “1” 是原来的基数(增长之前的数量);
税费问题:单位 “1” 是应纳税部分。
题目出现 “比原来增长”“比去年降低”,“比” 字后面的量就是单位 1。
2. 连续增长易错:
比如先增长 10%,再增长 10%,最终并不是增长 20%。第二次增长的基数已经是第一次增长完之后的新数量。
3. 税费高频易错:
①不要拿总收入直接乘税率,要看清题目,区分 “总收入” 和 “应纳税部分”;
②税后收入不是总收入乘税率,而是应纳税部分减去税款;
③求增长率,分母一定是原来的数,不是现在的数。
4. 做题通用步骤:
①圈出单位 “1”,判断单位 “1” 已知还是未知;
②单位 1 已知用乘法;单位 1 未知用除法;
③分清:增加用(1 + 百分率),减少用(1−百分率);
④税费题先找到应纳税部分,再套用税款公式。
例题讲解
【典型例题 1】基础增长率(已知原来数量和增长率求现期)
某农场去年粮食产量是 800 吨,今年产量比去年增长 15%,今年粮食产量是多少吨?
【详解】
单位 “1”:去年产量 800 吨(已知,用乘法)。
现期量 = 原来数量 ×(1 + 增长率)
800 ×(1+15%)
=800 ×1.15
=920(吨)
【答案】今年粮食产量 920 吨
【跟踪训练 1】
服装店去年营业额 45 万元,今年营业额比去年提高 20%,今年营业额是多少万元?
【详解】
单位 “1” 去年营业额 45 万元。
45×(1+20%)
=45×1.2
=54(万元)
【答案】今年营业额 54 万元
【典型例题 2】求增长率(求增加百分之几)
某工厂五月份生产零件 2000 个,六月份生产零件 2400 个,六月份比五月份产量增长百分之几?
【详解】
增长率 = 增加量 ÷ 原来数量 ×100%
增加量:2400−2000=400(个)
增长率:400÷2000×100%=20%
【答案】六月份比五月份产量增长 20%
【跟踪训练 2】
小区原有居民 120 户,新入住之后变成 168 户,现在户数比原来增加百分之几?
【详解】
增加量:168−120=48(户)
增长率 = 48÷120×100%=40%
【答案】比原来增加 40%
【典型例题 3】减少率(降低百分之几)
一台空调原价 3000 元,现在降价到 2400 元销售,价格比原来降低百分之几?
【详解】
减少量 = 3000−2400=600(元)
减少率 = 减少量 ÷ 原来价格 ×100%
600÷3000×100%=20%
【答案】价格比原来降低 20%
【跟踪训练 3】
学校上个月用水 500 吨,这个月用水 420 吨,这个月用水量比上个月节约百分之几?
【详解】
节约水量:500−420=80(吨)
减少率:80÷500×100%=16%
【答案】这个月用水量比上个月节约 16%
【典型例题 4】连续增长问题
某公司 2024 年利润为 200 万元,2025 年利润比 2024 年增长 10%,2026 年利润相比 2025 年继续增长 10%。求 2026 年的利润是多少万元?
【详解】
第一步:求 2025 年利润,单位 1 是 2024 年
200×(1+10%)=220(万元)
第二步:求 2026 年利润,单位 1 变成 2025 年的 220 万
220×(1+10%)=242(万元)
【答案】2026 年利润 242 万元
【跟踪训练 4】
一个店铺一月份销售额 50 万元,二月份销售额比一月份上涨 20%,三月份比二月份又上涨 20%。三月份销售额多少万元?
【详解】
二月:50×(1+20%)=60(万元)
三月:60×(1+20%)=72(万元)
【答案】三月份销售额 72 万元
【典型例题 5】已知增长之后的数量,求原来数量
某城市今年人口数量是 46 万,比去年人口数量增长 15%,这座城市去年人口是多少万人?
【详解】
单位 “1” 去年人口,未知,用除法。
原来数量 = 现期量 ÷(1 + 增长率)
46 ÷ (1+15%)
=46 ÷1.15
=40(万人)
【答案】去年人口 40 万人
【跟踪训练 5】
果园今年收获苹果 368 吨,比去年增产 15%,去年收获苹果多少吨?
【详解】
单位 1 去年产量未知。
368÷(1+15%)
=368÷1.15
=320(吨)
【答案】去年收获苹果 320 吨
【典型例题 6】基础税费,求应纳税额
一家小店这个月应纳税部分收入是 75000 元,如果按照 3% 的税率缴纳税款,这家店本月应缴纳税款多少元?
【详解】
应纳税额 = 应纳税部分 × 税率
75000 × 3% =2250(元)
【答案】本月应缴纳税款 2250 元
【跟踪训练 6】
某个体户应纳税部分收入 48000 元,按税率 5% 交税,应缴纳税款多少元?
【详解】
48000×5% =2400(元)
【答案】应缴纳税款 2400 元
【典型例题 7】求税后实际收入
一家商铺应纳税部分是 60000 元,税率 4%,交完税后,实际税后收入是多少元?
【详解】
税款 = 60000×4%=2400(元)
税后收入 = 应纳税部分−税款
60000−2400=57600(元)
【答案】税后收入 57600 元
【跟踪训练 7】
工作室应纳税部分 32000 元,税率 6%,税后实际收入多少元?
【详解】
税款:32000×6% =1920(元)
税后收入:32000−1920=30080(元)
【答案】税后实际收入 30080 元
【典型例题 8】已知税款,求应纳税部分
某企业按税率 5% 交税,本月缴纳税款 3500 元,这家企业本月应纳税部分收入为多少元?
【详解】
应纳税部分 = 应纳税额 ÷ 税率
3500 ÷5% =70000(元)
【答案】本月应纳税部分收入 70000 元
【跟踪训练 8】
某个商户缴纳税款 1680 元,税率是 4%,该商户应纳税部分收入多少元?
【详解】
1680 ÷4% =42000(元)
【答案】应纳税部分收入 42000 元
【典型例题 9】增长率与税费综合题
超市去年应纳税部分 80 万元,今年应纳税部分比去年增长 25%,税率保持 3% 不变,今年需要缴纳税款多少万元?
【详解】
第一步:先算今年应纳税部分
80 ×(1+25%)=100(万元)
第二步:计算今年税款
100 × 3% =3(万元)
【答案】今年需要缴纳税款 3 万元
【跟踪训练 9】
餐饮店去年应纳税部分 50 万元,今年应纳税部分比去年增长 18%,税率 2%,今年应交税款多少万元?
【详解】
今年应纳税部分:50×(1+18%)=59(万元)
税款:59×2% =1.18(万元)
【答案】今年应交税款 1.18 万元
提升练习
第 1 题
某果园去年收获橘子 650 吨,今年产量比去年增长 12%,今年收获橘子多少吨?
【详解】
单位 “1” 为去年产量,已知用乘法。
650×(1+12%)
=650×1.12
=728(吨)
【答案】今年收获橘子 728 吨
第 2 题
五金店上月营业额 32 万元,本月营业额比上月提升 15%,本月营业额是多少万元?
【详解】
32×(1+15%)
=32×1.15
=36.8(万元)
【答案】本月营业额 36.8 万元
第 3 题
工厂七月份生产零件 3600 个,八月份生产零件 4500 个,八月份产量比七月份增长百分之几?
【详解】
增加量:4500−3600=900(个)
增长率 = 增加量 ÷ 原来数量 ×100%
900÷3600×100%=25%
【答案】八月份比七月份产量增长 25%
第 4 题
社区原来有健身器材 80 件,新增之后达到 112 件,现在器材数量比原来增加百分之几?
【详解】
增加量:112−80=32(件)
32÷80×100%=40%
【答案】比原来增加 40%
第 5 题
一款手机原价 4200 元,现价 3150 元,现价比原价降低百分之几?
【详解】
减少量:4200−3150=1050(元)
减少率 = 减少量 ÷ 原价 ×100%
1050÷4200×100%=25%
【答案】现价比原价降低 25%
第 6 题
工厂上个月耗电 12000 度,这个月耗电 9600 度,这个月用电量比上个月节约百分之几?
【详解】
节约电量:12000−9600=2400(度)
2400÷12000×100%=20%
【答案】这个月用电量比上个月节约 20%
第 7 题
某养殖场 2024 年出栏家禽 3000 只,2025 年数量比 2024 年增长 15%,2026 年比 2025 年再增长 15%,2026 年出栏家禽多少只?
【详解】
2025 年:3000×(1+15%)=3450(只)
2026 年:3450×(1+15%)=3967.5(只)
【答案】2026 年出栏家禽 3967.5 只
第 8 题
网店三月份销售额 40 万元,四月份比三月份上涨 25%,五月份比四月份上涨 25%,五月份销售额是多少万元?
【详解】
四月:40×(1+25%)=50(万元)
五月:50×(1+25%)=62.5(万元)
【答案】五月份销售额 62.5 万元
第 9 题
某地今年蔬菜总产量 55.2 万吨,比去年增产 15%,该地去年蔬菜总产量多少万吨?
【详解】
单位 “1” 去年产量未知,用除法。
55.2÷(1+15%)
=55.2÷1.15
=48(万吨)
【答案】去年蔬菜总产量 48 万吨
第 10 题
书店今年图书销量是 2760 本,比去年销量增加 20%,去年图书销量多少本?
【详解】
2760÷(1+20%)
=2760÷1.2
=2300(本)
【答案】去年图书销量 2300 本
第 11 题
一家餐饮门店本月应纳税部分收入 92000 元,按照 4% 的税率缴纳税款,本月应纳税额是多少元?
【详解】
应纳税额 = 应纳税部分 × 税率
92000×4%=3680(元)
【答案】本月应缴纳税款 3680 元
第 12 题
个体商户应纳税部分为 56000 元,税率按 6% 计算,该商户要缴纳税款多少元?
【详解】
56000×6%=3360(元)
【答案】应缴纳税款 3360 元
第 13 题
一间商铺应纳税部分 78000 元,税率 5%,交完税后实际税后收入为多少元?
【详解】
税款:78000×5%=3900(元)
税后收入 = 应纳税部分−税款
78000−3900=74100(元)
【答案】税后收入 74100 元
第 14 题
设计工作室应纳税部分 45000 元,税率 8%,税后实际收入是多少元?
【详解】
税款:45000×8%=3600(元)
税后收入:45000−3600=41400(元)
【答案】税后实际收入 41400 元
第 15 题
某公司按税率 3% 交税,本期缴纳税款 2850 元,该公司本期应纳税部分收入多少元?
【详解】
应纳税部分 = 应纳税额 ÷ 税率
2850÷3%=95000(元)
【答案】本期应纳税部分收入 95000 元
第 16 题
小商店缴纳税款 2240 元,税率为 4%,这家商店的应纳税部分收入是多少元?
【详解】
2240÷4%=56000(元)
【答案】应纳税部分收入 56000 元
第 17 题
建材店去年应纳税部分 64 万元,今年应纳税部分比去年增长 25%,税率维持 4% 不变,今年应缴纳税款多少万元?
【详解】
今年应纳税部分:64×(1+25%)=80(万元)
税款:80×4%=3.2(万元)
【答案】今年应缴纳税款 3.2 万元
第 18 题
水果店去年应纳税部分 36 万元,今年应纳税部分比去年提升 20%,税率 3%,今年应交税款多少万元?
【详解】
今年应纳税部分:36×(1+20%)=43.2(万元)
税款:43.2×3%=1.296(万元)
【答案】今年应交税款 1.296 万元
第 19 题
工厂九月份产量 5000 件,十月份产量比九月份降低 10%,十一月份产量又比十月份降低 10%,十一月份产量多少件?
【详解】
十月产量:5000×(1−10%)=4500(件)
十一月产量:4500×(1−10%)=4050(件)
【答案】十一月份产量 4050 件
第 20 题
商品原价 800 元,第一次降价 15%,第二次再在第一次降价后的价格基础上降价 15%,两次降价之后售价多少元?
【详解】
第一次降价后:800×(1−15%)=680(元)
第二次降价后:680×(1−15%)=578(元)
【答案】两次降价之后售价 578 元
模拟赛场
奥数题 1
某企业,第一年利润比上一年增加 20%,第二年利润又比第一年减少 20%。求第二年利润对比最初的利润,是增长还是减少?变化百分之几?
【详解】
假设最初利润为 100 万元。
第一年利润:100×(1+20%)=120(万元)
第二年利润:120×(1−20%)=96(万元)
96<100,利润减少。
减少量:100−96=4(万元)
变化幅度:4÷100×100%=4%
【答案】利润减少,减少 4%
奥数题 2
一家公司,今年应纳税部分比去年增加 30%,税率由去年的 4% 调整为今年的 5%,今年缴纳的税款比去年多 23400 元。求去年该公司的应纳税部分收入是多少元?
【详解】
设去年应纳税部分为 x 元。
今年应纳税部分:x×(1+30%)=1.3x
去年税款:x×4%=0.04x
今年税款:1.3x×5%=0.065x
今年税款−去年税款 = 23400
0.065x−0.04x=23400
0.025x=23400
x=936000
验算:去年税款 936000×4%=37440;今年应纳税:936000×1.3=1216800,今年税款 1216800×5%=60840;60840−37440=23400 元,计算成立。
【答案】去年应纳税部分收入 936000 元
奥数题 3
甲、乙两家店铺。甲店的应纳税部分比乙店多 50%,甲店税率 4%,乙店税率 3%。甲店缴纳的税款比乙店多 1680 元。求乙店的应纳税部分收入是多少元?
【详解】
设乙店应纳税部分为 x 元。
甲店应纳税部分:x×(1+50%) =1.5x
甲店税款:1.5x ×4% =0.06x
乙店税款:x ×3% =0.03x
甲税款 − 乙税款 =1680
0.06x −0.03x =1680
0.03x=1680
x=56000
验算:乙 56000 元;甲:56000×1.5=84000;甲税款 84000×4%=3360;乙税款 56000×3%=1680;3360−1680=1680 元,条件成立。
【答案】乙店应纳税部分收入 56000 元
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小升初奥数培优讲义08:百分数应用题——增长率与税费问题
【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
考点梳理
(一)基础概念
1. 增长率(增加百分之几):表示增加的部分占原来基准数量的百分之几。
原来的数量叫做基准量(单位 “1”),增长之后的数量叫现期量。
例如:产量从 100 吨增长到 120 吨,增加了 20 吨,增长率就是增加的 20 吨除以原来的 100 吨。
2. 减少率(降低百分之几、负增长):减少的部分占原来基准数量的百分之几。
3. 税费相关概念
(1) 收入总额:发生纳税行为之前的全部收入,是计算税额的基数。
(2) 应纳税部分(计税收入):按照国家规定,需要交税的那一部分收入,部分题目总收入全部作为应纳税部分。
(3) 税率:应缴纳税款占应纳税部分的百分比。
(4) 应纳税额(税款):实际需要上交的钱。
(5) 税后收入:扣除税款之后,个人实际拿到手的收入。
常见税费类型:营业税、增值税、个人所得税、购置税等。
(二)核心必背公式
增长率、减少率公式
1. 增加量 = 原来数量 × 增长率
2. 现期量(增长后)= 原来数量 ×(1 + 增长率)
3. 增长率 = 增加量 ÷ 原来数量 ×100%
4. 减少量 = 原来数量 × 减少率
5. 现期量(减少后)= 原来数量 ×(1 − 减少率)
6. 减少率 = 减少量 ÷ 原来数量 ×100%
连续增长:连续两次增长,每一次的单位 “1” 是上一期结束之后的数量,不能直接把两个百分数相加。
税费计算公式
1. 应纳税额 = 应纳税部分 × 税率
2. 税后收入 = 应纳税部分 − 应纳税额
3. 应纳税部分 = 应纳税额 ÷ 税率
4. 税率 = 应纳税额 ÷ 应纳税部分 ×100%
(三)解题核心思路与易错点
1. 找准单位 “1”
增长率问题:单位 “1” 是原来的基数(增长之前的数量);
税费问题:单位 “1” 是应纳税部分。
题目出现 “比原来增长”“比去年降低”,“比” 字后面的量就是单位 1。
2. 连续增长易错:
比如先增长 10%,再增长 10%,最终并不是增长 20%。第二次增长的基数已经是第一次增长完之后的新数量。
3. 税费高频易错:
①不要拿总收入直接乘税率,要看清题目,区分 “总收入” 和 “应纳税部分”;
②税后收入不是总收入乘税率,而是应纳税部分减去税款;
③求增长率,分母一定是原来的数,不是现在的数。
4. 做题通用步骤:
①圈出单位 “1”,判断单位 “1” 已知还是未知;
②单位 1 已知用乘法;单位 1 未知用除法;
③分清:增加用(1 + 百分率),减少用(1−百分率);
④税费题先找到应纳税部分,再套用税款公式。
例题讲解
【典型例题 1】基础增长率(已知原来数量和增长率求现期)
某农场去年粮食产量是 800 吨,今年产量比去年增长 15%,今年粮食产量是多少吨?
【跟踪训练 1】
服装店去年营业额 45 万元,今年营业额比去年提高 20%,今年营业额是多少万元?
【典型例题 2】求增长率(求增加百分之几)
某工厂五月份生产零件 2000 个,六月份生产零件 2400 个,六月份比五月份产量增长百分之几?
【跟踪训练 2】
小区原有居民 120 户,新入住之后变成 168 户,现在户数比原来增加百分之几?
【典型例题 3】减少率(降低百分之几)
一台空调原价 3000 元,现在降价到 2400 元销售,价格比原来降低百分之几?
【跟踪训练 3】
学校上个月用水 500 吨,这个月用水 420 吨,这个月用水量比上个月节约百分之几?
【典型例题 4】连续增长问题
某公司 2024 年利润为 200 万元,2025 年利润比 2024 年增长 10%,2026 年利润相比 2025 年继续增长 10%。求 2026 年的利润是多少万元?
【跟踪训练 4】
一个店铺一月份销售额 50 万元,二月份销售额比一月份上涨 20%,三月份比二月份又上涨 20%。三月份销售额多少万元?
【典型例题 5】已知增长之后的数量,求原来数量
某城市今年人口数量是 46 万,比去年人口数量增长 15%,这座城市去年人口是多少万人?
【跟踪训练 5】
果园今年收获苹果 368 吨,比去年增产 15%,去年收获苹果多少吨?
【典型例题 6】基础税费,求应纳税额
一家小店这个月应纳税部分收入是 75000 元,如果按照 3% 的税率缴纳税款,这家店本月应缴纳税款多少元?
【跟踪训练 6】
某个体户应纳税部分收入 48000 元,按税率 5% 交税,应缴纳税款多少元?
【典型例题 7】求税后实际收入
一家商铺应纳税部分是 60000 元,税率 4%,交完税后,实际税后收入是多少元?
【跟踪训练 7】
工作室应纳税部分 32000 元,税率 6%,税后实际收入多少元?
【典型例题 8】已知税款,求应纳税部分
某企业按税率 5% 交税,本月缴纳税款 3500 元,这家企业本月应纳税部分收入为多少元?
【跟踪训练 8】
某个商户缴纳税款 1680 元,税率是 4%,该商户应纳税部分收入多少元?
【典型例题 9】增长率与税费综合题
超市去年应纳税部分 80 万元,今年应纳税部分比去年增长 25%,税率保持 3% 不变,今年需要缴纳税款多少万元?
【跟踪训练 9】
餐饮店去年应纳税部分 50 万元,今年应纳税部分比去年增长 18%,税率 2%,今年应交税款多少万元?
提升练习
第 1 题
某果园去年收获橘子 650 吨,今年产量比去年增长 12%,今年收获橘子多少吨?
第 2 题
五金店上月营业额 32 万元,本月营业额比上月提升 15%,本月营业额是多少万元?
第 3 题
工厂七月份生产零件 3600 个,八月份生产零件 4500 个,八月份产量比七月份增长百分之几?
第 4 题
社区原来有健身器材 80 件,新增之后达到 112 件,现在器材数量比原来增加百分之几?
第 5 题
一款手机原价 4200 元,现价 3150 元,现价比原价降低百分之几?
第 6 题
工厂上个月耗电 12000 度,这个月耗电 9600 度,这个月用电量比上个月节约百分之几?
第 7 题
某养殖场 2024 年出栏家禽 3000 只,2025 年数量比 2024 年增长 15%,2026 年比 2025 年再增长 15%,2026 年出栏家禽多少只?
第 8 题
网店三月份销售额 40 万元,四月份比三月份上涨 25%,五月份比四月份上涨 25%,五月份销售额是多少万元?
第 9 题
某地今年蔬菜总产量 55.2 万吨,比去年增产 15%,该地去年蔬菜总产量多少万吨?
第 10 题
书店今年图书销量是 2760 本,比去年销量增加 20%,去年图书销量多少本?
第 11 题
一家餐饮门店本月应纳税部分收入 92000 元,按照 4% 的税率缴纳税款,本月应纳税额是多少元?
第 12 题
个体商户应纳税部分为 56000 元,税率按 6% 计算,该商户要缴纳税款多少元?
第 13 题
一间商铺应纳税部分 78000 元,税率 5%,交完税后实际税后收入为多少元?
第 14 题
设计工作室应纳税部分 45000 元,税率 8%,税后实际收入是多少元?
第 15 题
某公司按税率 3% 交税,本期缴纳税款 2850 元,该公司本期应纳税部分收入多少元?
第 16 题
小商店缴纳税款 2240 元,税率为 4%,这家商店的应纳税部分收入是多少元?
第 17 题
建材店去年应纳税部分 64 万元,今年应纳税部分比去年增长 25%,税率维持 4% 不变,今年应缴纳税款多少万元?
第 18 题
水果店去年应纳税部分 36 万元,今年应纳税部分比去年提升 20%,税率 3%,今年应交税款多少万元?
第 19 题
工厂九月份产量 5000 件,十月份产量比九月份降低 10%,十一月份产量又比十月份降低 10%,十一月份产量多少件?
第 20 题
商品原价 800 元,第一次降价 15%,第二次再在第一次降价后的价格基础上降价 15%,两次降价之后售价多少元?
模拟赛场
奥数题 1
某企业,第一年利润比上一年增加 20%,第二年利润又比第一年减少 20%。求第二年利润对比最初的利润,是增长还是减少?变化百分之几?
奥数题 2
一家公司,今年应纳税部分比去年增加 30%,税率由去年的 4% 调整为今年的 5%,今年缴纳的税款比去年多 23400 元。求去年该公司的应纳税部分收入是多少元?
奥数题 3
甲、乙两家店铺。甲店的应纳税部分比乙店多 50%,甲店税率 4%,乙店税率 3%。甲店缴纳的税款比乙店多 1680 元。求乙店的应纳税部分收入是多少元?
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